數(shù)學(xué)實驗
——學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方式

文|劉德宏 劉倩飴

數(shù)學(xué)實驗是一種重要的學(xué)習(xí)方式。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、猜想、實驗、交流、推理等過程，從中感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動經(jīng)驗，發(fā)展思維能力。數(shù)學(xué)實驗在小學(xué)數(shù)學(xué)的各個年級段、各個內(nèi)容領(lǐng)域、各種類型知識的學(xué)習(xí)中都發(fā)揮著重要的作用。因此，必須得到高度的重視。

一、數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)涵詮釋

數(shù)學(xué)實驗是為了建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、驗證數(shù)學(xué)猜想、獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題，借助實物和工具，對實驗素材進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”操作的一種學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)實驗是認(rèn)知、思維、情感等作用于現(xiàn)實環(huán)境并進(jìn)行交互作用的“做思共生”“手腦并用”的具身認(rèn)知活動。它具有下面幾個特征：

1.基于數(shù)學(xué)問題的解決；

2.借助一定的實物和工具；

3.具有一定的活動場域；

4.需要主體的積極參與；

5.指向思維能力的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)實驗具有較強的直觀性和探索性，對幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和實踐能力具有積極的促進(jìn)作用。

二、數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)價值

數(shù)學(xué)實驗要求教師遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，精心設(shè)計問題，激發(fā)學(xué)生的探究熱情，引領(lǐng)學(xué)生積極主動地參與到猜想、驗證、交流、推理等數(shù)學(xué)活動之中，真正實現(xiàn)從“被動”走向“主動”，從“重結(jié)果”走向“重過程”，從“接受”走向“創(chuàng)新”，從“離身學(xué)習(xí)”走向“具身學(xué)習(xí)”，達(dá)到“做學(xué)玩一體”“學(xué)思創(chuàng)共生”的教學(xué)質(zhì)態(tài)。

1.運用數(shù)學(xué)實驗，建構(gòu)抽象概念。

數(shù)學(xué)概念比較抽象，而兒童的思維以具體現(xiàn)象思維為主。教學(xué)中，通過實驗讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展和形成的過程，從而真正理解數(shù)學(xué)概念，訓(xùn)練思維的深刻性。例如，學(xué)習(xí)“體積”時，為了讓學(xué)生理解“體積”這一抽象的概念，組織下面的實驗：在兩個同樣大的玻璃杯里，第一個裝滿水，第二個放一個桃，將第一個杯子里的水倒入第二個杯子，倒?jié)M后，第一個杯子里還剩一些水，說明桃子占了一部分空間，也就是物體占有一定的空間；接著繼續(xù)進(jìn)行實驗，兩個同樣大的杯子，一個放一個桃，另一個放一個荔枝，往這兩個杯子里倒?jié)M水，發(fā)現(xiàn)放桃子的杯子裝的水少，放荔枝的杯子裝的水多，說明物體占的空間有大小，在此基礎(chǔ)上有機(jī)地揭示出體積的概念：物體所占空間的大小叫作物體的體積。通過這樣的分步實驗，學(xué)生真正理解了“體積”這一抽象的概念，建立了空間觀念，收到了較好的教學(xué)效果。

2.運用數(shù)學(xué)實驗，驗證數(shù)學(xué)猜想。

猜想是發(fā)現(xiàn)的前奏，沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)。教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，然后組織實驗，驗證猜想，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論。例如，教學(xué)“圓的周長”時，教師讓學(xué)生根據(jù)下圖猜想圓的周長與直徑有什么關(guān)系？有的猜出圓的周長比直徑的4倍少，有的猜出圓的周長比直徑的3倍多，究竟有什么關(guān)系呢？教師組織學(xué)生實驗，讓學(xué)生拿出課前教師發(fā)的材料，選擇三種材料量出圓形物體的周長和直徑，再算一算周長除以直徑的商（得數(shù)保留兩位小數(shù)），填寫實驗報告表。實驗結(jié)束后，組織交流展示，發(fā)現(xiàn)圓的周長總是直徑的三倍多一些，從而驗證了同學(xué)們的猜想，在此基礎(chǔ)上，揭示“圓周率”的概念，推導(dǎo)出圓的周長的計算公式。這樣的教學(xué)，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、猜想、操作、計算、驗證、交流的過程，自主發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)論。

3.運用數(shù)學(xué)實驗，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注獲取結(jié)果的過程。運用數(shù)學(xué)實驗，實施問題驅(qū)動，讓學(xué)生借助學(xué)具，通過計算、測量、操作等活動，自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，從而使深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生。例如，學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和”這一知識時，教師精心設(shè)計實驗步驟，組織學(xué)生分步實驗，逐步得出數(shù)學(xué)結(jié)論。先讓學(xué)生拿出兩種三角尺，計算三角尺中三個內(nèi)角和是多少度？接著讓學(xué)生再測量計算其他直角三角形的內(nèi)角和，有的學(xué)生算出181°，有的學(xué)生算出179°，有的學(xué)生算出180°，教師指出，由于測量的誤差，所以算出來的內(nèi)角和不一定一樣，有沒有避免這種誤差的方法呢？在問題的引領(lǐng)下，學(xué)生想到撕拼、折拼的方法得出直角三角形的內(nèi)角和是180°，但是拼的時候有縫隙，有的時候不能拼成平角，教師設(shè)疑：能不能不破壞原來的三角形，推出直角三角形的內(nèi)角和是180°？學(xué)生想到把長方形分成兩個直角三角形，根據(jù)長方形內(nèi)角和推出直角三角形內(nèi)角和：90°×4÷2＝180°，有了發(fā)現(xiàn)“直角三角形內(nèi)角和”的經(jīng)驗，教師再讓學(xué)生探索銳角三角形內(nèi)角和、鈍角三角形內(nèi)角和，有的學(xué)生想出撕拼、折拼的方法，更有學(xué)生運用轉(zhuǎn)化的方法，把已知三角形分成兩個直角三角形，從而根據(jù)直角三角形的內(nèi)角和推理得出銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和（180°×2－90°×2=180°），這樣也避免了操作的誤差，同時進(jìn)行了“思想”上的實驗，得出三角形的內(nèi)角和是180°。

4.運用數(shù)學(xué)實驗，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

數(shù)學(xué)實驗不只是簡單的操作活動，而是在問題的引領(lǐng)下，讓學(xué)生經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的過程，從中積累思維活動的經(jīng)驗，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。例如，教學(xué)“圓的面積計算公式”時，組織學(xué)生動手將圓形紙片平均分成16個小扇形，拼成近似的平行四邊形，接著借助信息技術(shù)手段，演示將圓平均分成32份、64份、128份，拼成近似的長方形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長方形。接著組織學(xué)生討論3個問題：①長方形的面積與圓的面積有什么關(guān)系？②長方形的長與圓的周長有什么關(guān)系？③長方形的寬與圓的半徑有什么關(guān)系？在此基礎(chǔ)上，根據(jù)長方形的面積公式，推導(dǎo)出圓的面積計算公式，但也有學(xué)生想到把圓形紙片平均分成16個小扇形拼成三角形或梯形，根據(jù)三角形、梯形的面積公式，推導(dǎo)出圓的面積計算公式。這是一種創(chuàng)造性的思維，在這個實驗過程中，學(xué)生身心一體、心智統(tǒng)一，感悟到了數(shù)學(xué)思想，積累了活動經(jīng)驗，創(chuàng)造性思維得到了有效的發(fā)展。

三、數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)策略

1.培養(yǎng)問題意識，讓數(shù)學(xué)實驗有目標(biāo)。

問題是數(shù)學(xué)的心臟。有了問題，思維才有方向、才有動力。數(shù)學(xué)實驗要培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，要用問題激發(fā)學(xué)生的實驗熱情，引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。要圍繞問題設(shè)計方案、開展實驗、分析數(shù)據(jù)、得出結(jié)論。實驗前，創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)置認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的實驗欲望；實驗中，鼓勵學(xué)生提問，對同伴、對方案進(jìn)行質(zhì)疑；實驗后，發(fā)散聯(lián)想，由此及彼，引發(fā)新的問題。例如，學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和”時，學(xué)生已經(jīng)通過實驗得出“直角三角形的內(nèi)角和為180°”，這時引導(dǎo)學(xué)生提問：是不是所有的三角形內(nèi)角和都是180°呢？在這一問題的驅(qū)動下，學(xué)生積極地展開了“銳角三角形的內(nèi)角和”“鈍角三角形的內(nèi)角和”的探索。

2.優(yōu)化方案設(shè)計，讓數(shù)學(xué)實驗有實效。

數(shù)學(xué)實驗要有實效，優(yōu)化方案設(shè)計非常重要。在實驗前，教師要精心設(shè)計實驗方案，確保實驗取得實效。一是積極開發(fā)實驗材料。教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，有計劃地積極開發(fā)實驗材料。可用生活中簡易的、便于操作的材料，如塑料吸管代替小棒、紙盒代替立體圖形，也可以在網(wǎng)上購買一些質(zhì)量較好的學(xué)具，還可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑旒庸?，自制教學(xué)具。教師要提供豐富的材料，提升實驗的價值。如，學(xué)習(xí)“圓錐的體積”時，教師可不受教材的束縛，提供的材料可以是等底等高的長方體和圓錐體；可以是等底等高的圓柱和圓錐；也可以是等高不等底的圓柱和圓錐；還可以是等底不等高的圓柱和圓錐，讓學(xué)生根據(jù)自己的需求，選擇材料進(jìn)行實驗，增加實驗的體會，豐富實驗的經(jīng)驗，提升實驗的品位。二是提出具體明確的實驗要求。讓學(xué)生明確實驗活動的要求是確保實驗取得實效的重要前提。實驗前提出活動的要求，明確人員的分工，讓學(xué)生明目標(biāo)、知要求、懂方法、會分析、能總結(jié)，掌握實驗的步驟，有序地開展數(shù)學(xué)實驗。三是及時組織表達(dá)交流。實驗結(jié)束后，要及時組織學(xué)生進(jìn)行表達(dá)交流，梳理自己的實驗過程，交流做法想法。怎樣得到實驗數(shù)據(jù)的？從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)了什么？有什么收獲？有什么體會？要注意什么？還可以怎樣表達(dá)？通過這樣的表達(dá)交流，有助于提高學(xué)生的語言表達(dá)能力和思維能力。例如，學(xué)習(xí)“長方形和正方形的認(rèn)識”時，組織學(xué)生動手操作，發(fā)現(xiàn)正方形邊的特征。學(xué)生交流方法：有的是左右對折，得出左邊和右邊相等；有的是上下對折，得出上邊和下邊相等；有的斜著對折，說明相鄰的兩條邊相等，（如下圖）由此得出正方形四條邊都相等。這樣的表達(dá)，學(xué)生講出了得到結(jié)論的思考過程，其實也是一種推理過程的展示。四是重視實驗結(jié)果的分析運用。實驗結(jié)束后，要組織學(xué)生對實驗結(jié)果進(jìn)行分析，從數(shù)據(jù)中得出結(jié)論。例如，學(xué)習(xí)“可能性”時，將三張紅桃撲克牌和一張黑桃撲克牌打亂后，反扣在桌子上，從中任意摸一張，摸到哪種牌的可能性大？學(xué)生猜想后，教師及時組織學(xué)生進(jìn)行分組實驗，要求每組摸40次并及時做好實驗記錄。實驗結(jié)束后，教師逐一讓每個組匯報摸到兩種牌的次數(shù)，并適時在課件上輸入數(shù)據(jù)，現(xiàn)場匯總，統(tǒng)計表和復(fù)式條形統(tǒng)計圖同步顯示，隨著數(shù)據(jù)的增加，統(tǒng)計表中匯總數(shù)同步增加，復(fù)式條形統(tǒng)計圖中兩種直條同步上升，匯報結(jié)束，讓學(xué)生觀察統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表，形象直觀地驗證了猜想，在實驗中、在圖表中得出了“摸到紅桃的可能性大”這一數(shù)學(xué)結(jié)論。

3.給足實驗時空，讓數(shù)學(xué)實驗有過程。

不少教師在課堂上組織實驗，流于形式，沒有給足實驗的時空，未照顧到不同層次的學(xué)生，實驗結(jié)論還未得出或部分學(xué)生才完成，就讓學(xué)生停止實驗。這種實驗不是真正意義上的實驗，沒有讓學(xué)生得到真正的體驗，課堂效率低下。因此，要創(chuàng)設(shè)人人參與實驗操作的機(jī)會，給學(xué)生充足的實驗時空，讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、猜想、實驗、交流、評價、推理等活動過程，讓全班學(xué)生都有時間去設(shè)計方案、操作實驗、匯總結(jié)果、小組交流、補充修正、分析結(jié)果、得出結(jié)論。個體能獨立完成的，盡量讓個體獨立完成；需要合作的，協(xié)調(diào)好個體之間的關(guān)系，做好人員分工。有些學(xué)習(xí)內(nèi)容，需要長時間實驗，教師可以適當(dāng)采取長短課結(jié)合的形式組織實驗；對于測量一類的數(shù)學(xué)實驗，有時需要更大的實驗空間，可以延伸到教室外甚至校園外進(jìn)行，如，100米、1000米有多長？1公頃有多大？需要在室外測量體驗。這樣的實驗，才是真正經(jīng)歷探索過程的實驗，才有真過程、真體驗、真收獲。

4.善于溝通聯(lián)系，讓數(shù)學(xué)實驗有深度。

數(shù)學(xué)實驗不能滿足于操作的完成、結(jié)論的獲得、方法的掌握，還要注重溝通不同方法之間的聯(lián)系，異中求同，在發(fā)散思維的基礎(chǔ)上尋求方法的一致性和思維的聚合性，從而讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。例如，在教學(xué)“多邊形的內(nèi)角和”這一知識時，組織學(xué)生實驗操作，想辦法求出“五邊形的內(nèi)角和”，學(xué)生想出了下面幾種方法：

方法一：從五邊形的一個頂點出發(fā)，分成三個三角形；

方法二：從一條邊上的一點出發(fā)，將五邊形分成四個三角形；

方法三：從五邊形中間一點出發(fā)，將五邊形分成五個三角形。

教學(xué)不能到此為止，要抓住這一生成資源，及時溝通方法之間的聯(lián)系，深度理解多邊形的內(nèi)角和的探究方法，其實第二種、第三種與第一種有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，存在著一致性。

方法一：180°×（5－2）=180°×3

方法二：180°×4－180°=180°×3

方法三：180°×5－360°

=180°×5－180°×2

=180°×3

如果用上面的三種方法，繼續(xù)進(jìn)行“思想”的實驗，推導(dǎo)n邊形內(nèi)角和，同樣存在一致性。

方法一：從一個頂點出發(fā)，將多邊形分成（n-2）個三角形。

n邊形內(nèi)角和=180°×（n－2）

方法二：從一條邊上的一點出發(fā)，將n邊形分成（n-1）個三角形。

n邊形內(nèi)角和

=180°×（n－1）－180°

=180°×n－180°×1－180°

=180°×（n－2）

方法三：從n邊形中間一點出發(fā)，將n邊形分成n個三角形。

n邊形內(nèi)角和

=180°×n－360°

=180°×n－180°×2

=180°×（n－2）

5.延續(xù)實驗熱情，讓數(shù)學(xué)實驗有長效。

數(shù)學(xué)實驗不僅僅滿足于結(jié)論的獲得，獲得了結(jié)論并不代表著實驗探索的結(jié)束。課堂教學(xué)僅是實驗的一部分，我們要把實驗從課內(nèi)延伸到課外，從校內(nèi)延伸到校外，讓課內(nèi)學(xué)到的方法延伸到課外，使其常態(tài)化、長效化，讓學(xué)生受益終身。得出實驗結(jié)論后，可以引出新的問題，讓學(xué)生帶著問題，繼續(xù)走向探索的征程，也可以啟發(fā)學(xué)生用不同的方法繼續(xù)深入探究。例如，學(xué)習(xí)“三角形的面積計算公式”時，課內(nèi)用兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出三角形面積公式，下課前教師可以提出這樣的問題：能不能就用一個三角形，把三角形轉(zhuǎn)化成其他的圖形，推導(dǎo)出三角形的面積計算公式呢？請同學(xué)們課后繼續(xù)思考，大膽實驗。這樣的問題引領(lǐng)，讓學(xué)生感悟到實驗中的轉(zhuǎn)化思想、積累的活動經(jīng)驗?zāi)軌蛟诤罄m(xù)的實驗中繼續(xù)發(fā)揮作用，從而增強學(xué)生的實驗熱情，促進(jìn)學(xué)生的思維能力不斷得到發(fā)展。

6.加強學(xué)科融合，讓數(shù)學(xué)實驗有廣度。

數(shù)學(xué)實驗不僅要用到數(shù)學(xué)知識，還要用到其他學(xué)科的知識。實驗中，要加強學(xué)科之間的融合，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決實際問題的能力。例如，學(xué)過“正比例”后，組織學(xué)生進(jìn)行“大樹有多高”的實驗，需要學(xué)生測量桿高、桿子的影長、大樹的影長，其實在這個實驗中，還用到科學(xué)學(xué)科的知識，即“不同的太陽高度，物體的影長不一樣；同樣的太陽高度，不同高度物體的影長不一樣”，因此，要同時同地測量，才能準(zhǔn)確計算出大樹的高度。

7.重視回顧反思，讓數(shù)學(xué)實驗有經(jīng)驗。

數(shù)學(xué)實驗結(jié)束后，要及時組織學(xué)生進(jìn)行回顧反思，總結(jié)提煉實驗方法，感悟數(shù)學(xué)思想，交流實驗困惑及解決的途徑，從中積累活動經(jīng)驗，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗活動中真正從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗”。例如，在學(xué)習(xí)“長方形面積公式的推導(dǎo)”時，讓學(xué)生用邊長1厘米的小正方形擺3個不同的長方形，并在表格中填寫長、寬、小正方形的個數(shù)、長方形的面積，實驗結(jié)束后，組織回顧反思，交流擺的過程和發(fā)現(xiàn)。有的學(xué)生說：“沿著長一排一排地擺，擺滿后數(shù)一數(shù)”；有的學(xué)生說：“沿著寬一排一排地擺，擺滿后數(shù)一數(shù)”；有的學(xué)生說：“沿著長擺一排，沿著寬擺一排，不需要擺滿，只要用長邊擺的個數(shù)乘短邊擺的個數(shù)就可以知道擺滿的個數(shù)，也就是長方形的面積。這樣既方便，又省時間。”這真是創(chuàng)造性的思維！通過這樣的回顧反思、交流啟發(fā)，學(xué)生得到了好的經(jīng)驗，創(chuàng)新意識也得到了培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)實驗，作為一種重要的學(xué)習(xí)方式，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用。教師要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，精心設(shè)計實驗方案，有效組織數(shù)學(xué)實驗，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷實驗過程、獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動經(jīng)驗、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而為學(xué)生的終身發(fā)展奠基。