基于遺傳算法的五模材料分層優(yōu)化?

孫雪聰 孫兆永 賈 晗 畢亞峰 楊 軍

(1 中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所 噪聲與振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190)

(2 中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

(3 北京印刷學(xué)院 創(chuàng)新物理實(shí)驗(yàn)室 北京 102600)

(4 中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所 聲場(chǎng)聲信息國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190)

0 引言

由于擁有負(fù)等效模量、負(fù)等效密度、各向異性密度等反常物理特性，聲學(xué)超材料一經(jīng)問世就引起了學(xué)術(shù)界持久、廣泛的關(guān)注[1?9]。聲學(xué)超材料由周期性排列的微結(jié)構(gòu)構(gòu)成，其微結(jié)構(gòu)尺度遠(yuǎn)小于聲波波長(zhǎng)，因此可等效為均勻介質(zhì)。超材料的等效參數(shù)(如：等效密度，等效模量等)與其幾何結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，故可通過改變微結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)等效物理參數(shù)的調(diào)控，從而達(dá)到對(duì)彈性波、聲波的有效調(diào)控。

1995年，美國(guó)猶他大學(xué)(The University of Utah)的Milton 教授和Cherkaev 教授首先提出五模材料(Pentamode material)這一概念，該材料在形變時(shí)僅能承受主軸方向的應(yīng)力，與流體的“流動(dòng)”頗為相似，因此受到了研究者的廣泛關(guān)注[10]。2008年，美國(guó)羅格斯大學(xué)的Norris 教授提出了基于五模材料的變換聲學(xué)理論，完成了利用五模材料對(duì)聲波進(jìn)行調(diào)控的理論分析，也激起了廣大科研工作者對(duì)五模材料及其在聲波控制領(lǐng)域中的研究熱情[11]。2012年，Gokhale 等在Norris 所提出的五模材料變換理論基礎(chǔ)上，針對(duì)環(huán)形隱身衣，研究了理想五模材料屬性與變換映射之間的聯(lián)系，并給出常密度分布、常徑向模量分布、常切向模量分布、級(jí)數(shù)密度分布、級(jí)數(shù)徑向模量分布、級(jí)數(shù)切向模量分布以及最小各項(xiàng)異性模量分布等幾種環(huán)形斗篷對(duì)應(yīng)的映射函數(shù)[12]。此后，五模材料在水下隱身[13?14]、梯度透鏡[15]、負(fù)折射成像[16]及水聲復(fù)路通信[17]等領(lǐng)域均取得了進(jìn)展。

原則上，基于五模材料的聲學(xué)隱身衣應(yīng)具有連續(xù)的物性參數(shù)。然而，受制備工藝等客觀條件的限制，很難制備出密度和模量連續(xù)變化的五模材料。作為一種簡(jiǎn)化手段，實(shí)際制備時(shí)必須對(duì)隱身衣進(jìn)行分層，層內(nèi)的密度與模量是均勻分布的。

由于超材料是由周期性排列的微結(jié)構(gòu)構(gòu)成，在利用超材料制備隱身衣的過程中，不可避免的要對(duì)理想隱身衣進(jìn)行離散分層。在離散分層的過程中，每一層的材料參數(shù)被視為均勻分布。然而，由于分層人為引入了交界面，對(duì)隱身衣性能必然會(huì)造成影響，因此研究分層對(duì)隱身衣性能的影響具有重要的理論及實(shí)際意義。Cai等[18]研究了變換函數(shù)對(duì)分層慣性隱身衣隱身性能的影響。Scandrett 等[19]對(duì)五模材料球形隱身衣的密度和模量進(jìn)行優(yōu)化，以提升隱身性能。張向東等[20]研究了圓柱狀五模材料隱身衣層數(shù)、層厚分布等分層因素對(duì)隱身衣性能的影響。然而，以上工作所涉及的分層方式均為均勻分層，而對(duì)于非均勻分層的情況，目前討論并不多見。由于非均勻分層突破了分層厚度的限制，對(duì)隱身衣性能的影響多了一個(gè)自由度，因此有必要對(duì)其進(jìn)行深入的研究，以便尋找最優(yōu)的分層優(yōu)化方案。

本文分析了分層方式對(duì)隱身效果調(diào)控的影響，提出了一種基于遺傳算法的五模材料分層優(yōu)化策略，利用聲學(xué)仿真證明了該策略對(duì)窄帶探測(cè)信號(hào)和寬帶探測(cè)信號(hào)的有效性。本文所提出的分層優(yōu)化策略具有易于實(shí)現(xiàn)，通用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，為其他類型的超材料器件設(shè)計(jì)提供了可行的技術(shù)途徑。

1 五模材料的變換聲學(xué)理論

二維空間中五模材料的彈性張量可以表示為

其中，S是五模材料的特征應(yīng)力張量，在主軸坐標(biāo)系下有較為簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣形式：

聯(lián)立公式(1)和公式(2)，可以得到彈性矩陣C在主軸坐標(biāo)系下有如下形式：

根據(jù)系數(shù)γ的正負(fù)可以進(jìn)一步定義正五模材料(γ=1)和負(fù)五模材料(γ=?1)，本文主要討論正五模材料，因此如無特別說明，下文五模材料均指正五模材料。公式(3)中的Kx和Ky分別為五模材料x主軸和y主軸的壓縮模量，在這兩個(gè)主方向聲波的相速度分別為

根據(jù)以上分析，改變五模材料的模量或者密度，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)聲速的有效調(diào)節(jié)，這是五模材料聲波調(diào)控的基礎(chǔ)。

二維五模材料的微結(jié)構(gòu)呈六邊形，如圖1(a)所示，其中橘黃色區(qū)域是一個(gè)完整的五模材料單元示意圖。五模材料單元的基材一般采用硬質(zhì)金屬，如鋁合金、鈦合金等，六邊形內(nèi)部的空白填充空氣。圖1(a)中的五模材料微結(jié)構(gòu)基材為鋁合金，楊氏模量為Es=69 GPa，泊松比為σ=0.33，密度為ρs=2700 kg/m3，單元的幾何參數(shù)為l=h=5 mm，w=2.38 mm，s=3.50 mm，t=0.25 mm，因此單元的等效密度為ρeff=1263.48 kg/m3。圖1(a)中的五模材料的頻散曲線如圖1(b)所示，其中橘黃色曲線代表結(jié)構(gòu)的剪切模態(tài)，綠色曲線代表結(jié)構(gòu)的壓縮模態(tài)。根據(jù)圖1(b)中的能帶可以計(jì)算出微結(jié)構(gòu)壓縮模態(tài)的等效聲速分別為cx=805.34 m/s，cy=1115.21 m/s，剪切模態(tài)的等效聲速分別為csx=86.34 m/s，csy=73.35 m/s。因此，通過計(jì)算可以得到該單元的等效彈性張量近似為

其中，B=2.25 GPa是水的體模量。結(jié)合圖1(b)中的頻散曲線和等效彈性張量CPM，不難發(fā)現(xiàn)五模材料的剪切模量遠(yuǎn)小于壓縮模量，因此在很寬頻率范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)中只存在壓縮模態(tài)，表現(xiàn)出近似流體的聲學(xué)特性。等效壓縮模量表現(xiàn)出各向異性的特征，這是因?yàn)樵摻Y(jié)構(gòu)所選取的質(zhì)量塊對(duì)稱性較低，可以通過調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)單元水平邊和斜邊的長(zhǎng)度比h/l和拓?fù)浣铅聛砀淖兏飨虍愋猿潭萚21]。

圖1 二維五模材料微結(jié)構(gòu)和能帶Fig.1 The unit cell and band diagram of pentamode materials

通過以上分析可知，五模材料微結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)能夠很好地描述五模材料微結(jié)構(gòu)的性能，因此在設(shè)計(jì)五模材料器件的過程中，常常先研究等效參數(shù)描述下五模材料器件的性能，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究包含微結(jié)構(gòu)的五模材料器件聲學(xué)效果。

2008年，Norris 教授基于空間坐標(biāo)變換提出了基于五模材料的變換聲學(xué)理論，為五模材料的器件設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。該理論建立了物理空間與虛擬空間的坐標(biāo)變換關(guān)系，通過對(duì)隱身衣材料進(jìn)行參數(shù)設(shè)計(jì)，來操控聲波繞過隱藏區(qū)域最終實(shí)現(xiàn)聲隱身。

圖2(a)為二維環(huán)形五模材料的虛擬空間，圖2(b)為其物理空間，灰色的背景區(qū)域均為相同的背景介質(zhì)。虛擬空間和物理空間之間可以建立如下映射關(guān)系：

圖2 五模材料坐標(biāo)變換示意圖Fig.2 Diagram of coordinate transformation of pentamode material

由于虛擬空間和物理空間具有不同的拓?fù)鋵傩?，為了避免出現(xiàn)奇點(diǎn)，在虛擬空間的中心處挖半徑為δ的小洞，映射的邊界條件應(yīng)滿足b=f(b)、δ=f(a)。映射梯度F在極坐標(biāo)系下可以表示為

由于F是對(duì)稱張量，可令特征應(yīng)力張量滿足

假定整個(gè)虛擬空間和物理空間中隱身衣以外的區(qū)域均分布著密度為ρ0模量為K0的聲學(xué)介質(zhì)，隱身衣密度為ρ，徑向模量為Kr，切向模量為Kθ。由于聲波在兩個(gè)空間遵從相同的物理定律，波動(dòng)方程具有相同的形式，結(jié)合坐標(biāo)變換法則可以計(jì)算出隱身衣材料參數(shù)的表達(dá)式如公式(9)所示：

由式(9)可以看出，隱身衣的密度和模量分布取決于映射關(guān)系f(r)。表1給出了常密度映射、常模量映射和線性映射3 種具有代表性的坐標(biāo)變換映射方式以及對(duì)應(yīng)的參數(shù)分布。表中的密度ρ、徑向模量Kr、切向模量Kθ均為與背景介質(zhì)的密度ρ0和模量K0的相對(duì)值[21]。

表1 幾種典型的映射關(guān)系Table 1 Mapping relations

2 基于遺傳算法的五模材料分層優(yōu)化

表1給出了不同的映射方式對(duì)應(yīng)的參數(shù)分布特點(diǎn)，對(duì)于設(shè)計(jì)五模材料隱身衣具有很好的指導(dǎo)意義。在利用表1所給出的參數(shù)設(shè)計(jì)隱身衣器件時(shí)，需要先對(duì)其進(jìn)行分層。為了簡(jiǎn)單起見，本文僅考慮標(biāo)準(zhǔn)環(huán)形隱身衣的分層優(yōu)化問題。對(duì)某一層而言，層內(nèi)的密度與模量視為均勻分布。以起始半徑和終止半徑的算術(shù)均值視為該層的參數(shù)半徑，然后將其代入表1的線性映射關(guān)系中，則能夠計(jì)算出該層對(duì)應(yīng)的模量和密度。圖3(a)為將二維五模材料隱身衣分為5 層后的結(jié)構(gòu)示意圖，其中隱藏空間的半徑r0=0.1 m，隱身衣的外徑r5=0.5 m；由內(nèi)到外每一層的終止半徑分別為r1、r2、r3、r4和r5。圖3(b)～(d)分別為表1中3 種映射關(guān)系下隱身衣的密度、切向模量和徑向模量隨半徑變化的對(duì)比圖。由上述3 幅圖可知，無論是在常密度、常模量還是線性映射下，五模材料隱身衣的材料參數(shù)都是隨半徑連續(xù)變化的，且材料參數(shù)和半徑之間并不都是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，這意味著隱身衣的分層方式會(huì)對(duì)其最終的隱身效果造成一定的影響，傳統(tǒng)的均勻分層方式并不是最優(yōu)的選擇。因此，為了得到最佳的隱身效果，本文以表1所示的線性映射為研究對(duì)象，對(duì)基于五模材料的聲學(xué)隱身衣的分層方式進(jìn)行了研究。

圖3 五模材料隱身衣分層示意圖和材料參數(shù)分布Fig.3 The diagram and material parameter distributions of pentamode materials

考慮到五模材料的散射聲壓場(chǎng)求解過程十分復(fù)雜，不易抽象出明確的散射聲壓的解析表達(dá)式，傳統(tǒng)的基于梯度的優(yōu)化算法并不適用，故引入遺傳算法對(duì)五模材料進(jìn)行分層優(yōu)化，以提升隱身效果。遺傳算法是模擬生物在自然環(huán)境中的遺傳和進(jìn)化過程而形成的一種自適應(yīng)全局優(yōu)化概率搜索算法[22]。遺傳算法最初是借鑒了進(jìn)化生物學(xué)中的一些現(xiàn)象而發(fā)展起來的，這些現(xiàn)象包括自然選擇(Selection)、交叉(Crossover)以及變異(Mutation)等。遺傳算法是通過隨機(jī)生成一組目標(biāo)函數(shù)作為父代樣本，經(jīng)過自然選擇確定保留以及淘汰的個(gè)體，隨后再進(jìn)行雜交以及變異獲得子代樣本，與自然進(jìn)化進(jìn)程類似，子代個(gè)體比父代個(gè)體獲得更好的適應(yīng)性。

遺傳算法的流程如圖4所示，通過選擇、交叉、變異等步驟，并進(jìn)行循環(huán)，達(dá)到收斂條件后即可得到最優(yōu)解。在優(yōu)化過程中保持隱身衣的隱藏空間的半徑r0和隱身衣的外徑r5不變，待優(yōu)化變量為中間層的半徑r1、r2、r3和r4，且滿足r0

圖4 遺傳算法流程示意圖Fig.4 The capability of genetic algorithm

2.1 最小化散射聲能量

首先選擇最小化隱身衣的散射聲能量Es作為優(yōu)化問題的目標(biāo)，最小化隱身衣的散射聲能量可以用于抵御聲場(chǎng)中任何位置的探測(cè)?；鵆OMSOL 進(jìn)行遺傳算法優(yōu)化[23]，計(jì)算不同分層方式對(duì)應(yīng)的散射聲能量，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)。算法對(duì)該優(yōu)化問題展現(xiàn)出較好的魯棒性，并隨迭代次數(shù)的增加逐漸收斂。圖5(a)為目標(biāo)頻率為10 kHz 時(shí)算法的進(jìn)化曲線，在優(yōu)化計(jì)算的過程中，迭代超過60次時(shí)已經(jīng)出現(xiàn)了最優(yōu)解，此后便是優(yōu)勢(shì)逐漸擴(kuò)大的過程。

優(yōu)化前后隱身衣的分層方式如表2第一列和第二列所示，優(yōu)化前為均勻分層，而優(yōu)化后的隱身衣每一層的厚度不再均勻。隱身衣優(yōu)化前后的總聲場(chǎng)和散射聲場(chǎng)可以由COMSOL進(jìn)行數(shù)值仿真得到，數(shù)值模擬的區(qū)域是一個(gè)邊長(zhǎng)為3 m 的正方形區(qū)域，背景介質(zhì)為水。入射波為從仿真區(qū)域左側(cè)入射的10 kHz 的平面波，總的入射聲能量Ein可以通過入射聲場(chǎng)對(duì)入射邊界積分求得。為了模擬理想狀態(tài)無限大流體介質(zhì)中平面聲波的傳播特性，正方形區(qū)域的4 條邊均設(shè)置為“平面波輻射”的邊界條件。隱身衣的總散射聲能量Es可以通過散射聲場(chǎng)對(duì)正方形區(qū)域的4 條邊界積分求得。圖5(b)和圖5(c)分別為優(yōu)化前后總聲場(chǎng)的仿真結(jié)果，圖5(d)和圖5(e)分別為優(yōu)化前后散射聲場(chǎng)的仿真結(jié)果。通過對(duì)比這4 幅圖可以較為直觀地看出，優(yōu)化前由于存在比較嚴(yán)重的散射效應(yīng)，造成總聲場(chǎng)的波陣面發(fā)生變形。而優(yōu)化后散射聲場(chǎng)被明顯削弱，總聲場(chǎng)的波陣面更加連續(xù)，與平面波聲場(chǎng)更接近，隱身效果更好。

圖5 進(jìn)化曲線和優(yōu)化前后聲場(chǎng)對(duì)比Fig.5 Evolution curve and comparison of the acoustics fields before and after optimization

為了定量地展現(xiàn)優(yōu)化前后的性能提升，常用散射截面σs來描述隱身衣的隱身效果：

其中，Ein為入射聲能量，Es為散射聲能量，散射截面σs正比與散射聲能量Es，散射截面越小，隱身效果越好。圖6展示了優(yōu)化前后隱身衣散射截面隨頻率的變化曲線，與未優(yōu)化的時(shí)均勻分層的隱身衣(藍(lán)線)相比，優(yōu)化后隱身衣的散射截面(紅線)在以10 kHz 為中心頻率一定寬度的頻帶內(nèi)整體均有所降低。其中，目標(biāo)頻率10 kHz 處的散射聲能量較優(yōu)化前降低了77%。由此可見，基于單目標(biāo)頻點(diǎn)的遺傳算法優(yōu)化不僅可以使目標(biāo)頻點(diǎn)的散射聲壓大幅度降低，以目標(biāo)頻點(diǎn)為中心的一定帶寬內(nèi)的散射聲壓也會(huì)隨之被降低。

圖6 優(yōu)化前后隱身效果對(duì)比Fig.6 Comparison of the stealth effects before and after optimization

為了拓寬優(yōu)化頻帶的寬度，躲避寬頻聲吶信號(hào)的探測(cè)，也可以對(duì)多個(gè)頻點(diǎn)的散射聲場(chǎng)同時(shí)進(jìn)行最小化。這里選取目標(biāo)頻率點(diǎn)為9 kHz、10 kHz 和11 kHz，優(yōu)化后的隱身衣每一層的半徑如表2第三列所示，優(yōu)化后隱身衣散射截面隨頻率的變化曲線如圖6中黃線所示。與圖6中紅線對(duì)比可知，雖然單目標(biāo)優(yōu)化可以令f=10 kHz 處的散射聲能量降得很低，但偏離10 kHz 時(shí)散射聲壓會(huì)稍有提升；若對(duì)9 kHz、10 kHz、11 kHz三個(gè)頻率點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，在更加寬頻的范圍內(nèi)的散射聲能量均被降低了，且散射聲能量的變化趨勢(shì)也更加平緩。

表2 優(yōu)化前后隱身衣每一層的半徑Table 2 The radius of each layer of pentamode materials before and after optimization(單位：m)

2.2 最小化反射聲能量

現(xiàn)階段使用的聲吶探測(cè)儀多為自發(fā)自收型，考慮實(shí)際需求只需要最小化回波能量，即反射聲能量，就能躲避自發(fā)自收型水下聲吶信號(hào)探測(cè)，獲得很好的隱身效果。

假定探測(cè)信號(hào)為由仿真區(qū)域左方入射的5 kHz的平面波，優(yōu)化目標(biāo)為最小化反射聲能量，即最小化左半邊區(qū)域的散射聲能量。整個(gè)優(yōu)化過程與數(shù)值仿真方法與2.1 節(jié)完全相同，其中隱身衣的反射聲能量Er可以通過散射聲場(chǎng)對(duì)左半邊區(qū)域的邊界積分求得。圖7為優(yōu)化前后散射聲場(chǎng)分布對(duì)比，可以看到優(yōu)化前散射聲場(chǎng)能量有很大部分集中在左側(cè)回波部分，而對(duì)分層方式進(jìn)行優(yōu)化可以使散射聲場(chǎng)能量幾乎全部集中在透射區(qū)域，從而大大降低回波強(qiáng)度，隱身性能得到大大加強(qiáng)。

圖7 優(yōu)化前后散射聲場(chǎng)對(duì)比Fig.7 The comparison of the scattering fields before and after optimization

與2.1 節(jié)中的散射截面類似，這里定義反射截面σr來定量地描述反射聲場(chǎng)的強(qiáng)度：

其中，Er為反射聲能量，反射截面σr正比于散射聲能量Er，反射截面越小，在入射端進(jìn)行探測(cè)時(shí)越不易探測(cè)到，隱身效果越好。

圖8為優(yōu)化前后反射截面和散射截面隨頻率的變化曲線的對(duì)比，實(shí)線代表優(yōu)化前的仿真結(jié)果，虛線為優(yōu)化后的仿真結(jié)果。由圖8可知，在目標(biāo)頻率附近的反射聲能量得到了明顯的抑制，反射能量降低了90%以上。值得注意的是，壓低反射區(qū)域聲能量的同時(shí)并不會(huì)造成透射區(qū)域聲能量的增高，整個(gè)背景聲場(chǎng)的散射聲能量也均比優(yōu)化前有所降低。

圖8 優(yōu)化目標(biāo)為最小化反射聲能量時(shí)隱身效果對(duì)比Fig.8 Comparison of stealth effect for minimizing reflected acoustic energy

綜上所述，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可以考慮探測(cè)信號(hào)的類型，來設(shè)置優(yōu)化目標(biāo)，以達(dá)到最優(yōu)的隱身效果。

3 結(jié)論

作為一種能夠傳播縱波而抑制橫波的等效流體，五模材料擁有寬頻有效性、固體形態(tài)、模量和密度同時(shí)可調(diào)、基體介質(zhì)選擇多樣等優(yōu)點(diǎn)，因此常被用于水下聲波調(diào)控?；谖迥２牧系淖儞Q聲學(xué)理論的問世使五模材料成為制作水下聲隱身斗篷的熱門材料之一，逐漸獲得了國(guó)內(nèi)外研究組的廣泛關(guān)注。本文基于Norris 教授提出的五模材料變換聲學(xué)理論，提出了五模材料隱身衣分層優(yōu)化策略，并利用COMSOL 進(jìn)行了聲學(xué)仿真。仿真結(jié)果表明優(yōu)化前的均勻分層并不能得到最理想的隱身效果，而采用優(yōu)化策略后散射聲能量和反射聲能量都有大幅下降，對(duì)于窄帶和寬帶探測(cè)信號(hào)都具有更好的隱身效果。

由于超材料的微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是一個(gè)十分復(fù)雜的問題，很難得到確切的解析解，而在對(duì)數(shù)值解的探索方面尚有很多問題亟待解決。鑒于遺傳算法在五模材料的分層優(yōu)化問題上取得了較好的效果，且具有原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、通用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在之后的研究中將會(huì)在分層優(yōu)化的基礎(chǔ)上加入微結(jié)構(gòu)單元，進(jìn)一步推動(dòng)超材料從理論模型邁向?qū)嶋H應(yīng)用。