簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)特性

宮峰勛，李建坤

研究與開發(fā)

簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)特性

宮峰勛，李建坤

（中國民航大學(xué)，天津 300300）

采用簡化頻域Volterra級數(shù)研究分析輸入信號為S模式應(yīng)答脈沖的多點(diǎn)定位（multilateration，MLAT）系統(tǒng)的非線性特性。首先以典型超外差接收系統(tǒng)為例，探索建立多點(diǎn)定位系統(tǒng)的簡化頻域Volterra級數(shù)模型和誤差率模型；其次，研究建立基于核函數(shù)的S模式應(yīng)答脈沖信號模型；最后分析輸入基于核函數(shù)的S模式信號時，簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率。仿真結(jié)果表明，當(dāng)輸入基于核函數(shù)的S模式信號時，信噪比為15 dB的簡化頻域Volterra級數(shù)的接收系統(tǒng)模型誤差率最小在23.23%以下；輸入信噪比為16.25 dB的實(shí)際S模式測試信號時，該模型誤差率最小在22%以下，小于誤差率閾值。說明簡化頻域Volterra級數(shù)的接收系統(tǒng)模型可以準(zhǔn)確地描述S模式信號接收系統(tǒng)的輸出特性，為多點(diǎn)定位系統(tǒng)前導(dǎo)脈沖到達(dá)時間戳的識別奠定理論基礎(chǔ)。

簡化頻域Volterra級數(shù)；S模式信號；非線性系統(tǒng)；核函數(shù)

0 引言

實(shí)際工程中的系統(tǒng)大多是非線性系統(tǒng)。對于弱非線性系統(tǒng)，可以使用線性系統(tǒng)近似代替。當(dāng)系統(tǒng)越來越復(fù)雜時，線性系統(tǒng)已經(jīng)無法滿足實(shí)際要求，所以非線性系統(tǒng)逐漸成為人們的研究重點(diǎn)。文獻(xiàn)[1]使用軌跡相平面法分析邏輯控制系統(tǒng)的特性，但該方法不適合分析弱非線性系統(tǒng)；文獻(xiàn)[2]使用多特征卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型提取運(yùn)動想象信號，但過程較復(fù)雜；文獻(xiàn)[3-5]使用簡化的Volterra級數(shù)模型分析非線性系統(tǒng)特性，但只局限于低階Volterra級數(shù)模型；文獻(xiàn)[6]使用Volterra級數(shù)推導(dǎo)射頻功率放大器的輸出交調(diào)失真方程，但并未獲得 Volterra級數(shù)的顯示表示式；文獻(xiàn)[7]使用簡化的頻域Volterra級數(shù)模型分析電壓互感器的輸出特性，但對輸入信號形式有嚴(yán)格限制；文獻(xiàn)[8]使用三維頻率空間的Volterra級數(shù)模型對發(fā)射機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)失真處理，但并未繪制Volterra核的具體路徑。

以S模式應(yīng)答脈沖為輸入信號的多點(diǎn)定位系統(tǒng)屬于非線性系統(tǒng)。目前，對于此類系統(tǒng)的研究主要為內(nèi)部非線性器件。文獻(xiàn)[9]使用補(bǔ)償記憶多項(xiàng)式模型提升功率放大器的線性度；文獻(xiàn)[10]對接收機(jī)的非線性模塊和記憶模塊分別進(jìn)行建模，但過程比較復(fù)雜；文獻(xiàn)[11]使用基帶Volterra級數(shù)分析接收機(jī)放大器的交叉信道非線性失真，但并未實(shí)際測試。

圖1 超外差接收機(jī)的基站原理結(jié)構(gòu)及S模式信號[12]

本文對基于簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號多點(diǎn)定位系統(tǒng)特性進(jìn)行研究。當(dāng)輸入基于核函數(shù)（kernel function）的S模式信號時，分析不同信噪比的簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率，并使用實(shí)際S模式測試信號加以驗(yàn)證。

1 簡化頻域Volterra級數(shù)的多點(diǎn)定位系統(tǒng)模型

1.1 超外差接收機(jī)結(jié)構(gòu)及S模式信號

民航機(jī)場場面目標(biāo)監(jiān)視采用由多個基站組成的多點(diǎn)定位系統(tǒng)，該系統(tǒng)的基站屬于超外差接收機(jī)。超外差接收機(jī)的基站原理結(jié)構(gòu)及S模式信號如圖1所示[12]。

超外差接收機(jī)基站工作原理是利用功率放大器、混頻器、解調(diào)器等非線性器件將接收到的射頻信號轉(zhuǎn)換為基帶信號，非線性特性主要來自內(nèi)部的功率放大器、混頻器等。此外，信號在傳輸過程中受到信道衰落、射頻損傷、噪聲等因素的影響[13]，會使接收機(jī)出現(xiàn)諧波失真、互調(diào)失真[14]等現(xiàn)象。

1.2 簡化頻域Volterra級數(shù)的多點(diǎn)定位系統(tǒng)模型

Volterra級數(shù)可以分析非線性系統(tǒng)的輸出特性，考慮核函數(shù)的對稱形式，完整形式的頻域Volterra級數(shù)表示式為[7]：

其中，和分別表示輸入、輸出信號的頻譜，和分別表示輸入、輸出信號的諧波次數(shù)，表示系統(tǒng)的最高階數(shù)，表示輸入信號的最高諧波次數(shù)，表示系統(tǒng)的Volterra核函數(shù)，表示系統(tǒng)階數(shù)，取值范圍是1～，n表示輸入信號的第次諧波，表示取值范圍是1～的整數(shù)，n表示輸入信號的第次諧波。完整形式Volterra級數(shù)計(jì)算量大，現(xiàn)對式（1）進(jìn)行化簡。假設(shè)輸入信號為準(zhǔn)正弦信號，該信號是含有多次諧波的周期性信號，且基波項(xiàng)幅值遠(yuǎn)大于諧波項(xiàng)幅值。在求解第階系統(tǒng)的輸出信號時，可利用輸入信號的i個基波項(xiàng)(1)、i個基波共軛項(xiàng)(?1)及一個通用諧波項(xiàng)()的幅值乘積代替輸入信號，并使用互調(diào)矩陣表示。其中p、i為非負(fù)整數(shù)，分別表示(1)、(?1)的數(shù)量。中的某一項(xiàng)元素為：

第階系統(tǒng)下第次輸出諧波()可用與表示[15]：

p、i有多組取值，每一組取值都對應(yīng)一個核函數(shù)元素(p,i,)。則第階系統(tǒng)下第次輸出諧波的核函數(shù)矩陣為：

簡化頻域Volterra級數(shù)在描述系統(tǒng)輸出特性時存在一定誤差，使用式（5）表示簡化頻域Volterra級數(shù)的系統(tǒng)模型誤差率：

其中，I()表示簡化頻域Volterra級數(shù)的非線性系統(tǒng)模型輸出信號第次諧波項(xiàng)幅值，Iact()表示非線性系統(tǒng)輸出信號第次諧波項(xiàng)幅值。為研究簡化頻域Volterra級數(shù)的系統(tǒng)模型誤差率，設(shè)誤差率閾值為30%，當(dāng)TVE()＜30%時，表示簡化頻域Volterra級數(shù)的系統(tǒng)模型誤差率較小，可以準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的輸出特性；當(dāng)TVE()＞30%時，表示該簡化模型的誤差率較大，不能準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的輸出特性。

簡化頻域Volterra級數(shù)是Volterra級數(shù)的一種化簡形式，因此可以描述非線性系統(tǒng)的輸出特性。對于多點(diǎn)定位系統(tǒng)的S模式信號接收機(jī)，在已知輸入輸出信號的前提下反推出Volterra核函數(shù)，通過Volterra核函數(shù)可以構(gòu)建基于簡化頻域Volterra級數(shù)的多點(diǎn)定位系統(tǒng)模型。

1.3 仿真結(jié)果及分析

分析一階至十階簡化頻域Volterra級數(shù)的多點(diǎn)定位系統(tǒng)模型誤差率。系統(tǒng)階數(shù)=10，所以=55，要求輸入信號的數(shù)量≥55。設(shè)依次輸入55個幅值不同的準(zhǔn)正弦信號，每個輸入信號中均含有直流項(xiàng)、基波項(xiàng)至九次諧波項(xiàng)，計(jì)算式為：

令直流項(xiàng)幅值=35 mV，基波項(xiàng)幅值1的取值范圍是0.4～22 mV，間隔是0.4 mV；諧波項(xiàng)幅值均為2，取值范圍是0.004～0.22 mV，間隔是0.004 mV；基波頻率是50 Hz，相位為0。55個幅值不同的輸入信號依次經(jīng)過接收機(jī)系統(tǒng)后得到55個輸出信號，由輸入及輸出信號反推出Volterra核函數(shù)。為求解簡化頻域Volterra級數(shù)的多點(diǎn)定位系統(tǒng)模型誤差率，設(shè)待驗(yàn)證信號是，計(jì)算式為：

一階至十階簡化頻域Volterra級數(shù)的多點(diǎn)定位系統(tǒng)模型誤差率仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 一階至十階簡化頻域Volterra級數(shù)的多點(diǎn)定位系統(tǒng)模型誤差率仿真結(jié)果

由圖2可知，七階至十階簡化頻域Volterra級數(shù)的多點(diǎn)定位系統(tǒng)模型中，第五次諧波誤差率分別為14.2%、3.81%、3.960 5×104%、1.147 47×105%，明顯高于其他諧波項(xiàng)。直流項(xiàng)誤差率最大約為10.44%，其余項(xiàng)的誤差率基本在3%以下；六階簡化模型的誤差率最小，在0.005%以下，遠(yuǎn)小于規(guī)定的誤差率閾值。由此說明簡化頻域Volterra級數(shù)的多點(diǎn)定位系統(tǒng)模型能夠準(zhǔn)確描述多點(diǎn)定位系統(tǒng)的輸出特性。

2 基于核函數(shù)的S模式信號模型及誤差分析

2.1 基于非線性系統(tǒng)核函數(shù)的S模式信號

非線性系統(tǒng)原理等效電路圖如圖3所示。為構(gòu)建基于非線性系統(tǒng)核函數(shù)的S模式信號，設(shè)非線性系統(tǒng)輸出特性為鐵芯電感形式，可等效為圖3所示的電路形式[7]，其輸入信號為圖1（b）所示的S模式信號。

圖3 非線性系統(tǒng)原理等效電路圖

已知輸入電壓S()與輸出電流L()之間滿足[7]：

針對具有鐵芯電感形式輸出特性的非線性系統(tǒng)，輸入1 090ES（1 090 extended squitter，1 090 MHz擴(kuò)展電文）的S模式信號。S模式信號是周期性信號，每個周期中均包含8 μs前導(dǎo)脈沖和56/112 μs數(shù)據(jù)脈沖[16]。S模式信號中含有多次諧波，且基波項(xiàng)幅值大于諧波項(xiàng)幅值，所以可將S模式信號看作準(zhǔn)正弦信號。鐵芯電感形式輸出特性的非線性系統(tǒng)要求輸入信號大于0，故向S模式信號中加入直流項(xiàng)；考慮實(shí)際S模式信號一般是毫伏級別，故將鐵芯電感形式非線性系統(tǒng)的輸入信號單位換算為毫伏（mV）。綜上，對S模式信號進(jìn)行修改，修改后的S模式信號表示式為：

S表示含直流分量的S模式信號，表示直流項(xiàng)幅值，S表示幅值范圍是?1～1 mV的S模式信號，1為系數(shù)。設(shè)=35 mV，1的范圍是0.45～24.75 mV，取值間隔是0.45 mV。分析輸入S模式信號時，一階至十階簡化頻域Volterra級數(shù)的非線性系統(tǒng)模型誤差率，仍然需要輸入55個幅值不同的S模式信號。由55個幅值不同的輸入信號及對應(yīng)的輸出信號反推Volterra核函數(shù)，第七階、第九階和第十階模型的第四至第六次諧波項(xiàng)對應(yīng)的核函數(shù)值見表1。

為求解輸入S模式信號時，簡化頻域Volterra級數(shù)的鐵芯電感形式非線性系統(tǒng)模型誤差率，設(shè)待驗(yàn)證信號是S1，計(jì)算式為：

一階至十階簡化頻域Volterra級數(shù)的鐵芯電感形式非線性系統(tǒng)模型誤差率的仿真結(jié)果如圖4所示。

表1 第四次至六次諧波項(xiàng)對應(yīng)的Volterra核函數(shù)值

圖4 一階至十階簡化頻域Volterra級數(shù)的鐵芯電感形式非線性系統(tǒng)模型誤差率的仿真結(jié)果

由圖4可知，當(dāng)輸入S模式信號時，一階和二階簡化頻域Volterra級數(shù)的鐵芯電感形式非線性系統(tǒng)模型的誤差率較大，三階至十階模型的誤差率較小。但七階、九階和十階簡化模型的第五次諧波誤差率明顯高于其他次諧波，可以認(rèn)定第五次諧波項(xiàng)誤差率為異常值。由表1可得，第五次諧波項(xiàng)的核函數(shù)值與第四次、第六次諧波項(xiàng)的核函數(shù)值存在數(shù)量級的差距，進(jìn)而造成第五次諧波項(xiàng)誤差率遠(yuǎn)大于第四次、第六次諧波項(xiàng)誤差率。直流項(xiàng)誤差率最大約7.01%，而四階簡化模型的誤差率最小，在0.25%以下。故四階簡化頻域Volterra級數(shù)的非線性系統(tǒng)模型可以準(zhǔn)確描述鐵芯電感形式非線性系統(tǒng)的輸出特性。

現(xiàn)對第五次諧波的核函數(shù)值進(jìn)行修正。令表1中第七階模型的第五次諧波核函數(shù)值縮小至1/100，第九階模型的第五次諧波核函數(shù)值整體縮小至1/100，第十階模型的第五次諧波核函數(shù)值整體擴(kuò)大10倍。修正后的第五次諧波核函數(shù)值見表2。

對Volterra核函數(shù)值修正后，分析簡化頻域Volterra級數(shù)的鐵芯電感形式非線性系統(tǒng)模型誤差率。設(shè)待驗(yàn)證信號仍是S1，則一階至十階簡化頻域Volterra級數(shù)的鐵芯電感形式非線性系統(tǒng)誤差率的仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 一階至十階簡化頻域Volterra級數(shù)的鐵芯電感形式非線性系統(tǒng)誤差率的仿真結(jié)果

表2 修正后的第五次諧波核函數(shù)值

由圖5可知，第七階、第九階、第十階簡化模型的第五次諧波誤差率明顯降低，此時高階簡化頻域Volterra模型能夠準(zhǔn)確描述鐵芯電感形式非線性系統(tǒng)的輸出特性。

2.2 基于核函數(shù)S模式信號的MLAT接收系統(tǒng)誤差分析

當(dāng)輸入信號是S模式信號時，通過求解非線性系統(tǒng)的核函數(shù)構(gòu)建基于核函數(shù)的S模式信號，分析基于核函數(shù)S模式信號的MLAT接收系統(tǒng)模型誤差率。設(shè)待驗(yàn)證信號為S2，計(jì)算式為：

基于核函數(shù)S模式信號的MLAT接收系統(tǒng)模型誤差率仿真結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知，基于核函數(shù)S模式信號的MLAT接收系統(tǒng)中，七階至十階模型的第五次諧波誤差率不存在異常值；直流項(xiàng)的誤差率最大約為105%，七階至十階模型的誤差率均小于1.57%，遠(yuǎn)低于誤差率閾值。故基于核函數(shù)S模式信號的MLAT接收系統(tǒng)可以準(zhǔn)確描述MLAT接收系統(tǒng)的輸出特性。

2.3 仿真結(jié)果分析

當(dāng)輸入基于核函數(shù)的S模式信號時，通過分析非線性系統(tǒng)模型誤差率，可得以下結(jié)論。

●輸入S模式信號時，簡化頻域Volterra級數(shù)的鐵芯電感形式非線性系統(tǒng)模型誤差率較小，但高階模型中存在誤差率異常值。通過對第五次諧波對應(yīng)的核函數(shù)值修正，使其與第四次、第六次諧波對應(yīng)的核函數(shù)值保持相同的數(shù)量級，能夠降低第五次諧波項(xiàng)的誤差率。

●通過Volterra核函數(shù)構(gòu)建基于核函數(shù)的S模式信號。當(dāng)輸入基于核函數(shù)的S模式信號時，基于核函數(shù)S模式信號的MLAT接收系統(tǒng)可以準(zhǔn)確描述MLAT接收系統(tǒng)的輸出特性。

3 簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型性能分析

3.1 簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)誤差分析

當(dāng)輸入基于核函數(shù)的S模式信號時，分別分析信噪比為20 dB、15 dB、10 dB時的簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率，設(shè)待驗(yàn)證信號仍是S2。

信噪比為20 dB、15 dB、10 dB時的一階至十階簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7（a）表示信噪比為20 dB時簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率。整體來看，七階至十階簡化模型的誤差率較大，在100%以上；一階至六階簡化模型的誤差率在100%以下；四階簡化模型的誤差率最小，在15.7%以下，低于誤差率閾值。說明輸入基于核函數(shù)的S模式信號時，信噪比為20 dB的四階簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型可以準(zhǔn)確描述MLAT接收系統(tǒng)的輸出特性。

圖7 一階至十階簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率仿真結(jié)果

圖7（b）表示信噪比為15 dB時簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率。整體來看，六階至十階簡化模型的誤差率較大，在116.47%以上；一階至五階簡化模型的誤差率較小，在112.93%以下。二階簡化模型的誤差率最小，在23.23%以下，低于誤差率閾值。說明輸入基于核函數(shù)的S模式信號時，信噪比為15 dB的二階簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型可以準(zhǔn)確描述MLAT接收系統(tǒng)的輸出特性。

圖7（c）表示信噪比為10 dB時簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率。此時一階至十階簡化模型的誤差率均在94.6%以上，大于誤差率閾值。說明輸入基于核函數(shù)的S模式信號時，信噪比為10 dB的簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型不能描述MLAT接收系統(tǒng)的輸出特性。

隨著簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型信噪比減小，對應(yīng)的模型誤差率在增大，但誤差分布狀態(tài)相似，即低階簡化模型的誤差率較小，高階簡化模型的誤差率較大。信噪比為10 dB的簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率非常大，不能描述MLAT接收系統(tǒng)的輸出特性。

分析信噪比為20 dB、15 dB、10 dB的二階完整形式Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率，與簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率進(jìn)行對比。不同信噪比、不同形式Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率對比如圖8所示。

圖8（a）、圖8（b）、圖8（c）分別表示信噪比為20 dB、15 dB及10 dB的二階完整形式Volterra級數(shù)與簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率對比圖。由圖8可知，信噪比分別為20 dB和15 dB時，簡化頻域Volterra級數(shù)與完整形式Volterra級數(shù)的直流項(xiàng)與第五次諧波誤差率相差較大，其余諧波的誤差率相差較??；信噪比為10 dB時，簡化頻域Volterra級數(shù)與完整形式Volterra級數(shù)的第三次諧波與第五次諧波誤差率相差較大，其余諧波的誤差率相差較小。故比較信噪比分別為20 dB和15 dB時兩種Volterra級數(shù)的直流項(xiàng)與第五次諧波誤差率及信噪比為10 dB時兩種Volterra級數(shù)的第三次諧波與第五次諧波誤差率。以兩種Volterra級數(shù)的誤差率差值作為比較指標(biāo)，差值大于0，說明簡化頻域Volterra級數(shù)的誤差率更高；差值小于0，說明完整形式Volterra級數(shù)的誤差率更高。不同信噪比的誤差率差值見表3。

圖8 不同信噪比、不同形式Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率對比

表3 不同信噪比的誤差率差值

由表3可知，信噪比為20 dB時，兩種Volterra級數(shù)的直流項(xiàng)誤差率差值為?23.06%，第五次諧波誤差率差值為10.56%。簡化頻域Volterra級數(shù)的第五次諧波誤差率較高，但直流項(xiàng)誤差率遠(yuǎn)低于完整形式Volterra級數(shù)。說明信噪比為20 dB時，四階簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)對MLAT接收系統(tǒng)輸出特性的描述更準(zhǔn)確。

信噪比為15 dB時，兩種Volterra級數(shù)的直流項(xiàng)誤差率差值為?26.56%，第五次諧波誤差率差值為10.78%。簡化頻域Volterra級數(shù)的第五次諧波誤差率較高，但直流項(xiàng)誤差率遠(yuǎn)低于完整形式Volterra級數(shù)。說明信噪比為15 dB時，二階簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)對MLAT接收系統(tǒng)輸出特性的描述更準(zhǔn)確。

信噪比為10 dB時，兩種Volterra級數(shù)的第三次諧波項(xiàng)誤差率差值為370.24%，第五次諧波誤差率差值為85.25%。簡化頻域Volterra級數(shù)的誤差率明顯高于完整形式Volterra級數(shù)的誤差率。說明信噪比為10 dB時，二階完整形式Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)對MLAT接收系統(tǒng)輸出特性的描述更準(zhǔn)確。

以上說明，當(dāng)信噪比大于15 dB時，簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)對MLAT接收系統(tǒng)輸出特性的描述準(zhǔn)確度略優(yōu)于完整形式Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)；當(dāng)信噪比為10 dB時，完整形式Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)對MLAT接收系統(tǒng)輸出特性的描述準(zhǔn)確度略優(yōu)于簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)。說明完整形式Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)對噪聲的抗干擾能力更強(qiáng)。

3.2 實(shí)際S模式測試信號驗(yàn)證

使用MLAT系統(tǒng)中的實(shí)際S模式測試信號進(jìn)行驗(yàn)證。對實(shí)際S模式測試信號進(jìn)行歸一化處理，一個周期的實(shí)測S模式信號如圖9所示。

圖9 一個周期的實(shí)測S模式信號

圖9所示的信號的信噪比約為16.25 dB。當(dāng)輸入實(shí)際S模式測試信號時，一階至十階簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率仿真結(jié)果如圖10所示。

由圖10（a）可知，六階至十階簡化頻域Volterra級數(shù)模型的誤差率最大，在55.7%以上；一階至三階簡化模型的誤差率較小，在44.9%以下，二階簡化模型的誤差率最小在22%以下，低于誤差率閾值。說明，當(dāng)輸入實(shí)際的S模式測試信號時，二階簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型可以準(zhǔn)確描述實(shí)際的MLAT接收系統(tǒng)輸出特性，且誤差率低于規(guī)定的閾值。

圖10（b）表示輸入實(shí)際S模式測試信號時，二階簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)與二階完整形式Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率對比圖。由圖10（b）可知，簡化頻域Volterra級數(shù)的第三次諧波誤差率比完整形式Volterra級數(shù)低10.04%，直流項(xiàng)誤差率低7.89%，第二次諧波誤差率高8.17%，其余項(xiàng)的誤差率相差較小。對比完整形式Volterra級數(shù)誤差率，雖然簡化頻域Volterra級數(shù)的第二次諧波誤差率較高，但直流項(xiàng)和第三次諧波的誤差率較低。說明當(dāng)輸入實(shí)際S模式測試信號時，二階簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型對MLAT接收系統(tǒng)的輸出特性描述更準(zhǔn)確。

圖10 一階至十階簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率仿真結(jié)果

4 結(jié)束語

研究基于簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號多點(diǎn)定位系統(tǒng)特性，通過輸入基于非線性系統(tǒng)核函數(shù)的S模式信號，分析簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型誤差率，結(jié)論如下。

●基于簡化頻域Volterra級數(shù)的接收機(jī)模型誤差率在10.44%以下，小于誤差率閾值。說明簡化頻域Volterra級數(shù)的多點(diǎn)定位系統(tǒng)模型可以準(zhǔn)確描述多點(diǎn)定位系統(tǒng)模型的輸出特性。

●當(dāng)輸入基于核函數(shù)的S模式信號時，簡化頻域Volterra級數(shù)的接收系統(tǒng)模型信噪比越小，誤差率越大。當(dāng)信噪比在15 dB以上時，該模型的誤差率最小為23.23%，小于誤差率閾值。說明當(dāng)信噪比大于15 dB時，簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型可以準(zhǔn)確描述MLAT接收系統(tǒng)的輸出特性。

●對簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型進(jìn)行實(shí)際測試。當(dāng)輸入信號是含有16.25 dB信噪比的實(shí)測S模式信號時，該模型的誤差率最小在22%以下，小于誤差率閾值。由此說明，基于簡化頻域Volterra級數(shù)的S模式信號接收系統(tǒng)模型可以準(zhǔn)確描述實(shí)際的MLAT接收系統(tǒng)的輸出特性。

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Characteristics of simplified frequency-domain Volterra series based S-mode receiver

GONG Fengxun, LI Jiankun

Civil Aviation University of China, Tianjin 300300, China

The nonlinear characteristics of multilateration(MLAT) system were analyzed by simplified frequency-domain Volterra series when the S-mode signal response pulse was input. Firstly, take the typical super heterodyne receiver system for example, the model based on simplified frequency-domain Volterra series and error rate model of MLAT system were explored and created. Secondly, the S-mode response pulse signal model based on kernel function was researched and established. Finally, the model error rate of S-mode signal receiver system based on simplified frequency-domain Volterra series was analyzed when the S-mode signal based on kernel function was input. The results show that the minimum error rate of the receiver system based on 15 dB SNR simplified frequency-domain Volterra series is less than 23.23% when the S-mode signal based on kernel function is input. When the actual S-mode test signal with 16.25 dB SNR is input, the minimum error rate of the model is less than 22%, which is less than the error rate threshold. It shows that the receiver system model based on simplified frequency-domain Volterra series can accurately describe the characteristics of S-mode signal receiver system, which provides the theoretical foundation for the identification of preamble arrival timestamp in MLAT system.

simplified frequency-domain Volterra series, S-mode signal, nonlinear system, kernel function

Key Research and Development Program of the Ministry of Science and Technology (No.2018YFC0809500)

TN851

A

10.11959/j.issn.1000?0801.2022153

2022?04?11；

2022?06?10

科技部重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（No. 2018YFC0809500）

宮峰勛（1965? ），男，中國民航大學(xué)教授、碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)殡姶泡椛渑c電磁兼容、民航通信導(dǎo)航監(jiān)視及多源數(shù)據(jù)融合等。

李建坤（1996? ），男，中國民航大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)殡姶泡椛渑c電磁兼容。