數(shù)的進(jìn)位制符號(hào)

徐品方

在文字產(chǎn)生以前，人類已經(jīng)形成數(shù)的概念，用實(shí)物，如石子、竹片、貝殼等計(jì)數(shù)，有時(shí)也用手指和腳趾來(lái)計(jì)數(shù)，后來(lái)使用了結(jié)繩法和契刻法.隨著數(shù)目的增大，人類開始使用進(jìn)位制.由于各地區(qū)、各民族所處的自然環(huán)境與社會(huì)環(huán)境都不相同，因此出現(xiàn)了各種不同的記數(shù)方法和記數(shù)符號(hào).

（1）5進(jìn)位制.一只手有5個(gè)手指，表示數(shù)“5”.5進(jìn)制以羅馬數(shù)字為代表，如1、2、3、4的符號(hào)是I、II、III、IIII，5的符號(hào)不是IIIII，而是V;6、7、8、9的符號(hào)分別是VI、VII、VIII、VIIII，10的符號(hào)是X，這就是5進(jìn)制數(shù)碼的雛形.直到1800年，德國(guó)農(nóng)民日歷上的數(shù)字符號(hào)還是5進(jìn)制的.至今，南美洲的玻利維亞群島的居民還在使用5進(jìn)制符號(hào).

（2）10進(jìn)位制.10進(jìn)制是最常用的一種記數(shù)法，即以10為進(jìn)位基數(shù)的位值制記數(shù)法.十進(jìn)制的基數(shù)為10，數(shù)碼由0-9組成，計(jì)數(shù)規(guī)律是逢10進(jìn)1.因?yàn)槊總€(gè)人都有10個(gè)指頭，所以用10來(lái)計(jì)數(shù)最為方便.

在公元前2000年的埃及與公元前1600年的中國(guó)（商朝），就已經(jīng)出現(xiàn)了10進(jìn)位制記數(shù)法，并且在中國(guó)還出現(xiàn)了一、十、百、萬(wàn)等文字符號(hào).1971年8月在陜西千陽(yáng)縣的一座西漢墓中，首次出土了骨質(zhì)算籌.估計(jì)算籌的使用不會(huì)晚于公元前3世紀(jì).用算籌表示數(shù)有縱橫兩種方法：

用算籌擺數(shù)的原則在《孫子算經(jīng)》中有記載：“凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百位千僵，千十相望，萬(wàn)百相當(dāng).”意思是，個(gè)位、百位、萬(wàn)位都是縱式;十位、千位都用橫式，高位在左，低位在右，遇到0時(shí)，就留個(gè)空位.”

這里需要特別指出的是，中國(guó)的10進(jìn)制數(shù)中數(shù)字的位置不同表示的數(shù)也不相同.如43和74這兩個(gè)數(shù)中都含有數(shù)字4，43中的4在十位上表示40，而74中的4在個(gè)位上表示4.古埃及人發(fā)現(xiàn)的10進(jìn)制雖說(shuō)是世界上最早的，但它采用的是累計(jì)制，而不是位值制.公元595年，人們?cè)谟《热说谋纳习l(fā)現(xiàn)了10進(jìn)位值制符號(hào)，比我國(guó)晚了一千年.

（3）20進(jìn)位制.瑪雅人最先使用20進(jìn)制來(lái)計(jì)數(shù).瑪雅地處熱帶，人們喜歡打赤腳，記數(shù)時(shí)手指不夠，就用腳趾，于是產(chǎn)生了20進(jìn)制.瑪雅人早期使用的數(shù)字有：

后來(lái)又使用另一套記數(shù)系統(tǒng)，1～4用小點(diǎn)表示，滿五個(gè)，將“·”改為一橫“-”或豎“丨”;6～9用一橫點(diǎn)數(shù)（或一豎左邊點(diǎn)數(shù)，如7表為“：丨”）表示;11～14用兩橫“=”或豎表示.如13表為“丨鼠”;16～19用三橫（豎）表示，滿20進(jìn)1位，故為20進(jìn)位.數(shù)1-19用如下符號(hào)表示.

瑪雅和巴比倫的記數(shù)法有相似之處，20以下用5進(jìn)位的簡(jiǎn)單累數(shù)制，20以上用位值制.這套數(shù)碼中還

瑪雅人在一般的計(jì)算中，用嚴(yán)格的20進(jìn)位制，表示任何一個(gè)非負(fù)整數(shù)，以便進(jìn)行加減運(yùn)算.把單位數(shù)字的符號(hào)由下向上堆積起來(lái)，即一個(gè)多位數(shù)要分層書寫，高位在上，低位在下，只寫每一位的倍數(shù)，由低位向高位依次寫出，滿20則進(jìn)1位.例如，10進(jìn)制的數(shù)917，用20進(jìn)制表示為如下三層：

即用2個(gè)400，5個(gè)20，17個(gè)1組成.

（4）12進(jìn)位制.12進(jìn)位制的起源之說(shuō)有很多種.有的說(shuō)，可能與人的一只手的關(guān)節(jié)有關(guān).除大拇指外，其余4個(gè)手指有12個(gè)關(guān)節(jié);又有的說(shuō)，可能是與一年有12個(gè)月有關(guān);還有的說(shuō)，12是所有兩位的“多倍數(shù)”中最小的一個(gè)，除1和12外，它還有約數(shù)2、3、4、6，12雖然比10只大2，但約數(shù)卻比10的約數(shù)多2個(gè)，用它作除數(shù)整除的機(jī)會(huì)就多.現(xiàn)今留下來(lái)的計(jì)數(shù)方法中仍有12進(jìn)制，如1羅=12打，1打=12個(gè)，1呎=12時(shí)，1先令= 12便士等.

（5）16進(jìn)位制.16進(jìn)位制大多應(yīng)用于實(shí)際生活中. 如中國(guó)古時(shí)1斤=16兩，1俄尺=16俄寸，1磅=16英兩.

由于16=2，它與2的關(guān)系十分密切，所以在電子計(jì)算機(jī)方面，常被用作10進(jìn)制與2進(jìn)制的一種過(guò)渡進(jìn)位制.16進(jìn)制數(shù)有兩個(gè)特點(diǎn)：它有16個(gè)數(shù)碼，即由數(shù)字0～9加上字母A-F組成（它們分別表示十進(jìn)制數(shù)10～15），16進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)律是逢16進(jìn)1，即基數(shù)為16，通常在數(shù)的尾部標(biāo)H或下標(biāo)16以示區(qū)別，在C語(yǔ)言中添加前綴0x以表示16進(jìn)制數(shù).例如：16進(jìn)制數(shù)4AC8可寫成（4AC8）16，或?qū)懗?AC8H.

（6）60進(jìn)位制.60進(jìn)位制是地處亞洲西部的巴比倫（今伊拉克境內(nèi)）人于公元前2000年前首先創(chuàng)制的.60進(jìn)制的起源有幾種說(shuō)法.有的說(shuō)，60是2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60的倍數(shù)，可使計(jì)算簡(jiǎn)化;有的說(shuō)，與圓周分成360份有關(guān).關(guān)于60進(jìn)制的起源之說(shuō)較多，至今還沒有一致的看法.流傳至今的60進(jìn)制有：1小時(shí)=60分，1分=60秒，圓周角=360度，1度=60分，1 分=60秒等.

（7）2進(jìn)位制.可以說(shuō)，我國(guó)最早應(yīng)用2進(jìn)制計(jì)數(shù).公元前11世紀(jì)的古書《周易》（即易經(jīng)）中記載：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”，意思是說(shuō)，一分為二，二分為四，四分為八.用現(xiàn)代數(shù)學(xué)式子表示，可寫成2=1、2=2、2=4、2=8.

介于澳大利亞北部的約克角半島與伊利安之間的托列斯海峽的附近群島上居住著一些部落.他們是靠?jī)蓚€(gè)數(shù)“一”（叫烏拉勃）和“二”（叫阿柯扎）進(jìn)行計(jì)算的.遇到“三”就用“阿柯扎、烏拉勃”表示，“四”是“阿柯扎、阿柯扎”，“五”是“阿柯扎、阿柯扎、烏拉勃”，他們使用的是2進(jìn)制，并用文字來(lái)表示.

（8）8進(jìn)位制.8進(jìn)制依據(jù)“逢8進(jìn)1”的法則，使用0，1，2，3，4，5，6，7八個(gè)數(shù)字來(lái)記數(shù).由于在電子計(jì)算中，用2進(jìn)制記數(shù)數(shù)位較多，使用起來(lái)不方便，在編寫計(jì)算機(jī)解題程序時(shí)，常常需使用8進(jìn)制.

任何一個(gè)8進(jìn)制的數(shù)，可以寫成底數(shù)為8的冪的和的形式.這樣很容易將其化為10進(jìn)數(shù)，如8進(jìn)制數(shù)205=2×8+0×8+5×8=133.反之，一個(gè)10進(jìn)制的數(shù)只要用底數(shù)8連續(xù)去除，反序取全數(shù)，就可以得到8進(jìn)制數(shù).

雖然，數(shù)的進(jìn)位制有很多種，但據(jù)調(diào)查，世界上大多數(shù)地區(qū)還是采用10進(jìn)位制來(lái)計(jì)數(shù).1920年前后，美國(guó)科學(xué)家易勒斯（W.C.Eels）曾做過(guò)調(diào)查，美國(guó)原始亞美利加各族的307種計(jì)數(shù)系統(tǒng)中，有146種是10進(jìn)制的，有106種是5進(jìn)制或20進(jìn)制的.

綜上所述，在世界上的不同年代，出現(xiàn)了五花八門的進(jìn)位制和令人眼花繚亂的記數(shù)符號(hào)系統(tǒng)，都足以證明數(shù)學(xué)符號(hào)的多元性和多樣化.

——摘自《數(shù)學(xué)符號(hào)史》