一類具有p-Laplacian算子的Plate方程全局吸引子的性質(zhì)

孟鳳娟, 劉存才, 張昶

(江蘇理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院, 江蘇常州 213001)

1.引言

Plate方程作為一類重要的物理模型, 其最早來源于工程力學(xué).在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中, 板被定義為厚度非常小的平面結(jié)構(gòu), 通過梁理論可以得出板方程對于平板力學(xué)的數(shù)學(xué)描述.在物理學(xué)上, 關(guān)于板的理論有很多, 例如: Mindlin-Reissner板、Kirchhoff薄板動力學(xué)、Reissner-Stein理論、Von Karman方程.研究板方程的目的主要是計算載荷板材承受的變形和壓力, 因此, 研究板方程具有很強的物理意義和實際用途.

Plate方程的數(shù)學(xué)研究起源于Woinowsky-Krieger在文[1]中所建立的彈性振動方程:

其中E是Young模量, ?是桿的密度, A是橫截面積, l是桿長, E是初始的軸向張力.這類問題的嚴格數(shù)學(xué)分析及解的整體存在性與漸近性的研究始于Ball在文[2]中關(guān)于彈性梁方程穩(wěn)定性的討論.

關(guān)于Plate方程解的漸近行為的研究近年來受到廣泛關(guān)注.如: 在非線性項滿足臨界增長與f(u).u ≥ 0時, Khanmamedov在文[3-4]中分別研究了帶有弱阻尼αut與內(nèi)部阻尼a(x)ut的Plate方程在無界區(qū)域上全局吸引子的存在性, 吸引子的正則性及分形維數(shù)的有限性.2009年, Kolbasin在文[5]中研究了帶有位移依賴阻尼σ(u)ut的Plate方程在有界區(qū)域上吸引子的存在性.2013年, 馬巧珍等在文[6]中得到了帶有強阻尼項?ut的Plate方程指數(shù)吸引子的存在性.2014年, KANG在文[7]中研究了帶有μ?ut??utt的非自治Plate方程分別在區(qū)間H2(?)×H1(?)與H4(?)×H3(?)中拉回吸引子存在性.最近, Khanmanedov在文[8]中研究了帶有非局部非線性項f(∥?u∥L2(Rn))|u|p?2?u的Plate方程在無界域上的漸近性.

本文考慮具有p-Laplacian算子的Plate方程

全局吸引子的性質(zhì), 其中? ?RN是具有光滑邊界?? 的有界區(qū)域.首先假設(shè)

(H1)當N ≥3時, 2 ≤p ≤當N =1,2時, p ≥2;

(H2)φ(s)=|s|m?1s?β|s|γs,其中,當N >4,m=當N ≤4時,m>0,0<γ β0充分大, β0將在引理3.3給出.

具有p-Laplacian算子的Plate方程(1.1)作為彈塑性微觀結(jié)構(gòu)模型在物理和力學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用.例如在空間維數(shù)N = 1和N = 2情況下, 分別描述了彈塑性桿的縱向運動和反平面剪切變形[9].

系統(tǒng)(1.1)解的存在性, 解的漸近行為等性質(zhì)得到廣泛研究, 如: 當空間維數(shù)N = 1時,方程(1.1)變?yōu)閡tt?uxxt+uxxxx?(|ux|p?2ux)x+φ(u)=0.不考慮耗散作用的影響, 結(jié)合低階非線性項與小的高階彌散微觀結(jié)構(gòu)項之間的相互作用, AN和Peirce[9]在一維情形下研究了如下方程utt+uxxxx=a()x的系列問題.

陳國旺和楊志堅[10]研究了比上式更一般的方程初邊值問題utt?σ(ux)x+uxxxx=f, 整體解的存在性以及有限時刻解爆破的充分條件.

高維情形下, 楊志堅等在文[11-12]中研究了如下方程

綜上, 關(guān)于系統(tǒng)(1.1)全局吸引子的存在性已有很多文獻討論, 但全局吸引子的幾何結(jié)構(gòu)的研究諸如吸引子維數(shù)的估計和指數(shù)吸引子尚鮮見.本文的主要目的是揭示當參數(shù)β足夠大時系統(tǒng)(1.1)全局吸引子里平衡點的多重性.所運用的工具是臨界點理論中的Z2指標.

系統(tǒng)(1.1)具有整體的Lyapunov泛函并且由于φ(u)關(guān)于u是奇的, 所以該Lyapunov泛函是偶的(見引理2.4).一般來講, 如果一個系統(tǒng)具有Lyapunov泛函并且有全局吸引子, 那么全局吸引子一定是平衡點集的不穩(wěn)定流形的并.特別地, 如果平衡點集是離散的, 則全局吸引子可看成是所有平衡點不穩(wěn)定流形的并, 另一方面, 系統(tǒng)的吸引子總是所有有界完全軌道的并, 每個有界完全軌道是連接兩個不同平衡點, 而且每一個平衡點均由完全有界軌道連接它.所以, 平衡點越多, 吸引子的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜.因此, 研究平衡點的多重性對揭示全局吸引子的結(jié)構(gòu)有重要的意義.

關(guān)于具有Lyapunov泛函的偏微分方程全局吸引子結(jié)構(gòu)的描述最早是Henry在文[13]中給出, 在該文中, 作者以Chaffee-Infante拋物方程為模型, 用分歧理論的方法從平衡點之間軌道連接的角度給出了吸引子結(jié)構(gòu)的詳細描述.在文[14-15]中作者考慮了Chaffee-Infante方程

的分歧問題, 其中λ ≥0.并且證明了當n2<λ<(n+1)2時該系統(tǒng)全局吸引子里有2n+1個不動點.通過文[14-15]的分析我們知道當0 ≤λ < 1時原點是穩(wěn)定的平衡點, 但是, 每當λ2穿過一個特征值, 全局吸引子里將多出一對不穩(wěn)定的平衡點.因而當λ充分大時, 從原點出發(fā)將出現(xiàn)一系列的鞍結(jié)分叉從而可得到平衡點的對數(shù)也將無窮大.

另一方面, 在文[16]中, 作者利用Z2指標證明了方程??u = λf(u)在f是次臨界增長并且是奇函數(shù)的假設(shè)下, 當λ →∞時解的個數(shù)趨于無窮大.在文[17]中作者考慮了擾動問題??u = f(x,u)+?g(x,u)多重解的存在性并且利用Z2指標證明了對任意的自然數(shù)j, 都存在?j>0使得對任意的0

受文[13-17]的啟發(fā), 最近, 鐘承奎等在文[18]中結(jié)合臨界點理論中的下降流思想和Z2指標理論來估算具有Lyapunov泛函的對稱動力系統(tǒng)全局吸引子的兩個不相交子集的Z2指標, 其中Lyapunov泛函在其中一個子集上是正的, 在另一個子集上是負的, 進而得到全局吸引子里多重平衡點的存在性.作為該理論的應(yīng)用, 作者考慮了一類反應(yīng)擴散方程全局吸引子里多重平衡點的存在性.

Plate方程與反應(yīng)擴散方程有著本質(zhì)的區(qū)別, 關(guān)于Plate方程全局吸引子中平衡點個數(shù)的估計的問題, 至今還沒有人進行研究, 本文我們就運用[18]中的理論給出Plate方程在一定條件下平衡點的多重性以及一族吸引子分形維數(shù)隨著參數(shù)的變化是任意大的.

2.預(yù)備知識

本節(jié)我們給出本文所需要的一些基本概念和結(jié)論, 首先給出無窮維動力系統(tǒng)的相關(guān)定義和理論.

定義2.1[19?20]假設(shè)算子族{S(t)}:X →X,t ≥0, 滿足

1) S(0)=Id(恒等變換);

2) S(t)S(s)=S(t+s), ?t,s ≥0;

3) 當tn→t并且在X中xn→x時, S(tn)xn→S(t)x,則稱{S(t)}:X →X,t ≥0是X上的C0半群.

定義2.2[19?20]設(shè)X是完備的度量空間, {S(t)}t≥0是X上的連續(xù)半群, 稱{S(t)}t≥0是漸近緊的, 如果對相空間X中的任何有界點列{xn}以及tn→∞, {S(tn)xn}有收斂子列.

定義2.3[19?20]設(shè)X是完備的度量空間, {S(t)}t≥0是X上的連續(xù)半群, 稱X中的子集A是{S(t)}t≥0的全局吸引子, 如果A滿足

1)(緊性) A是X中的一個緊集;

2)(不變性) S(t)A=A, ?t ≥0;

3)(吸引性) 對于X中的任何有界子集B,都有dist(S(t)B,A)→0(t →∞),其中dist(A,B)表示Hausdorff半距離, 定義為dist(A,B)=supx∈Ainfy∈Bdist(x,y).

引理2.1[19]設(shè){S(t)}t≥0是完備度量空間X上的連續(xù)半群, 則{S(t)}t≥0在X中存在全局吸引子當且僅當

1) {S(t)}t≥0在X中有有界吸收集;

2) {S(t)}t≥0在X上是漸近緊的.

定義2.4[15,20]設(shè)H為Banach空間, {S(t)}t≥0是定義在H上的半群, X ?H是它的一個正不變集, 稱Φ:X →R 是{S(t)}t≥0定義在X上的Lyapunov泛函如果

1)對任意給定的u0∈X,函數(shù)tΦ(S(t)u0) 關(guān)于時間t 是非增的;

2) 存在τ >0,使得Φ(S(τ)u0)=Φ(u0), 那么u0是半群S(t)的一個平衡點(不動點).稱動力系統(tǒng)(X,St)為梯度系統(tǒng), 若系統(tǒng)在整個相空間X上存在一個Lyapunov泛函.

下面, 我們給出系統(tǒng)(1.1)解的存在唯一性以及相應(yīng)半群全局吸引子的存在性結(jié)果, 詳見文[11-12])等.

引理2.2設(shè)(H1),(H2) 成立, 則對任何T >0及初值(u0,u1)∈(H2(?)∩(?))×L2(?),系統(tǒng)(1.1)的解存在并且唯一, (u,ut)∈C([0,T];(H2(?)∩(?))×L2(?)).

對任給t ∈R 定義映射

由引理2.2, 易得{S(t)}t≥0在能量相空間(H2(?)∩(?))×L2(?)中是C0-半群.

引理2.3設(shè)(H1),(H2)成立,則對任何β,系統(tǒng)(1.1)所生成的半群{S(t)}t≥0在空間(H2(?)∩(?))×L2(?)中存在全局吸引子Aβ.

對一個具有Lyapunov泛函的奇連續(xù)半群, 在全局吸引子具有對稱結(jié)構(gòu)的前提下, 鐘承奎等在[18]中借助于“原點是對應(yīng)的Lyapunov泛函的局部極小點”這一假設(shè), 估計了原點的吸引域邊界的Z2指標, 進而對半群{S(t)}t≥0在全局吸引子內(nèi)平衡點的個數(shù)做了估算, 具體結(jié)論如下:

引理2.4[18]設(shè)X 是一個Banach空間, {S(t)}t≥0是X上的一個C0半群.假設(shè){S(t)}t≥0滿足下列條件:

(A1)對任意的t ≥0, S(t)是奇的;

(A2)在X上, {S(t)}t≥0有一個全局吸引子A;

(A3)在X上, {S(t)}t≥0有一個C0Lyapunov偶泛函F;

(A4)存在B(0,ρ)(以0為中心, ρ為半徑的球), 對任意的u ∈B(0,ρ),t →∞都有S(t)u →0,并且F|?B(0,ρ)≥α>F(0)=0, 其中α是一個給定的正常數(shù);

(A5) 存在一個X的n維子空間Xn和一個正常數(shù)R(>ρ), 使得F|Xn∩?B(0,R)≤0.則有下列結(jié)論

(i)半群{S(t)}t≥0在A ∩F?1([α,∞))中至少有n對不動點;

(ii)半群{S(t)}t≥0在A ∩F?1((?∞,0))中至少有n對不動點.

3.主要結(jié)果

引理3.1設(shè)(H1),(H2)成立, 對任何給定的β,由系統(tǒng)(1.1)誘導(dǎo)出的解半群是奇的, 定理2.3中得到的全局吸引子Aβ是對稱的.

因而對每個給定的初值(u0,u1)∈(H2(?)∩?))×L2(?), 函數(shù)t →F(S(t)(u0,u1))是非增的.

如果存在某個τ >0使得F(S(τ)(u,ut))=F(u,ut).從(3.2)可知, 當0 ≤t ≤τ時S(t)(u,ut)= (u,ut).因此F(S(nτ)(u,ut)) = F(S((n ?1)τ)S(τ)(u,ut)) = F(S((n ?1)τ)(u,ut) = ··· =F(u,ut).重復(fù)上面的過程可得對任意的n ∈Z+,當0 ≤t ≤nτ時S(t)(u,ut)=(u,ut).所以對任意的t ≥0,S(t)(u,ut)=(u,ut).因此由(3.1)定義的F(u,ut)是算子半群的{S(t)}t≥0的Lyapunov泛函.結(jié)合(3.1)和(H2)易知, F(u,ut)=F(?(u,ut)), 即F是偶的.

引理3.3對任何自然數(shù)n, 存在X的一n維子空間Xn和一正常數(shù)R, 使得F|Xn∩?B(0,R)≤0.

證由假設(shè)(H2) , 可得

由上述不等式可知當(u,ut)∈B(0,ρ), ρ →0時F(u,ut)→0, 從而存在某個ρ<ρ1使得

由(3.4), 我們還可知存在某個α>0使得

由引理3.2知F是一個Lyapunov泛函, 則F(S(t)(u0,u1))關(guān)于時間t是遞減的, 結(jié)合(3.5),(3.6)可得, 對任給t ≥0,

因此對任給t ≥0,

否則, 存在某個t0及(u0,u1) ∈B(0,ρ)使得S(t0)(u0,u1) ∈XB(0,ρ1).根據(jù)S(t)的連續(xù)性, 存在t1滿足0

下面我們將驗證對任何初值(u0,u1) ∈B(0,ρ1), 算子半群只有原點是平衡點.即?(u0,u1)∈B(0,ρ),

由于算子半群的平衡點對應(yīng)于系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)方程的解, 即

由(H1),(H2)可得

我們斷言對某個τ >0

下面將用反證法來驗證(3.15).若(3.15)不成立, 則對任給t>0,

根據(jù)(3.13), 可得當tnk→∞時

根據(jù)F的連續(xù)性和(3.18), 可得當tnk→∞時

并且由(3.13)可得當tnk→∞時

結(jié)合(3.7)和(3.12), 引理3.4得以證明.

由引理3.1-3.4可知, 由引理2.2生成的算子半群(2.1)滿足引理2.4的所有條件, 根據(jù)引理2.4可得:

定理3.1假設(shè)(H1),(H2)成立, 對每個給定的β, Aβ是(1.1)的全局吸引子, 由(3.1)定義的F是算子半群{S(t)}t≥0在空間(H2(?)∩(?))×L2(?)中的Lyapunov泛函.則對任意自然數(shù)n, 存在β充分大使得{S(t)}t≥0在Aβ∩F?1([α,∞))內(nèi)至少有n對不同的不動點, 并且在Aβ∩F?1((?∞,0))內(nèi)至少有n對不同的不動點.

在文[9]中,我們知道任何一個分形維數(shù)為n的緊集與R2n+1之間都存在一個一一的線性奇的Hder連續(xù)映射.類似于文[30]中推論1.1, 由引理3.1-3.4及引理2.4可得如下推論:

推論3.1假設(shè)(H1),(H2) 成立, 對任何給定的β, Aβ是系統(tǒng)(1.1)全局吸引子.則我們有下列結(jié)論: limβ→∞dimAβ=∞.