熱環(huán)境下彈性地基板屈曲路徑和振動特性研究

薛治國, 張博, 孫寶印, 王迪

(1.山西路橋第五工程有限公司， 太原 030012； 2.長安大學(xué)理學(xué)院， 西安 710054；3.河海大學(xué)土木與交通學(xué)院， 南京 210013； 4.長安大學(xué)工程機械學(xué)院， 西安 710054)

在環(huán)境溫度變化較大的地區(qū)，道路結(jié)構(gòu)在服役過程中會受到較大的熱應(yīng)力的作用，一方面，會影響道路結(jié)構(gòu)的強度，甚至由于熱應(yīng)力擠壓導(dǎo)致屈曲，發(fā)生類似于“天然減速帶”的橫向隆起、甚至斷裂的現(xiàn)象[1]；另一方面，熱應(yīng)力以及熱屈曲后的熱變形對結(jié)構(gòu)的振動特性也會產(chǎn)生復(fù)雜影響，給結(jié)構(gòu)的設(shè)計帶來困難。因此，相關(guān)問題的研究至關(guān)重要。

根據(jù)道路的結(jié)構(gòu)特點，以往學(xué)者多將其簡化為彈性地基梁、板結(jié)構(gòu)。Winkler地基模型是早期發(fā)展起來的簡化模型，其將地基簡化為相互無關(guān)的彈簧，取得了較好的效果[2]。彈性半空間地基模型考慮了基體的連續(xù)性[3]。為了彌補上述兩種方法的不足，相關(guān)學(xué)者發(fā)展了雙參數(shù)模型[4]，即在Winkler地基彈簧間引入剪力效應(yīng)，完善了地基的影響。文獻(xiàn)[1,5- 6]分別以不同形式的彈性地基梁、板為對象，基于壓桿失穩(wěn)、薄板失穩(wěn)等理論，分析了道路隆起的臨界溫度載荷，揭示了隆起機理，對道路材料的選擇、設(shè)計和施工方法以及隆起病害的防治提出了建議。

道路所受載荷主要來自于行駛車輛的動載荷。魏綱等[7]分析了Winkler彈性地基板梁的自由振動特征，對其適用范圍作了總結(jié)。Lü等[8]研究了路面粗糙度對道路結(jié)構(gòu)在移動車輛載荷作用下的響應(yīng)的影響。Chen等[9]采用虛擬激勵法結(jié)合精細(xì)積分法計算了隨機移動載荷作用下Pasternak地基上矩形薄板的振動響應(yīng)。

結(jié)構(gòu)所處的濕熱環(huán)境通常會使其內(nèi)部產(chǎn)生附加應(yīng)力，甚至使得結(jié)構(gòu)構(gòu)型發(fā)生變化，進(jìn)而影響其靜、動力學(xué)行為[10-11]。因此考慮服役環(huán)境下，地基板的動力學(xué)行為更具現(xiàn)實意義。吳振強等[12]使用有限元方法，研究了壁板結(jié)構(gòu)在熱屈曲前后固有頻率及振型的演變規(guī)律，證實了熱環(huán)境對壁板結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性影響很大。李亞杯等[13]使用Rayleigh-Ritz法研究了熱效應(yīng)對圓柱殼結(jié)構(gòu)屈曲和模態(tài)的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)在屈曲溫度附近某些振型將發(fā)生躍遷。文獻(xiàn)[14-15]分別報道了復(fù)合材料層合板和功能梯度板的熱后屈曲非線性振動，揭示了熱環(huán)境對板殼結(jié)構(gòu)的設(shè)計具有重要意義。高博等[16]采用近似反演方法推導(dǎo)了黏彈性Winkler地基板溫度翹曲應(yīng)力的計算公式。

綜上，相關(guān)問題已經(jīng)有了較多積累，但是對于地基板熱屈曲路徑以及熱屈曲前、后振動特性的研究較少。為此，采用理論方法求解地基板振動控制方程，探究相應(yīng)的理論分析方法，深入分析了地基板屈曲構(gòu)型、固有頻率和模態(tài)形狀隨溫度的演化規(guī)律，以期揭示基床系數(shù)的影響機理。

1 力學(xué)模型

圖1為Winkler地基板示意圖，處于均勻溫升環(huán)境中，板長為lx，寬為ly，基床系數(shù)為ks，坐標(biāo)系原點位于板的幾何中面。

圖1 Winkler地基板示意圖

根據(jù)三階剪切變形理論，板內(nèi)任意一點的位移場可表示為[17]

(1)

式(1)中：u、v、w為板中任一點沿x、y、z方向的位移；u0、v0和w0分別為板幾何中面上任意一點沿x、y和z方向的位移；φx和φy分別為截面繞y和x軸的轉(zhuǎn)角；h為板的厚度；t為時間。

為了研究地基板后屈曲非線性力學(xué)行為，采用von Karman非線性位移-應(yīng)變關(guān)系，則x方向的正應(yīng)變εxx、y方向的正應(yīng)變εyy、x-y方向的切應(yīng)變εxy、y-z方向的切應(yīng)變γyz和x-z方向的切應(yīng)變γxz表示為

(2)

式(2)中：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

c2=3c1

(8)

c1=4/3h2

(9)

板為各向同性材料，故本構(gòu)關(guān)系可表示為

(10)

(11)

式中：σxx為x方向的正應(yīng)力；σyy為y方向的正應(yīng)力；σxy為x-y方向的切應(yīng)力；σyz為y-z方向的切應(yīng)力；σxz為x-z方向的切應(yīng)力；ΔT為相對于參考環(huán)境溫度的均勻溫度變化值；αx、αy和αxy分別為板沿x、y和x-y方向的熱膨脹系數(shù)，本研究中為各向同性材料，則可設(shè)αx=αy=α，αxy=0，各層的剛度系數(shù)Qij可表示為

(12)

式(12)中：E為楊氏模量；ν12為泊松比；G為剪切模量。

振動過程中，板的應(yīng)變能Up可表示為

(13)

板的動能Tp可表示為

(14)

基于Winkler地基假設(shè)，其表面任一點處的位移w(即板在相應(yīng)點處的橫向位移)與作用在該點的應(yīng)力p成正比，可表示為[18]

p(x,y)=ksw(x,y)

(15)

式(15)中：ks為基床系數(shù)。

則振動過程中地基的勢能Uks為

(16)

假設(shè)板受橫向載荷F(x,y,t)作用，則橫向載荷做功Wp為

Wp=?Fwdxdy

(17)

式(17)中：F為板所受橫向載荷。

選取四邊簡支邊界條件[1,7]：

(18)

則根據(jù)邊界條件，可將位移假設(shè)為

(19)

式(19)中：Mu、Nu、Mv、Nv、Mw、Nw、Mφx、Nφx、Mφy、Nφy為相應(yīng)位移函數(shù)的截斷階數(shù)，將式(19)代入式(13)、式(14)、式(16)、式(17)，并引入哈密頓原理：

(20)

則得到考慮溫度效應(yīng)影響的Winkler地基板幾何非線性振動控制方程為

(21)

式(21)中：M為質(zhì)量矩陣；KL為線性剛度陣；KT由溫度效應(yīng)引起的剛度陣；Kks為由地基帶來的剛度陣；KNL2(q,q)為考慮幾何非線性所引起的非線性剛度陣；Qs為由溫度引起的靜態(tài)橫向載荷列陣；Qd(t)為由橫向外部動態(tài)載荷引起的動態(tài)載荷列陣；q為由式(11)中廣義位移組成的廣義位移列陣。

為了得到在穩(wěn)態(tài)熱載作用下板屈曲前后靜力平衡位置處的振動特性，首先將廣義位移表示為熱載作用下的靜態(tài)廣義位移qs和動態(tài)載荷作用下以靜態(tài)平衡位移為參考位置的動態(tài)廣義位移qd(t)之和。

q(t)=qs+qd(t)

(22)

則可將式(21)寫為溫度載荷作用下的非線性靜力方程為

[KL+KT+Kks+KNL2(qs,qs)]qs=Qs

(23)

以非線性靜力位移為參考位置的線性振動方程為

(24)

2 實例分析

以一典型地基板結(jié)構(gòu)為對象，對不同基床系數(shù)下熱后屈曲路徑、屈曲前后固有頻率和模態(tài)進(jìn)行計算，得到地基板屈曲變形特征和固有特性的演化規(guī)律，揭示地基的影響機理。板的長為2.5 m，寬為1.5 m，厚為0.02 m，材料屬性如表1所示。

表1 材料屬性

2.1 結(jié)果驗證

取假設(shè)位移截斷階數(shù)均為5，即Mw=Nw=5,Mu=Nu=5,Mv=Nv=5,Mφx=Nφx=5,Mφy=Nφy=5?；蚕禂?shù)為2×106N/m3，處于常溫環(huán)境中。如表 2所示，將理論結(jié)果與利用Ansys計算的有限元結(jié)果進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)理論結(jié)果與有限元計算結(jié)果對比一致，故在接下來的分析中均以此作為截斷階數(shù)。

表2 固有頻率對比驗證

2.2 不同基床系數(shù)下地基板的熱屈曲路徑

圖2為不同基床系數(shù)下地基板屈曲溫度的變化趨勢，可以看出，隨著溫度的升高，地基板的屈曲溫度也隨之升高。地基的存在使得板產(chǎn)生了附加剛度，基床系數(shù)越大，地基對板的剛化效應(yīng)越明顯，進(jìn)而使得地基板的屈曲溫度不斷升高。

圖2 不同基床系數(shù)下地基板的屈曲溫度

所研究的地基板是關(guān)于板中面幾何對稱的均質(zhì)材料板，且溫度均勻分布，故在屈曲前，板不產(chǎn)生橫向位移，而在屈曲后，地基板失去了穩(wěn)定性，微小的橫向擾動即可使地基板從初始時刻的不穩(wěn)定位置進(jìn)入新的穩(wěn)定位置，即發(fā)生了屈曲變形。為了研究基床系數(shù)對地基板屈曲路徑的影響，選取了基床系數(shù)分別為0、1×106、2×106、5×106N/m3的4種情況，對地基板的屈曲路徑和屈曲變形進(jìn)行了計算分析。圖 3為4種基床系數(shù)下，地基板1/4點(0.062 5、0.037 5 m)處的屈曲位移隨溫度的變化曲線。可以看出，4種基床系數(shù)下，在屈曲后，位移均隨溫度的升高而不斷升高，同時，由于結(jié)構(gòu)和溫度場的對稱性，在屈曲點處位移發(fā)生分叉，出現(xiàn)了關(guān)于幾何中面對稱而幅值相等的兩條屈曲路徑，而實際沿著哪一條路徑發(fā)生屈曲，取決于橫向擾動的方向。從圖3還可以看出，與圖2一致，基床系數(shù)的提高使得地基板的屈曲溫度明顯提高，即地基的增強可以抑制地基板的屈曲。

圖3 不同基床系數(shù)下地基板1/4點(0.062 5 m，0.037 5 m)的屈曲路徑

在屈曲路徑分析的基礎(chǔ)上，計算并繪制了4種基床系數(shù)下，不同屈曲溫度點處地基板的屈曲構(gòu)型，結(jié)果展示在圖4中。可以看出，在每一種基床系數(shù)下，熱屈曲后，隨著溫度的升高，地基板的屈曲變形形式基本保持不變，只是幅值隨著溫度的升高而不斷增大。值得注意的是，不同基床系數(shù)下，地基板的屈曲構(gòu)型差異較大，隨著溫度的升高，地基板各階模態(tài)順序發(fā)生交換，而不同基床系數(shù)下，在屈曲溫度附近的第一階模態(tài)形狀均與圖4中的屈曲構(gòu)型形狀保持一致，故可以得出，地基板的屈曲構(gòu)型形狀，與屈曲溫度附近的第一階模態(tài)形狀直接相關(guān)。

圖4 不同基床系數(shù)下地基板不同屈曲溫度下的屈曲構(gòu)型

2.3 不同基床系數(shù)下地基板的熱屈曲前、后固有特性演化規(guī)律

在屈曲路徑分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步計算得到了屈曲前、后不同溫度下地基板的固有頻率和模態(tài)形狀。圖5為基床系數(shù)分別為0、1×106、2×106、5×106N/m3時固有頻率隨溫度的演化規(guī)律，結(jié)合2.2節(jié)關(guān)于屈曲溫度的計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在屈曲溫度之前，隨著溫度的升高，地基板內(nèi)的熱應(yīng)力逐漸增大，而熱應(yīng)力是壓應(yīng)力，對板的剛度起到軟化效果，故頻率逐漸降低，并在屈曲溫度點處第一階固有頻率降至零點，隨后，地基板不再是平板，而是產(chǎn)生如圖4所示的屈曲構(gòu)型，而屈曲構(gòu)型的出現(xiàn)則會增大地基板的剛度，使得固有頻率在屈曲溫度之后開始上升。熱應(yīng)力的軟化效應(yīng)與熱屈曲構(gòu)型的剛化效應(yīng)對各階固有頻率的影響大小不一樣，使得頻率間發(fā)生順序交換，相應(yīng)地，圖6所示的相應(yīng)階模態(tài)順序也發(fā)生了交換。對比發(fā)現(xiàn)，地基的存在使得地基板固有頻率整體提高，且基床系數(shù)越大，各階固有頻率越聚集，模態(tài)間順序發(fā)生交換的情況越多。圖6(a)、圖6(b)中，基床系數(shù)為0和1×106N/m3時，各階模態(tài)順序隨著溫度的升高保持不變，其一階模態(tài)形狀與圖4(a)和圖4(b)中屈曲構(gòu)型形狀一致；圖6(c)中，基床系數(shù)為2×106N/m3時，相較于常溫下，在屈曲溫度(50 ℃)附近，一二階模態(tài)順序發(fā)生了交換，故圖4(c)中的屈曲構(gòu)型形狀與其常溫時的二階模態(tài)形狀一致；圖6(d)中，基床系數(shù)為5×106N/m3時，模態(tài)交換更為復(fù)雜，在屈曲溫度(92 ℃)附近，常溫下的第三階模態(tài)變成了第一階模態(tài)，其與圖4(d)中的屈曲構(gòu)型形狀一致。

紅色圓圈標(biāo)記出的是頻率曲線相交的點

圖6 不同基床系數(shù)下地基板熱屈曲前、后模態(tài)形狀演化規(guī)律

3 結(jié)論

以Winkler地基板為對象，考慮熱應(yīng)力效應(yīng)，理論推導(dǎo)了其非線性振動控制方程，發(fā)展了兩步分析方法。得出如下結(jié)論。

(1)基床系數(shù)越大，地基板的屈曲溫度就越高，同時，地基板的屈曲構(gòu)型形狀也會發(fā)生較大變化，通過與模態(tài)形狀的對比顯示，屈曲構(gòu)型形狀與地基板在屈曲溫度附近的第一階模態(tài)形狀一致。

(2)屈曲前，熱應(yīng)力對地基板有軟化作用，各階固有頻率不斷降低，基頻在屈曲點降至零點，而后由于屈曲構(gòu)型的產(chǎn)生，對地基板產(chǎn)生剛化效應(yīng)，固有頻率開始升高，由于熱應(yīng)力和熱變形對各階固有頻率和模態(tài)的影響大小的不同，會發(fā)生頻率和模態(tài)順序發(fā)生交換的現(xiàn)象，且基床系數(shù)越大，交換現(xiàn)象越頻繁。