基于區(qū)間二型模糊集的多屬性三支決策

王寧

（北京郵電大學(xué)理學(xué)院，北京 100876）

0 引言

1982 年，波蘭學(xué)者PAWLAK[1]提出了粗糙集理論，為處理不確定性提供了一個有效的工具。為了完善粗糙集理論，YAO[2]提出了決策理論粗糙集的概念?；跊Q策理論粗糙集，YAO[2]進一步提出了三支決策的理論。該理論將決策論域劃分為三個互不相交的域，并給出了對應(yīng)的解釋。即用接受，拒絕和不做承諾三個決策行動來解釋粗糙集的三個域。目前，三支決策已經(jīng)成功應(yīng)用到很多領(lǐng)域并取得了很好的結(jié)果[3]。

目前，很多三支決策模型都是基于一型模糊集并取得了很好的結(jié)果，但隨著決策環(huán)境不斷地變復(fù)雜，一型模糊集已經(jīng)不能滿足決策的需求。二型模糊集作為一型模糊集的推廣[4-6]，能更好地描述不確定信息。故Xiao 等[7]提出了基于二型模糊集的三支決策?？紤]到?jīng)Q策者的行動可能會受到不同風(fēng)險態(tài)度的影響，Wang 等[8]提出了一個區(qū)間二型模糊環(huán)境下基于后悔理論的三支決策模型[7]。在實際的決策問題中，往往涉及多個屬性而不是單一的屬性，所以多屬性三支決策受到了很多學(xué)者的關(guān)注。區(qū)間二型模糊集在表達和計算上更加的簡潔，因此我們將多屬性三支決策推廣到區(qū)間二型模糊集的環(huán)境下，來提高模型處理不確定信息的能力。

1 預(yù)備知識

1.1 區(qū)間二型模糊集

定義1 假設(shè)U 是一個論域，?A 是一個二型模糊集可以表示為：

1.2 決策理論粗糙集和三支決策

由決策理論粗糙集的定義可知，一個模糊概念的上下近似可以通過條件概率和閾值來確定。在決策理論粗糙集中通常包含兩個狀態(tài)和三個行動，分別記作Ω={C，┒C}，D={aP，aB，aN}。C 和┒C 分別表示對象屬于和不屬于C。aP表示對象x∈pos（C），即接受決策；aN表示對象x∈neg（C），即拒絕決策；aB表示對象x∈bn（C），即拒絕決策；aB表示對象x∈bn(C)，即延遲決策。每個行動的損失函數(shù)如表1 所示，其中λPP，λBP，λNP分別表示對象x 屬于狀態(tài)C 時執(zhí)行行動aP，aB，aN所產(chǎn)生的損失，λPN，λBN，λNN分別表示對象x 不屬于狀態(tài)C 時執(zhí)行行動aP，aB，aN所產(chǎn)生的損失。假設(shè)P（C│[x]）是對象屬于[x]的情況下屬于C 的概率，然后通過一對閾值0≤β≤α≤1，可以得到如下的決策規(guī)則：

表1 損失函數(shù)的矩陣

接受：pos（C）={xi∈U│P（C│[x]）≥α}，

不做承諾：bn（C）={xi∈U│β＜P（C│[x]）＜α}，

拒絕：neg（C）={xi∈U│P（C│[x]）≤β}。

根據(jù)貝葉斯決策理論和最小風(fēng)險原則，我們可以用式（4）至式（6）計算出閾值參數(shù)α，β，γ，其中0≤β≤γ≤α≤1：

2 基于區(qū)間二型模糊集的多屬性三支決策

當決策環(huán)境更加復(fù)雜時，使用一型模糊集有時不能很好的表達決策對象的評價信息。區(qū)間二型模糊集作為一型模糊集的拓展，在表達不確定信息上優(yōu)于一型模糊集，所以我們提出了一個區(qū)間二型模糊環(huán)境下的多屬性三支決策模型。

雖然區(qū)間二型模糊集在表達不確定信息上比一型模糊集更有優(yōu)勢，但在表達形式和計算上會更加的復(fù)雜。當?shù)玫竭@些模糊評價信息時，為了便于比較和計算，我們首先要對這些區(qū)間二型模糊信息進行處理，將區(qū)間二型模糊信息轉(zhuǎn)化為數(shù)值的形式并得到一個數(shù)值的信息表。因此我們需要提出一個函數(shù)將區(qū)間二型模糊信息轉(zhuǎn)換為數(shù)值。

通過定義2 提出的函數(shù)，我們可以將所有的區(qū)間二型模糊信息轉(zhuǎn)化為數(shù)值，下文將用一個案例來說明該定義的計算過程。

一所學(xué)校需要對一個學(xué)生進行評估，假設(shè)V={1，2，…，10}，班主任對該學(xué)生的評價為?A =[（5，7，8，9；1，0.9），（6，7，7，8；0.8，0.8）]，其中?A 是V 上的一個區(qū)間二型模糊集。 假設(shè)V={1，2，…，10}，?A =[（5，7，8，9；1，0.9），（6，7，7，8；0.8，0.8）] 是V 上的一個區(qū)間二型模糊集。利用函數(shù)T 我們可以計算出：

相當于班主任對這個學(xué)生的評價可以近似為0.635。

處理完區(qū)間二型模糊信息，則需要考慮三支決策的兩個關(guān)鍵因素：條件概率和閾值。首先，考慮到不同的屬性的重要程度可能是不同的，如果將各個屬性的權(quán)重設(shè)為一樣的，那么得到的決策結(jié)果可能會有偏差，因此我們將權(quán)重加入條件概率的公式之中，并給出了加權(quán)的條件概率的定義。

利用條件概率的公式計算出條件概率后，則需要考慮三支決策的另一個關(guān)鍵因素：閾值參數(shù)。閾值參數(shù)可以通過貝葉斯風(fēng)險決策理論和最小風(fēng)險原則計算得到，為了減小模型的計算量，本文的閾值參數(shù)是根據(jù)經(jīng)驗直接給出的。給定一對閾值α 和β（0≤β≤α≤1），如下的三支決策規(guī)則被給出：

接受：pos（C）={xi∈U│P（C│xi）≥α}，

不做承諾：bn（C）={xi∈U│β＜P（C│xi）＜α}，

拒絕：neg（C）={xi∈U│P（C│xi）≤β}。

通過以上討論，我們建立了一個基于區(qū)間二型模糊集的多屬性三支決策模型。

3 算例分析

本節(jié)中筆者將通過一個數(shù)值的例子來驗證所提出的基于區(qū)間二型模糊集的多屬性三支決策的有效性和合理性。

假設(shè)一個科技公司需要招聘后端開發(fā)工程師，一共有3 名求職者U={x1，x2，x3}通過了筆試的篩選進入了面試的流程，面試官將通過專業(yè)知識、實踐經(jīng)驗和綜合分析能力三個方面對應(yīng)聘者進行評估。這三個屬性的權(quán)重分別為（0.3，0.3，0.4），基本集V={1，2，…，10}，狀態(tài)集Ω={C，┒C}，其中狀態(tài)C 表示通過面試。得到的信息如表2 所示。

表2 一個關(guān)于面試的區(qū)間二型模糊信息表

首先，我們利用定義2 中的函數(shù)T 對得到的區(qū)間二型模糊信息進行處理，將所有的區(qū)間二型模糊信息轉(zhuǎn)化為數(shù)值，得到的信息如表3 所示。

表3 一個關(guān)于面試的數(shù)值信息

然后，通過定義3 給出的條件概率的計算公式，得到各個求職者的條件概率如下：

P（C│x1）=0.601，

P（C│x2）=0.747，

P（C│x3）=0.450。

根據(jù)以往的經(jīng)驗，我們設(shè)閾值α=0.7 和β=0.4，根據(jù)推導(dǎo)出的三支決策規(guī)則可以得到：

接受：pos（C）={xi∈U│P（C│xi）≥0.7}={x2}，

不做承諾：bn（C）={xi∈U│0.4＜P（C│xi）＜0.7}={x1，x3}，

拒絕：neg（C）={xi∈U│P（C│xi）≤0.4}=?。

通過上面的決策結(jié)果，我們可以知道求職者x2通過了面試，得到了該科技公司的工作；針對求職者x1和x3，該科技公司沒有給出正面的評價，需要增加面試的次數(shù)再進一步考慮是否錄用，決策的結(jié)果如圖1 所示。

圖1 決策結(jié)果

4 結(jié)語

本文給出了一個基于區(qū)間二型模糊集的多屬性三支決策模型。與基于一型模糊集的三支決策模型相比，該模型在表達模糊信息上更有優(yōu)勢。且能夠處理更多的模糊信息和決策問題。條件概率和閾值是三支決策的兩個關(guān)鍵因素，本文給出了條件概率的計算公式，但閾值是根據(jù)經(jīng)驗直接給定的。為了完善我們的模型，在未來將研究區(qū)間二型模糊環(huán)境下閾值的確定方法。另外，隨著決策環(huán)境不斷地變復(fù)雜，決策過程中往往涉及多個決策者，所以我們還將研究基于區(qū)間二型模糊集的多屬性群三支決策。