通過(guò)建立一維模型講解兩相流數(shù)值模擬過(guò)程

周 豹，楊 娜，胡永茂，謝再新，段卓琦，羅 亮，Gretar Tryggvason

（1.大理大學(xué)，云南大理 671003；2.約翰霍普金斯大學(xué)，馬里蘭州巴爾的摩 21218-2681）

數(shù)值模擬/仿真被廣泛應(yīng)用在力學(xué)、能源、環(huán)境科學(xué)等教學(xué)中。一方面是因?yàn)閿?shù)值模擬本身具有靈活、易于控制、可重復(fù)性好，能夠預(yù)測(cè)參數(shù)變化、發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)象等特點(diǎn)，并隨著計(jì)算機(jī)硬件性能發(fā)展能夠解決的問(wèn)題日益豐富，已成為科學(xué)研究的重要方法。完成一項(xiàng)數(shù)值模擬類似于完成一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，相對(duì)于實(shí)驗(yàn)，數(shù)值模擬在一些方面具有不受實(shí)驗(yàn)儀器、設(shè)備制約的優(yōu)勢(shì)，省時(shí)省力。例如飛行器的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)結(jié)果與相應(yīng)的數(shù)值模擬結(jié)果非常接近，而風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)花費(fèi)的時(shí)間、經(jīng)濟(jì)成本要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于數(shù)值模擬。另一方面數(shù)值模擬能直觀地給出參數(shù)的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)、變化特征，例如流體數(shù)值模擬中的速度、壓力、阻力、溫度、組分濃度、紊流特性、管道應(yīng)力疲勞等。學(xué)生可以通過(guò)數(shù)值模擬體會(huì)參數(shù)變化之間的關(guān)系、參數(shù)變化給系統(tǒng)帶來(lái)的影響，深入理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，建立實(shí)際現(xiàn)象與抽象公式的直觀聯(lián)系，對(duì)學(xué)生形成邏輯記憶有很大的幫助。

兩相流動(dòng)是流體力學(xué)的一個(gè)分支，是單相流動(dòng)的拓展，同時(shí)也是復(fù)雜多相流動(dòng)（流體中同時(shí)存在固體、液體和氣體、微生物等中的兩種或幾種）的基礎(chǔ)。兩相流動(dòng)廣泛存在于自然界和能源、醫(yī)學(xué)、化工等領(lǐng)域。例如，整個(gè)地球的水汽循環(huán)、核反應(yīng)堆中的沸水堆、血液循環(huán)系統(tǒng)都屬于典型的兩相流動(dòng)問(wèn)題。兩相流是能源動(dòng)力專業(yè)的主干課程，也是一些相關(guān)專業(yè)的必選課程。

流體力學(xué)中牛頓流體的問(wèn)題描述基本都是NS（Navier-Stokes）方程的求解〔1〕。NS 方程的存在性與光滑性問(wèn)題是千禧年七大數(shù)學(xué)難題之一，至今沒(méi)有被解決，但不影響它在應(yīng)用領(lǐng)域的重要地位和作用?？梢酝ㄟ^(guò)離散NS 方程求數(shù)值解。離散求解的同時(shí)可視化即為流體數(shù)值模擬的過(guò)程。工程和科學(xué)研究一般采用三維數(shù)值模擬，三維數(shù)值模擬能夠很好地展示流體的參數(shù)變化規(guī)律，但是計(jì)算量大，計(jì)算機(jī)時(shí)長(zhǎng)。教學(xué)中為演示原理、講解離散和計(jì)算過(guò)程，通常把三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維問(wèn)題。即便如此，二維程序仍比較復(fù)雜，所需講解的細(xì)節(jié)問(wèn)題仍有很多，占用課時(shí)量大，很難在同一時(shí)間段完成，造成課程的不連貫。本文以氣液兩相流中典型泡狀流為例，講解在向上的管流、層流穩(wěn)定狀態(tài)下，氣泡會(huì)分布于貼壁面處〔2〕現(xiàn)象的數(shù)值模擬過(guò)程。為了盡可能用較短的課時(shí)闡述整個(gè)數(shù)值模擬過(guò)程，使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的全貌和計(jì)算過(guò)程有全面認(rèn)識(shí)，對(duì)二維問(wèn)題進(jìn)一步簡(jiǎn)化，只考慮截面一個(gè)方向的分布，結(jié)果能夠很好地反應(yīng)氣體分布規(guī)律。所編寫(xiě)的Matlab 程序短煉，易于學(xué)習(xí)和講述，為講述二維、三維數(shù)值模擬的復(fù)雜過(guò)程提供過(guò)渡，同時(shí)也為學(xué)生提供簡(jiǎn)化問(wèn)題、分析問(wèn)題的思路。

1 兩相均相流模型的描述

實(shí)際問(wèn)題較為復(fù)雜，為了講解原理首先應(yīng)簡(jiǎn)化復(fù)雜問(wèn)題，不考慮流動(dòng)過(guò)程中可能伴隨的液滴/氣泡破裂、相變、熱交換等問(wèn)題，在原有對(duì)單相流動(dòng)的理解基礎(chǔ)上，進(jìn)一步簡(jiǎn)化研究?jī)上嗔髂Ｐ汀?/p>

利用兩相流基本NS 方程建立一維數(shù)學(xué)模型。假設(shè)氣相以小氣泡的形式彌散在液相中，設(shè)截面方向x 處氣相占比εg，平均氣相占比，截面方向x 處液相占比為εl，平均液相占比和εg是位置x 和時(shí)間t 的函數(shù)。其中，下標(biāo)l 代表液相，下標(biāo)g 代表氣相。氣相和液相占比的關(guān)系為

x 處的密度為

平均密度

連續(xù)性方程為

動(dòng)量方程〔3〕為

其中

2 連續(xù)性方程和動(dòng)量方程的離散和計(jì)算過(guò)程

首先對(duì)各個(gè)參數(shù)進(jìn)行初始化，其中設(shè)截面寬度H=2；截面含氣率液相密度ρl=2.5；動(dòng)力黏度系數(shù)μl=0.002 5；運(yùn)動(dòng)黏度系數(shù)；時(shí)間步長(zhǎng)〔4〕方向步長(zhǎng)單位坐標(biāo)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的含氣率初始化為

如圖1 所示，在不考慮氣泡的大小，氣相均勻分布的情況下，為求得流體速度分布，對(duì)流體微元進(jìn)行受力分析。為使流體微元兩側(cè)的黏性阻力相等便于分析，選擇以中心點(diǎn)對(duì)稱的微元，以為例，微元“面積”（對(duì)于一維線段，則為長(zhǎng)度）為微元受力平衡：

圖1 單相流體層流二維受力示意圖

化簡(jiǎn)后兩邊同除2δl 可得到

剪切力又等于

兩式聯(lián)立得

積分得

由邊界條件w＝0，即v（H）＝0 得到C＝0，得到速度v 沿x 的分布

為計(jì)算方便，設(shè)氣相密度為0，動(dòng)量方程（4）可以改寫(xiě)成

采用一階迎風(fēng)格式計(jì)算Fg和mf，其中上標(biāo)j 為時(shí)間點(diǎn)，下標(biāo)i 為坐標(biāo)點(diǎn)

解出

通過(guò)計(jì)算

得到

圖2a 為初始狀態(tài)，其中速度分布為拋物形態(tài)，氣相為均勻分布在橫截面上。經(jīng)過(guò)迭代計(jì)算，8 s左右之后，流體處于穩(wěn)定狀態(tài)，如圖2b 所示，此時(shí)流體在管道中部速度分布基本保持均勻分布，氣泡則集中在管道四周（一維則為兩側(cè)）。符合實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象〔5〕。

圖2 含氣率和速度分布

3 結(jié)語(yǔ)

本文依據(jù)NS 方程對(duì)兩相泡狀流在二維管道截面方向上建立一維模型，通過(guò)離散NS 方程，設(shè)置初始條件，迭代計(jì)算流道內(nèi)的液相速度分布、氣泡分布，講解兩相流數(shù)值模擬的分析、計(jì)算過(guò)程。模型簡(jiǎn)單，所需編寫(xiě)代碼簡(jiǎn)練，能夠在較短課時(shí)完成講解，易于學(xué)生掌握、理解原理及數(shù)值模擬整體過(guò)程，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。