非對稱錨定面內(nèi)開關(guān)液晶平板光波導(dǎo)的色散方程

查正桃張謙述*溫倩周琪張耀進張沖董帥蔣勇

非對稱錨定面內(nèi)開關(guān)液晶平板光波導(dǎo)的色散方程

查正桃1，2，張謙述2*，溫倩2，周琪2，張耀進2，張沖2，董帥2，蔣勇2

（1.西華師范大學(xué) 物理與天文學(xué)院，四川 南充 637009；2.西華師范大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，四川 南充 637009）

為了準確計算液晶光波導(dǎo)中的模式，推導(dǎo)出了非對稱錨定面內(nèi)開關(guān)平板液晶光波導(dǎo)中橫電模式的色散方程。進行了模式的求解，并與僅適用于均勻各向同性材料的傳統(tǒng)色散方程得出的結(jié)果進行了比較。結(jié)果顯示，傳統(tǒng)色散方程得出的每一個模式的有效折射率都比本文方程的求解結(jié)果更大，且該偏差隨模式階數(shù)的增加而變得更加嚴重。在本文的例子中，基模、階模、2階模對應(yīng)的最大偏差分別占液晶雙折射的7.8%，17.8%，26.3%，這表明液晶指向矢的漸變特性對有效折射率解有不容忽視的影響。因此，相較于傳統(tǒng)色散方程的不足，本文提出的色散方程能更有效地分析液晶光波導(dǎo)中的模式。最后，通過與已有的數(shù)值結(jié)果進行比較驗證了本文提出的色散方程的有效性與準確性。

非對稱錨定；面內(nèi)開關(guān)；液晶；光波導(dǎo)；色散方程

1 引言

向列相液晶（Nematic Liquid Crystal， NLC）的大電光效應(yīng)［1］和高光學(xué)雙折射［2］使其能在低電壓下電調(diào)諧液晶光波導(dǎo)的傳播特性，而且其具有響應(yīng)速度快［3］、在可見光與近紅外波段的透光率高［4］等優(yōu)勢。目前，NLC已成為光子學(xué)領(lǐng)域中一種極具應(yīng)用潛力的電光材料。近年來，基于非對稱錨定面內(nèi)開關(guān)（In-Plane Switching， IPS）模式的NLC平板光波導(dǎo)因其可近似產(chǎn)生純橫電（Transverse Electric， TE）和橫磁（Transverse Magnetic， TM）模式，而逐漸引起了研究人員的興趣，環(huán)形諧振器［5］、光學(xué)濾波器［6］、光開關(guān)［7］等基于IPS-NLC光波導(dǎo)的光學(xué)器件被相繼報道。

在以上的研究中，NLC光波導(dǎo)的本征模式分析是最重要的步驟［8］，有效折射率計算的準確性直接影響到其器件的性能。實際運用中的液晶光波導(dǎo)通常具有錨定取向?qū)樱?］，由Freedericksz轉(zhuǎn)變［10］可知當(dāng)液晶指向矢在外加電壓下發(fā)生場致重新取向時，其偏轉(zhuǎn)角是沿外加電場方向逐漸變化的，從而產(chǎn)生在空間上漸變的液晶介電張量。因此，并不能直接應(yīng)用有限差分法［11］、有限元法［12］、變分法［13］以及矢量偽譜法［14］等僅適用于均勻各向異性光波導(dǎo)的數(shù)值算法來分析IPS-NLC光波導(dǎo)的本征模式。這種IPS-NLC平板光波導(dǎo)的TM模式與液晶指向矢的偏轉(zhuǎn)角無關(guān)，但其TE模式卻受指向矢偏轉(zhuǎn)角的調(diào)控。因此，傳統(tǒng)的色散方程［15］也僅適用于計算IPS-NLC光波導(dǎo)的TM模式，卻并不能準確分析其TE模式。文獻［6］分析了一些特定電壓下E7 （Merck）液晶的折射率擬合曲線，進而計算出IPS-NLC平板光波導(dǎo)中TE模式的有效折射率。但其結(jié)果是基于具體材料和特定電壓所得出的，不僅不具有一般性，而且其折射率擬合函數(shù)中的系數(shù)復(fù)雜且難以確定。截至目前，正因為缺乏IPS-NLC光波導(dǎo)TE模式的色散方程，導(dǎo)致很難分析液晶指向矢的漸變特性對其有效折射率的影響，這在一定程度上也限制了能適用于不同外加電壓的單模液晶光波導(dǎo)的準確設(shè)計。因此，為了能夠準確分析任意外加電壓下IPS-NLC平板光波導(dǎo)的本征模式，深化其應(yīng)用，需要探索出其TE模式的色散方程。

本文基于麥克斯韋方程組，采用WKB法［16］的研究思路推導(dǎo)出非對稱錨定IPS-NLC平板光波導(dǎo)中TE模式的模場分布和色散方程。然后，在給定的實例下進行模式的求解，通過與使用傳統(tǒng)色散［15］方程得出的結(jié)果進行比較從而分析了液晶指向矢的漸變特性對有效折射率解的影響。最后，與之前已有的結(jié)果［6］進行比較，驗證了本文提出的色散方程的有效性與準確性。

2 色散方程原理

式中，U為外加電壓，為閾值電壓，為Frank扭曲彈性常數(shù)，為真空中介電常數(shù)，為液晶的介電各向異性。此外，為液晶指向矢的最大偏轉(zhuǎn)角，其值可通過令式（1）中得到。采用旋轉(zhuǎn)矩陣［10］可得波導(dǎo)坐標系xyz下NLC的介電張量為

式中：

根據(jù)電磁分量在=0的邊界條件［16］可得TE模式的色散方程為

3 實例與分析

為了與已有的結(jié)果進行比較，本文仍然選擇典型的NLC E7 （Merck）作為波導(dǎo)材料，包層與襯底層均為熔融石英玻璃。IPS-NLC平板光波導(dǎo)的主要參數(shù)見表1。

表1IPS-NLC平板光波導(dǎo)的主要參數(shù)

Tab.1　Major parameters of IPS-NLC slab optical waveguide

3.1　求解與討論

圖2　E7關(guān)鍵參數(shù)的電調(diào)諧特性。（a）介電分量；（b）折射率分布函數(shù)。

圖3　有效折射率隨外加電壓的變化曲線。（a）基模；（b）1階模；（c） 2階模。

從圖3可見，對于波導(dǎo)中的每一個模式，由傳統(tǒng)方程得出的有效折射率總是比方程（10）求解出的結(jié)果更大。具體原因如下：

當(dāng)外加電壓略高于閾值電壓時，由于幾乎所有液晶指向矢的偏轉(zhuǎn)角度是一致的，液晶的折射率分布函數(shù)衰減趨勢平緩（圖2（b）），此時非對稱錨定IPS-NLC平板光波導(dǎo)可以被視為均勻各向異性光波導(dǎo)，從而兩種方程得出的有效折射率間的差異較小。

隨著外加電壓的繼續(xù)增加且位于圖3中灰色虛線區(qū)間內(nèi)時，各液晶分子偏轉(zhuǎn)角度不一致的趨勢逐漸明顯（即不能達到最大偏轉(zhuǎn)角的液晶分子數(shù)量開始增加），具體表現(xiàn)為液晶的折射率分布函數(shù)衰減趨勢逐漸變得陡峭（圖2（b）），從而導(dǎo)致兩種方程得出的有效折射率間的差異逐漸增大。從圖3中還可以看到，由兩種色散方程得出的有效折射率之間的差異會隨模式階數(shù)的增大而變得更加嚴重。這是因為在同一外加電壓下，液晶分子偏轉(zhuǎn)角的梯度會隨著轉(zhuǎn)折點向波導(dǎo)上包層移動而增加。此外，當(dāng)外加電壓增加到某個特定值時具有最大的有效折射率偏差。在這里，基模、1階模、2階模這3個低階模式所對應(yīng)的最大有效折射率偏差分別占液晶雙折射的7.8%， 17.8%， 26.3%，這個特定電壓值介于1.3～1.4倍閾值電壓范圍內(nèi)。

當(dāng)外加電壓超過這一特定電壓值后，兩種色散方程得出的有效折射率間的差異隨外加電壓的持續(xù)增加而逐漸減小，并在足夠大的外加電壓下，這種差異將趨于零。這是因為此時液晶指向矢偏轉(zhuǎn)角度的漸變隨外加電壓的持續(xù)增加開始一直呈減弱趨勢，并且在足夠大的電壓下IPS-NLC平板光波導(dǎo)可再次被視為均勻各向異性光波導(dǎo)。這一點可從圖2（b）中液晶的折射率分布函數(shù)隨著外加電壓的增加而再次寬范圍地趨于平緩得到證實。

基于以上結(jié)果可以得出，液晶指向矢的漸變特性在有效折射率解上存在不可忽視的影響。因此，用傳統(tǒng)色散方程分析IPS-NLC平板光波導(dǎo)的TE模式是有所不足的，本文提出的色散方程能更準確地計算這種液晶光波導(dǎo)中的模式。

3.2　色散方程的有效性與準確性

為了驗證本文提出的色散方程的有效性與準確性，使用文獻［6］中的擬合系數(shù)得出的數(shù)值結(jié)果與方程（10）的求解結(jié)果進行比較，如圖4所示。

從圖4可以明顯看到，由色散方程（10）計算出的有效折射率與精確數(shù)值結(jié)果非常吻合，表明本文所提出的色散方程是有效及準確的。應(yīng)當(dāng)說明的是，因為文獻［6］僅分析了幾個特定電壓下的折射率擬合曲線，所以這里僅含這些電壓下的折射率值，但這仍能為本文所推導(dǎo)出的色散方程的準確性提供很好的驗證。

4 結(jié)論

本文在考慮了液晶場致重新取向漸變特性的情形下，提出了一個適用于非對稱錨定IPS-NLC平板光波導(dǎo)的色散方程。求解結(jié)果表明，該方程相較于傳統(tǒng)色散方程能更準確地分析液晶光波導(dǎo)的TE模式。通過與之前的結(jié)果進行比較，驗證了本文提出的色散方程的有效性與準確性。該色散方程能為基于IPS-NLC光波導(dǎo)的研究提供很好的幫助，例如，單模NLC光波導(dǎo)的設(shè)計以及光學(xué)相位延遲的準確測量。

［1］ KHOO I C， WU S T.［M］. Singapore： World Scientific Publishing， 1993.

［2］ DAVIS S R， ROMMEL S D， FARCA G，. A new electro-optic waveguide architecture and the unprecedented devices it enables［C］//6975，Ⅳ. Orlando： SPIE， 2008： 697503.

［3］ SHENOY M R， SHARMA M， SINHA A. An electrically controlled nematic liquid crystal core waveguide with a low switching threshold［J］.， 2015， 33（10）： 1948-1953.

［4］ BEECKMAN J， NEYTS K， VANBRABANT P J M. Liquid-crystal photonic applications［J］.， 2011， 50（8）： 081202.

［5］ DE CORT W， BEECKMAN J， JAMES R，. Tuning silicon-on-insulator ring resonators with in-plane switching liquid crystals［J］.B， 2011， 28（1）： 79-85.

［6］ TRIPATHI U S， RASTOGI V. Liquid crystal based rib waveguide［J］.， 2020， 38（15）： 4045-4051.

［7］ TRIPATHI U S， BIJALWAN A， RASTOGI V. Rib waveguide based liquid crystal EO switch［J］.， 2020， 32（23）： 1453-1456.

［8］ 查正桃，張謙述.液晶光波導(dǎo)中本征模內(nèi)場分量間的關(guān)系［J］.液晶與顯示，2022，37（1）：14-20.

ZHA Z T， ZHANG Q S. Relationship of field components in the liquid crystal optical waveguide eigenmode［J］.， 2022， 37（1）： 14-20. （in Chinese）

［9］ 查正桃，張謙述.基于液晶光波導(dǎo)的電控偏振旋轉(zhuǎn)器［J］.中國光學(xué)， 2022， 15（3）： 552-561.

ZHA Z T， ZHANG Q S. Electrically controlled polarization rotator based on liquid crystal optical waveguide［J］.， 2022， 15（3）： 552-561. （in Chinese）

［10］ YANG D K， WU S T.［M］. ?Hoboken： John Wiley & Sons Inc.， 2006.

［11］ FALLAHKHAIR A B， LI K S， MURPHY T E. Vector finite difference modesolver for anisotropic dielectric waveguides［J］.， 2008， 26（11）： 1423-1431.

［12］ LIU N， CAI G X， ZHU C H，. The mixed finite-element method with mass lumping for computing optical waveguide modes［J］.， 2016， 22（2）： 187-195.

［13］ OHTAKA M， KOBAYASHI T. Vector variational analysis of the guided modes in the three-dimensional anisotropic optical waveguides［J］.（：）， 1986， 69（8）：1-10.

［14］ HUANG C C. Modeling mode characteristics of transverse anisotropic waveguides using a vector pseudospectral approach［J］.， 2010， 18（25）： 26583-26599.

［15］ KAWANO K， KITOH T.：［M］. New York： John Wiley & Sons， Inc.， 2001.

［16］ CHEN C L.-［M］. Hoboken： John Wiley & Sons Inc.， 2007.

［17］ PERIVOLARI E， D’ALESSANDRO G， APOSTOLOPOULOS V，. Two-dimensional snapshot measurement of surface variation of anchoring in liquid crystal cells［J］.， 2021， 48（15）： 2086-2096.

［18］ CHOI Y， OH S W， CHOI T H，. Liquid crystal cell asymmetrically anchored for high transmittance and triggered with a vertical field for fast switching［J］.， 2020， 28（14）： 20553-20562.

［19］ CHEN H W， HUANG Y G， GOU F W，. New nematic LCD with submillisecond response time［J］.， 2018， 49（1）： 1691-1694.

［20］ NIE X Y， LU R B， XIANYU H Q，. Anchoring energy and cell gap effects on liquid crystal response time［J］.， 2007， 101（10）： 103110.

［21］ SUN Y B， MA H M， ZHANG Z D. Grey behaviour analysis of in-plane switching mode liquid crystal displays with weak-anchoring effects［J］.， 2002， 29（8）： 1059-1062.

［22］ SATO O，IWATA N， KAWAMURA J，. An in-plane switching liquid crystal cell with weakly anchored liquid crystals on the electrode substrate［J］.， 2017， 5（18）： 4384-4387.

［23］ KHOO I C.［M］. New York： Wiley， 2007.

［24］ AGRAWAL O P. Formulation of Euler-Lagrange equations for fractional variational problems［J］.， 2002， 272（1）： 368-379.

［25］ GRADSHTEYN I S， RYZHIK I M.，，［M］. 7th ed. Burlington： Academic Press， 2007.

［26］ HOCKER G， BURNS W. Modes in diffused optical waveguides of arbitrary index profile［J］.， 1975， 11（6）： 270-276.

［27］ YE W J， LI Z J， YUAN R，. Accurate measurement of the twist elastic constant of liquid crystal by using capacitance method［J］.， 2019， 46（3）： 349-355.

［28］ LI J， WU S T， BRUGIONI S，. Infrared refractive indices of liquid crystals［J］.， 2005， 97（7）： 073501.

Dispersion equation of asymmetric anchored in-plane switching liquid crystal slab optical waveguide

ZHA Zheng-tao1，2，ZHANG Qian-shu2*，WEN Qian2，ZHOU Qi2，ZHANG Yao-jin2，ZHANG Chong2，DONG Shuai2，JIANG Yong2

（1，，637009，；2，，637009，）

To calculate the modes in liquid crystal optical waveguides， we derive the dispersion equation of transverse electric （TE） mode in the asymmetrical anchoring in-plane switching nematic liquid crystal （IPS-NLC） slab optical waveguide by using the analytical thinking of the WKB method. The mode is solved and compared with the results obtained from the traditional dispersion equation. The results show that the effective refractive index of each mode obtained by the traditional dispersion equation is always greater than that calculated by our equation. The deviation between the effective refractive index is not only related to the applied voltage but also becomes more severe with the increase of the mode order. In the current example， the maximum deviations corresponding to the fundamental， first-order， and second-order modes account for 7.8%， 17.8%， and 26.3% of the liquid crystal’s birefringence， respectively. This result indicates that the gradient characteristic of the liquid crystal’s director has a non-negligible effect on calculating the effective refractive index. Consequently， the dispersion equation proposed by us can analyze the modes in the IPS-NLC optical waveguide more effectively than the traditional dispersion equation. Finally， the accuracy of the dispersion equation presented in this study is verified by comparing ours with the existing numerical results.

asymmetric anchored； in-plane switching； liquid crystal； optical waveguide； dispersion equation

O753+.2；TN252

A

10.37188/CJLCD.2022-0091

1007-2780（2022）07-0832-08

2022-03-21；

2022-03-31.

四川省科技廳科研基金（No.2014JY0024）；南充市科技局科研基金（No.19YFZJ0090）；西華師范大學(xué)英才科研基金（No.17YC056）

Supported by Scientific Research Foundation of Science and Technology Department of Sichuan Province （No.2014JY0024）； Scientific Research Foundation of the Science and Technology Bureau of Nanchong （No.19YFZJ0090）； Talent Scientific Research Foundation of China West Normal University Foundation （No.17YC056）

，E-mail：jackyzhang@cwnu.edu.cn

查正桃（1997—），男，四川自貢人，碩士研究生，2020年于西華師范大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，主要從事波導(dǎo)光學(xué)的理論與技術(shù)的研究。E-mail：zaktao@sina.cn

張謙述（1974—），男，四川自貢人，博士，副教授，2010年于電子科技大學(xué)獲得博士學(xué)位，主要從事光通信與集成光學(xué)、微波光子學(xué)、集成光波導(dǎo)器件的理論與技術(shù)等方面的研究。E-mail：jackyzhang@cwnu.edu.cn