帶變量核的高階交換子在加權(quán)Morrey-Herz空間上的有界性

邵旭馗， 王素萍

隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 甘肅 慶陽 745000

記Sn-1為Rn(n≥2)中的單位球面， 其上的Lebesgue測度用dσ=dσ(x′)表示． 定義在Rn×Rn上的函數(shù)Ω(x，z)∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)(r≥1)， 滿足

(1)

(2)

并設(shè)

Ω(x，λz)=Ω(x，z) ?x，z∈Rn， ?λ>0

(3)

設(shè)b∈BMO(Rn)， 對m∈Z+， 帶變量核的高階交換子定義為

(4)

其中

B(x，r)={y∈Rn： |x-y|≤r}

文獻[1]證明了帶粗糙核的高階交換子Mb，m，Ω當(dāng)m=1時(簡記為Mb，Ω) 在齊次Herz空間上的有界性． 文獻[2]得到了Mb，m，Ω在齊次Morrey-Herz空間上的有界性． 隨后， 文獻[3]又證明了當(dāng)b∈BMO(Rn)，m∈Z+時，Mb，Ω是齊次Morrey-Herz空間上的有界算子． 文獻[4]利用Sharp極大函數(shù)， 證明了帶變量核的Marcinkiewicz積分算子μΩ和某一類加權(quán)Lipschitz空間的函數(shù)b生成的交換子的加權(quán)有界性． 最近， 文獻[5]得到了變量核Marcinkiewicz積分與BMO函數(shù)生成的交換子在變指標Herz-Hardy空間上的有界性． 有關(guān)變量核積分算子及其交換子的相關(guān)結(jié)果詳見文獻[6-13]．

受以上研究的啟發(fā)， 一個自然的問題就是： 帶變量核的高階交換子Mb，m，Ω在齊次Morrey-Herz空間上是否也有界? 本文考慮了這一問題， 并證明了帶變量核的高階交換子Mb，m，Ω在加權(quán)齊次Morrey-Herz空間上的有界性， 推廣了以往非變量核的結(jié)果．

首先給出一些定義與記號：

設(shè)k∈Z， 記

Bk=B(0， 2k)={x∈Rn： |x|≤2k}

及Ck=BkBk-1， 并記χk=χCk為集Ck的特征函數(shù)．

其中

定理1對某個r∈(0， ∞]， 設(shè)Ω∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)是0階齊次函數(shù)且滿足(2)式， 設(shè)b∈BMO(Rn)， 帶變量核的高階交換子Mb，m，Ω由(4) 式所定義． 如果p∈(0， ∞]，q∈(1， ∞)，ω1∈Am1，ω2∈A1和λ>0， 若α，λ，r和q滿足以下條件之一：

引理2[16]如果ω∈Ap(1≤p<∞)， 則存在常數(shù)C>0和δω(0<δω<1)， 使得： 當(dāng)kj時，ω(Bk)/ω(Bj)≤C2(k-j)np．

定理1的證明首先證明在條件(a)下， 結(jié)論成立．

設(shè)

則

關(guān)于F1， 注意到x∈Ck，y∈Cj，j≤k-2， 因此|x-y|～|x|， 且ω2∈A1． 于是由假設(shè)

再根據(jù)引理1以及文獻 [3] 中定理1的證明方法， 有

可選擇適當(dāng)?shù)摩拢?使得

所以， 根據(jù)引理2， 有

當(dāng)1

最后來估計F3． 注意到， 當(dāng)x∈Ck，y∈Cj，j≥k+2時， 有|x-y|～|y|， 類似于F1的估計方法， 我們有

于是

當(dāng)0

當(dāng)1

類似地可證在條件(b)下結(jié)論也成立， 至此， 定理1得證．