基于小波變換的邊緣檢測技術(shù)

劉光宇 劉 彪 曾志勇 趙恩銘 邢傳璽

(1. 大理大學(xué) 工程學(xué)院， 云南 大理 671003；2. 哈爾濱工程大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院， 哈爾濱 150001；3. 云南民族大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院， 昆明 650031)

0 前 言

邊緣檢測是圖像處理的關(guān)鍵技術(shù)，在圖像分割、識別等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用[1-2]。邊緣檢測一般包括圖像濾波、圖像增強(qiáng)、圖像檢測以及圖像定位等 4個(gè)步驟[3]。傳統(tǒng)的圖像邊緣檢測方法有2種：一種是基于查找的一階微分算子，包括Sobel算子[4]、Roberts算子、Prewitt算子等；另一種是基于零穿越的方法，該方法是尋找圖像像素點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)的零交叉點(diǎn)，并采用平滑濾波，降低噪聲的影響。但是，采用這些算子提取的圖像效果并不理想。文獻(xiàn)[5]中，Roberts算子對復(fù)雜邊緣信息提取不全。文獻(xiàn)[6]中，Canny算子具有很好的信噪比，圖像定位更加準(zhǔn)確，但提取的圖像存在部分虛假邊緣，在具體應(yīng)用上，具有一定的局限性。文獻(xiàn)[7]中，由傳統(tǒng)小波變換得到的邊緣定位不良，圖像容易產(chǎn)生偽邊緣。文獻(xiàn)[8]中，傳統(tǒng)Sobel算子結(jié)構(gòu)簡單，但其并沒有對圖像的主體與背景進(jìn)行嚴(yán)格區(qū)分。針對以上問題，考慮在小波變換的基礎(chǔ)上，采用 Roberts算子對圖像的邊緣信息進(jìn)行提取。

1 Roberts算子

Roberts算子是利用局部差分，尋找邊緣的梯度算法[9]。首先，對每一個(gè)梯度的像素值進(jìn)行計(jì)算；然后，依次求取每個(gè)梯度的絕對值；最后，在一定閾值下，進(jìn)行梯度運(yùn)算的綜合操作。Roberts算子常用來處理低噪聲圖像，當(dāng)圖像邊緣接近+45°或-45°時(shí)，該算子的處理效果更理想。

Roberts算子公式如式(1)所示：

(1)

式中：g(x,y)表示梯度幅值的近似值；f(x,y)表示坐標(biāo)點(diǎn)(x,y)處的二維信號。

通過差分運(yùn)算,計(jì)算g(x,y)，并設(shè)定合理的閾值Th。若g(x,y)>Th,說明該點(diǎn)為階躍狀邊緣點(diǎn)[3]；反之，則說明該點(diǎn)不是邊緣點(diǎn)。Roberts算子的物理聚焦效果較好，但沒有對圖像進(jìn)行均值化處理，因此不適用于提取具有陡峭邊緣的圖像。

2 小波變換方法

圖像邊緣是指特定區(qū)域灰度值發(fā)生突變的地方。小波變換具有良好的局部特性和多分辨率分析等特點(diǎn)，能實(shí)際多尺度逼近邊緣，因此適用于邊緣檢測[5]。通過小波變換的模極大值點(diǎn)，可以判斷圖像邊緣的具體位置。

2.1 二維小波變換

圖像存在于x軸和y軸的交叉區(qū)域，其中每個(gè)像素點(diǎn)都有其對應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，每個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的時(shí)域，顯示為一個(gè)連續(xù)的二維信號。小波變換一般采用二維離散的方法，即對二維圖像信號在水平和垂直方向，進(jìn)行一維離散小波變換。

二維連續(xù)小波公式如式(2)所示[10]：

(2)

式中：ψ(x1,y1)表示二維基本小波；ψa;x2,y2(x1,y1)表示ψ(x1,y1)的尺度伸縮和二維位移;a表示伸縮因子；b表示位移因子;x2、y2表示發(fā)生位移后的坐標(biāo)。

對二維連續(xù)小波進(jìn)行小波變換，如式(3)所示：

WTf(a;x2,y2)=

(3)

式中：f(x1，y1)表示坐標(biāo)點(diǎn)(x1,y1)的二維信號，f(x1,x2)∈L2(R2)。

與一維小波相比，二維小波操作相對復(fù)雜，需要對其進(jìn)行尺度收縮和坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，如式(4) — 式(5)所示：

A=crθ

(4)

(5)

式中：c表示尺度因子；rθ表示旋轉(zhuǎn)因子。

二維小波的變換方程如式(6)所示：

(6)

2.2 Mallat算法

Mallat算法的原理是，通過信號f(x,y)，將尺度J轉(zhuǎn)換到Vj和Wj，得到離散逼近值ajf、djf。其中，Vj和Wj為存在于L2(R)的兩個(gè)相交空間。分解尺度設(shè)置為J+1，將ajf分解到對應(yīng)的子空間Vj+1和Wj+1上，按照上述方法依次迭代，從而實(shí)現(xiàn)多分辨率的分解。信號f(x,y)的多尺度分解過程，如圖1所示。

圖1 信號f(x,y)的多尺度分解過程

二維離散小波變換Mallat分解，如式(7) — 式(8)所示：

(7)

(8)

將式(7)和式(8)代入小波函數(shù)，得到Mallat的塔式算法，如式(9)所示：

(9)

2.3 小波模極大值計(jì)算

對于任意圖像像素點(diǎn)p(x,y)，小波變換在水平和垂直方向得到的小波系數(shù)都是獨(dú)立的，可以利用向量原理計(jì)算它的模和幅角[11]。

設(shè)θ(x,y)為二維光滑函數(shù)，滿足式(10)：

(10)

求取θ(x,y)在x,y方向的一階導(dǎo)數(shù)，得到2個(gè)基本小波，如式(11)所示：

(11)

其相應(yīng)的二維小波變換，如式(12)所示：

(12)

小波變換模定義，如式(13)所示：

(13)

將梯度的模轉(zhuǎn)化為梯度相角，可得到式(14)：

(14)

采用Mallat算法，得到梯度矢量，梯度矢量方向即為梯度模局部極大值的方向。沿著梯度矢量方向檢測小波變換系數(shù)模的局部極大值點(diǎn)，即可得到圖像的邊緣點(diǎn)[12]。

3 小波變換邊緣檢測算法的實(shí)現(xiàn)

利用小波變換的邊緣檢測算法，對圖像進(jìn)行邊緣檢測，具體操作如下(見圖2)：

圖2 基于小波變換的圖像邊緣檢測步驟

(1) 輸入圖像。

(2) 對圖像進(jìn)行小波分解。

(3) 求取小波變換系數(shù)的模值。如式(15)所示:

(15)

(4) 模值轉(zhuǎn)化為輻值。對幅角進(jìn)行4等分(見圖3)，計(jì)算0°、45°、90°、135°等方向的偏導(dǎo)數(shù)、水平和垂直方法的差方，計(jì)算特殊區(qū)域的模值，并將其轉(zhuǎn)換為幅值。

圖3 幅度劃分圖

(5) 求最大邊緣點(diǎn)。按前面各方向依次對每一個(gè)像素點(diǎn)進(jìn)行檢測。如果檢測到極大值點(diǎn)，保留并記錄為邊緣點(diǎn)；否則，梯度值設(shè)為0。

(6) 整合圖像中的最大邊緣點(diǎn)。利用小波變換尺度的多樣性，對圖像中的邊緣點(diǎn)進(jìn)行融合。

(7) 輸出圖像。

4 仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

4.1 邊緣圖像的對比

選取一張像素為512×512的瓷磚圖像，對其進(jìn)行灰度值計(jì)算，結(jié)果如圖4所示。

圖4 圖像對比

設(shè)置分解尺度J=1，采用低通、高通濾波器對圖4進(jìn)行卷積和偏導(dǎo)，生成第一級小波分解圖像，如圖5所示。第一級小波分解提取的圖像邊緣輪廓信息較少，無法分辨出所有地磚的模型，只能分辨出明顯的突變點(diǎn)，并且圖像背景中包含許多虛假信息。

圖5 第一級小波分解的圖像邊緣

設(shè)置分解尺度J=2，更新低通、高通濾波器，進(jìn)行卷積和偏導(dǎo)，生成第二級小波分解，結(jié)果如圖6所示。與第一級分解相比，第二級小波分解得到的圖像擁有更多的邊緣細(xì)節(jié)，但圖像邊緣仍然比較模糊。

圖6 第二級小波分解的圖像邊緣

選取絕對值相對大的小波系數(shù)，對分解的小波圖像進(jìn)行融合，其處理區(qū)域?yàn)?×3。首先，求取圖像中模的極大值，并轉(zhuǎn)換為幅值，尋找各方向最大值點(diǎn)，并將其設(shè)置為邊緣點(diǎn)；然后，連接圖像所有的邊緣點(diǎn)，形成圖像邊緣(見圖7a)。在Matlab中，調(diào)取Roberts函數(shù)，對圖4進(jìn)行邊緣提取(見圖7b)。

圖7 不同方法提取的圖像邊緣

由圖7可知，與傳統(tǒng)Roberts算子相比，經(jīng)過小波處理后得到的圖像邊緣，擁有更多的細(xì)節(jié)信息。采用傳統(tǒng)Roberts算子提取的圖像，地磚樣貌缺少一些重要的邊緣信息；采用本次研究方法提取的圖像邊緣幾乎連續(xù)，能夠得到較為清晰的地磚輪廓和紋理，定位更加精確，檢測到的邊緣信息更加完整。

4.2 邊緣提取評價(jià)

采用Dice(Dice Coefficient)系數(shù)和召回率(Recall)等指標(biāo)，對圖像邊緣提取效果進(jìn)行評價(jià)。

Dice系數(shù)是一種集合相似度度量函數(shù)，通常用于計(jì)算兩個(gè)樣本的相似度,計(jì)算結(jié)果的范圍為[0，1]。其計(jì)算如式(16)所示:

(16)

式中：|X∩Y|表示集合X與集合Y的交集； |X|和|Y|分別表示元素個(gè)數(shù)。

分別采用本文次研究的方法和傳統(tǒng)Roberts算子，對圖像邊緣信息進(jìn)行提取，得到的圖像相似度對比，如圖8所示。對圖像邊緣提取效果進(jìn)行評價(jià)，結(jié)果如表1所示。表中召回率為判定正確的數(shù)據(jù)所占比重。

圖8 圖像邊緣提取相似度對比

表1 圖像邊緣提取效果評價(jià)

圖8中，白色線條為提取的圖像與理想圖像重合相似的地方，綠色是除去瓷磚之外的紋理點(diǎn)。由圖可知，采用本次研究的方法提取的圖像邊緣，與理想邊緣圖像更加相似。

由表1可知，傳統(tǒng)Roberts算子與本次研究的方法的Dice系數(shù)相差5倍左右，召回率相差6倍左右。采用本次研究方法對圖像邊緣進(jìn)行提取，效果更好。

5 結(jié) 語

本次研究在小波變換基礎(chǔ)上，采用Roberts算子對圖像邊緣進(jìn)行檢測。首先，對圖像進(jìn)行小波分解，利用Roberts算子求各方向的模極大值，從而確定圖像的真實(shí)邊緣；然后，對圖像進(jìn)行融合，得到邊緣檢測圖。研究結(jié)果顯示，采用本次研究方法對圖像邊緣進(jìn)行提取，可獲得更多的紋理信息，邊緣細(xì)節(jié)更突出，邊緣定位的精確度更高。