半線性雙曲積分微分方程的一個(gè)線性有限元格式及其收斂性分析

王 凱，徐長玲

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

本文考慮下面的半線性雙曲積分微分問題：

(1)

y(X，t)=0，X∈?Ω，t∈J，

(2)

y(X，0)=y0(X)，X∈Ω，

(3)

yt(X，0)=y1(X)，X∈Ω，

(4)

a1rTr≤rTAr≤a2rTr

.

(5)

另外，假設(shè)B(t，s)=B(x，t，s)也是一個(gè)2×2階矩陣，且存在正數(shù)M1和M2使得

(6)

.

(7)

雙曲積分微分方程的初邊值問題(1)～(4)出現(xiàn)在具有記憶性質(zhì)材料的熱傳導(dǎo)、核反應(yīng)堆中熱交換等實(shí)際問題中，這類問題的研究在理論和應(yīng)用方面均有一定的實(shí)際意義.有限元方法作為一種重要的數(shù)值方法，已經(jīng)成功應(yīng)用于求解這類問題.國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)問題(1)～(4)及其衍生模型問題的有限元逼近取得了很多先驗(yàn)誤差估計(jì)和超收斂方面的結(jié)果[1-7].例如，文獻(xiàn)[1]考慮了拋物和雙曲積分微分方程有限元方法的先驗(yàn)誤差估計(jì)；文獻(xiàn)[2]給出了一類非線性雙曲積分微分方程的全離散Crank-Nicolson有限元格式；文獻(xiàn)[3]考慮了一類非線性雙曲積分微分方程的半離散有限元逼近及誤差分析；文獻(xiàn)[4]研究了拋物和雙曲積分微分方程有限元方法的超收斂性；文獻(xiàn)[5]考慮了偽雙曲積分微分方程的雙線性元逼近并給出高精度分析.隨著有限元方法的發(fā)展，非協(xié)調(diào)有限元方法也逐漸應(yīng)用于求解雙曲積分微分方程[6-7].

近幾年，為了有效求解半線性問題(1)～(4)和強(qiáng)非線性雙曲積分微分方程初邊值問題，一些專家學(xué)者發(fā)展了兩網(wǎng)格有限元方法.例如，文獻(xiàn)[8]針對(duì)半線性問題(1)～(4)的向后歐拉有限元逼近設(shè)計(jì)了兩網(wǎng)格算法；文獻(xiàn)[9]構(gòu)造了一類非線性雙曲積分微分方程的全離散兩網(wǎng)格有限元格式并給出最優(yōu)誤差估計(jì).

受文獻(xiàn)[8-9]中兩網(wǎng)格格式細(xì)網(wǎng)格上的線性化思想啟發(fā)，本文針對(duì)半線性問題(1)～(4)構(gòu)造一個(gè)新的二階線性有限元逼近格式并分析收斂性.

1 線性有限元逼近

(8)

這里(·，·)表示L2(Ω)空間中的內(nèi)積.

變分問題(8)的解的存在性和唯一性參見文獻(xiàn)[1-2].

這里Pm(κ)表示單元κ上總次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式集合.

下面，引入Ritz-Volterra投影算子[11]Rh：V→Vh，滿足：對(duì)任意y∈V，

.

(9)

同時(shí)，有下面的逼近性成立

.

(10)

(11)

(12)

(13)

這里ytt(X，0)=div(A▽y0(X))+f(y0(X)).

2 誤差估計(jì)

利用Ritz-Volterra投影和對(duì)時(shí)間的離散導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移技巧，可以推出下面的收斂性結(jié)果.

(14)

在式(14)中取vh=dtξn+1+dtξn，同時(shí)將兩邊乘以τ并對(duì)n從1到l求和，可推出

(15)

下面，分別估計(jì)K1～K7.對(duì)于K1，利用ξ0=0、式(6)、Cauchy-Schwarz不等式和Young’s不等式，可得

(16)

這里

類似于K1的估計(jì)，可證

(17)

(18)

.

(19)

利用Cauchy中值定理、Cauchy-Schwarz不等式、Young’s不等式和式(10)，可將K5估計(jì)為

(20)

對(duì)于K6，利用Cauchy中值定理、Cauchy-Schwarz不等式和Young’s不等式，易證

.

(21)

下面估計(jì)K7.由泰勒展開式

和Cauchy中值定理，可知

因此，利用Cauchy-Schwarz不等式、Young’s不等式、式(10)、式(7)和Poincaré不等式，可將K7估計(jì)為

.

(22)

將式(16)～(22)代入式(15)并利用式(5)和ξ0=0，可得

(23)

.

(24)

對(duì)于充分小的τ，將式(24)代入式(23)并應(yīng)用離散的Gronwall’s不等式可推出

.

(25)

最后，利用式(24)～(25)、式 (10)、Poincaré不等式和三角不等式，即可完成定理證明.證畢.

注1定理1針對(duì)新的線性有限元格式(11)～(13)給出了詳細(xì)的收斂性分析.本文的方法和定理1的證明技巧可以進(jìn)一步推廣到強(qiáng)非線性雙曲積分微分方程的初邊值問題中.