Matlab在三重積分計(jì)算的教學(xué)設(shè)計(jì)中的可視化應(yīng)用

張 鳳 田 祥＊ 朱柘琍

（山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院，山東 泰安 271018）

0 引言

三重積分的計(jì)算需要學(xué)生有很強(qiáng)的空間想象力和運(yùn)算能力，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中可能會(huì)覺得煩躁，產(chǎn)生厭煩情緒，這不利于高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作的開展。那么如何讓抽象的概念變得直觀形象，讓復(fù)雜的計(jì)算迎刃而解，增加學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的信心和興趣呢？筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)上狠下功夫，首先通過引入環(huán)節(jié)讓學(xué)生意識到學(xué)習(xí)三重積分的意義和作用，接著在具體的講解計(jì)算方法的過程中通過一只土豆的質(zhì)量切丁、切絲還是切片生動(dòng)形象地把三重積分的計(jì)算問題化解為先一后二或先二后一，最后在教學(xué)實(shí)例中運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件作為輔助，實(shí)現(xiàn)積分區(qū)域的可視化，并用Matlab程序語言快速實(shí)現(xiàn)累次積分的計(jì)算，讓學(xué)生體會(huì)到將數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)雙劍合璧的力量，改變了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，提高了教學(xué)的效率。

1 教學(xué)設(shè)計(jì)的引入環(huán)節(jié)

也就是說一個(gè)土豆，密度不均勻，要求土豆的質(zhì)量，就切丁，通過切丁法我們就將土豆的質(zhì)量轉(zhuǎn)化成了三重積分。通過以上討論知道要求不規(guī)則物體的質(zhì)量就是以密度函數(shù)為被積函數(shù)在相應(yīng)區(qū)域上做三重積分。但是同學(xué)會(huì)問三重積分該怎么計(jì)算呢？筆者的思路是把三重積分化成三次積分，也就是三個(gè)定積分，然后應(yīng)用N-L公式就解決了。但是如何將三重積分轉(zhuǎn)化成三個(gè)定積分呢？那就要看這個(gè)土豆，也就是積分區(qū)域的形狀了。在直角坐標(biāo)系下，理論上的方法有兩個(gè)：一是先一后二法，也叫投影法，形象一點(diǎn)叫切絲法；二是先二后一法，也叫截面法或切片法。下面先來看怎么切絲。

2 投影法（先一后二法或切絲法）

2.1 區(qū)域?yàn)閄-Y型

通過以上的討論，區(qū)域?yàn)閄-Y型的三重積分方法為：

（1）畫出積分區(qū)域圖；（2）判斷積分區(qū)域的類型；（3）選擇合適的積分次序，在這里強(qiáng)調(diào)當(dāng)是X-Y型區(qū)域就是先對z積分；（4）確定積分限。

確定積分內(nèi)限的口訣為：域內(nèi)一線穿，兩點(diǎn)定內(nèi)限；積分區(qū)域既然有X-Y型區(qū)域就有X-Z型區(qū)域或者Y-Z型，所以很自然的引入X-Z型區(qū)域。

2.2 區(qū)域?yàn)閄-Y型區(qū)域

在這里強(qiáng)調(diào)當(dāng)土豆是X-Z型區(qū)域時(shí)，要向xoz面投影，從而先對y積分，并且確定積分限的口訣仍然適用，即此時(shí)土豆的質(zhì)量為：

講完了以上兩種類型，Y-Z型不再贅述。下面來討論截面法也就是先二后一法或者切片法。什么時(shí)候適合切片呢？就是當(dāng)土豆的密度也就是被積函數(shù)是關(guān)于z的一元函數(shù)的時(shí)候。

3 截面法

（假設(shè)被積函數(shù)是關(guān)于z的一元函數(shù)，即土豆的密度為f（z））

通過以上的討論，什么樣的類型適合用截面法總結(jié)如下：

（1）被積函數(shù)是關(guān)于z的一元函數(shù)；（2）截面的形狀規(guī)則，面積好算。

思考一下，如果被積函數(shù)是關(guān)于x的一元函數(shù)呢？該怎么切片？大家可以自行給出結(jié)果。最后強(qiáng)調(diào)一下，在直角坐標(biāo)系下，以上的方法同樣適用于被積函數(shù)符號任意的情形。下面看具體的例子。

4 例題

繪制的圖形如圖1所示

圖1 四面體

四面體Ω可以看作是X-Y型區(qū)域，向xoy面投影，投影域D為（見圖2）。應(yīng)用投影法，三重積分可化為：

圖2 投影域

同學(xué)們看到了這個(gè)積分肯定打退堂鼓，因?yàn)榉e分的計(jì)算量比較大了。沒關(guān)系，接著讓計(jì)算機(jī)計(jì)算，用Matlab編程如下：

所以學(xué)會(huì)了三重積分化累次積分之后，具體的累次積分計(jì)算的實(shí)現(xiàn)過程完全可以借助計(jì)算機(jī)。

分析：積分區(qū)域Ω上是一個(gè)上半錐，像甜筒，先應(yīng)用Matlab程序語言將它的圖形繪制出來，程序如下：

繪制圖形如圖3所示。

圖3 積分區(qū)域

這個(gè)三重積分被積函數(shù)是關(guān)于z的一元函數(shù)，積分區(qū)域的截面（見圖4）都是圓，所以適合切片，因而應(yīng)用截面法就將三重積分化為：

圖4 積分區(qū)域的截面

不由得感慨，so easy！這其實(shí)就是方法選對了，所以事半功倍。

5 結(jié)語

在高等數(shù)學(xué)中，三重積分的計(jì)算是難點(diǎn)更是重點(diǎn)，它需要扎實(shí)的計(jì)算能力以及空間的想象力，讓學(xué)生們望而生畏，望而卻步，所以筆者在三重積分計(jì)算的程序設(shè)計(jì)中引入了Matlab。Matlab具有強(qiáng)大的符號計(jì)算功能以及圖形繪制功能，將Matlab引入高等數(shù)學(xué)的課堂改變了傳統(tǒng)的粉筆加黑板的課堂教學(xué)模式，可以很方便地將一些抽象的函數(shù)形象的表示出來，給學(xué)生更直觀的講述效果，進(jìn)而加深學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的理解，使高等數(shù)學(xué)不再晦澀難懂。Matlab程序設(shè)計(jì)的介入提高了學(xué)生的空間想象力，也增加了學(xué)生自主學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有力工具。