數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

范亞茹，亓宇欣

(1. 西南民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都 610065；2. 首都師范大學(xué)教師教育學(xué)院，北京100048)

數(shù)學(xué)源于生活，又運用于生活. 數(shù)學(xué)建模運用數(shù)學(xué)思想、理論和方法，以解決和解釋現(xiàn)實問題為目的，被廣泛地應(yīng)用于各個領(lǐng)域[1-5]. 數(shù)學(xué)建模競賽是高等院校培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新能力和實踐能力的一個重要手段.根據(jù)調(diào)查[6]，參加過數(shù)學(xué)建模競賽的大學(xué)生的創(chuàng)新能力相對于沒有參加過數(shù)學(xué)建模競賽的大學(xué)生較強，參加數(shù)學(xué)建模競賽獲得獎項的大學(xué)生的創(chuàng)新能力水平要明顯高于未參加數(shù)學(xué)建模競賽大學(xué)生的創(chuàng)新能力水平，特別是獲得國家級獎的大學(xué)生的創(chuàng)新能力.所以，數(shù)學(xué)建?；顒訉τ诖髮W(xué)生的創(chuàng)新能力是有顯著影響的.

目前，數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件(如 MATLAB，SPSS，Visual C ＋ ＋，Python，JAVA 等)在大學(xué)課程的教學(xué)中已廣泛開展和實施[7-10].編程軟件具有強大的符號處理和繪圖功能，能輔助數(shù)學(xué)表達式的計算和推導(dǎo)，驗證數(shù)學(xué)假設(shè)和猜想，求解數(shù)學(xué)模型的解析解，展示靜態(tài)和動態(tài)的圖表分析結(jié)果.將編程軟件與大學(xué)課程的理論知識相融合，應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模，創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)等競賽活動，能讓學(xué)生真正地將書本知識用于求解實際問題，切實感受到理論與實踐相結(jié)合的高效性.

本文以2021 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中的B題為例，運用統(tǒng)計軟件SPSS(Statistics Package for Social Sciences)和科學(xué)計算軟件MATLAB(MATrix LABoratory)高效求解部分問題并進行分析.SPSS 是世界流行的統(tǒng)計軟件之一，它采用類似Excel 表格的方式輸入與管理數(shù)據(jù)，有完整的編輯、統(tǒng)計分析、報表、圖像制作等功能，易學(xué)易用，操作簡單[11-14].MATLAB 軟件將數(shù)值計算、符號計算、圖像處理、系統(tǒng)仿真和程序流程控制等功能集成在一個環(huán)境中，并能夠與其他程序設(shè)計語言通過應(yīng)用接口連接，具有許多面向特定應(yīng)用領(lǐng)域的工具箱，功能強大，開放性強[15-18].如果學(xué)生在數(shù)學(xué)建模競賽中，靈活運用SPSS 和MATLAB 軟件統(tǒng)計和分析數(shù)據(jù)，能更高效地解決問題，更深入地分析問題，建立更優(yōu)的數(shù)學(xué)模型.

文章的結(jié)構(gòu)如下:接下來的第二部分是2021 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B 題題目；第三部分是采用MATLAB 和SPSS 數(shù)學(xué)軟件對競賽題目的求解與分析；第四部分是全文總結(jié).

1 數(shù)學(xué)建模競賽B 題題目

B 題 乙醇偶合制備C4 烯烴

C4 烯烴廣泛應(yīng)用于化工產(chǎn)品及醫(yī)藥的生產(chǎn)，乙醇是生產(chǎn)制備C4 烯烴的原料.在制備過程中，催化劑組合(即:Co 負載量、Co/SiO2 和 HAP 裝料比、乙醇濃度的組合)與溫度對C4 烯烴的選擇性和C4 烯烴收率將產(chǎn)生影響.因此通過對催化劑組合設(shè)計，探索乙醇催化偶合制備C4 烯烴的工藝條件具有非常重要的意義和價值.

某化工實驗室針對不同催化劑在不同溫度下做了一系列實驗，結(jié)果如附件1 和附件2 所示. 請通過數(shù)學(xué)建模完成下列問題:

(1)對附件1 中每種催化劑組合，分別研究乙醇轉(zhuǎn)化率、C4 烯烴的選擇性與溫度的關(guān)系，并對附件2中350 度時給定的催化劑組合在一次實驗不同時間的測試結(jié)果進行分析.

(2)探討不同催化劑組合及溫度對乙醇轉(zhuǎn)化率以及C4 烯烴選擇性大小的影響.附錄:名詞解釋

選擇性:某一個產(chǎn)物在所有產(chǎn)物中的占比.

乙醇轉(zhuǎn)化率:單位時間內(nèi)乙醇的單程轉(zhuǎn)化率，其值為100%*(乙醇進氣量-乙醇剩余量)/乙醇進氣量.

表1 附件1 部分數(shù)據(jù)Table 1 Part of data of attachment 1

表2 附件2 數(shù)據(jù)Table 2 Data of attachment 2

2 求解與分析

我們先用MATLAB 軟件，將附件1 中的溫度、乙醇轉(zhuǎn)化率、C4 烯烴的選擇性數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成圖形，便于觀測.下圖分別是編號 A1、A2、A5、A11 催化劑組合方式中溫度、乙醇轉(zhuǎn)化率、C4 烯烴的選擇性的關(guān)系圖.

圖2 相關(guān)性分析流程圖Fig.2 The flow-sheet of correlation analysis

圖1 表明隨著溫度的升高，乙醇轉(zhuǎn)化率、C4 烯烴的選擇性都在升高，呈正相關(guān)關(guān)系. 乙醇轉(zhuǎn)化率圖形更陡峭，而C4 烯烴的選擇性圖形更平緩，表明乙醇轉(zhuǎn)化率受溫度影響較大.

圖1 乙醇轉(zhuǎn)化率、C4 烯烴的選擇性與溫度間的關(guān)系圖Fig.1 The correlation between temperature and ethanol conversion，C4 alkene selectivity

其次，我們通過SPSS 軟件中的相關(guān)性分析進一步研究問題.由于附件1 中有21 種催化劑組合方式(A1-A14，B1-B7)，為了節(jié)省論文空間，我們以編號A1 催化劑組合方式為例. SPSS 軟件可以直接讀取Excel 數(shù)據(jù)文件，然后對三個變量進行定義；在“分析”菜單欄中的“相關(guān)”子菜單下選擇“雙變量”，可進行兩兩變量的相關(guān)性分析；具體操作步驟如下圖所示，其余催化劑組合方式的相關(guān)性分析步驟一致.

編號A1 的催化劑組合方式的乙醇轉(zhuǎn)化率、C4 烯烴的選擇性與溫度間的相關(guān)性結(jié)果分別如表3 和表4所示，其中皮爾遜相關(guān)系數(shù)(Pearson correlation coefficient)反映兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度；顯著性(雙尾)值反映兩個隨機變量之間的相關(guān)性的顯著性，其值介于0 到1 之間，越小表明相關(guān)性越顯著.

表3 乙醇轉(zhuǎn)化率與溫度間的相關(guān)性(A1)Table 3 The correlation between temperature and ethanol conversion (A1)相關(guān)性

表4 C4 烯烴選擇性與溫度間的相關(guān)性(A1)Table 4 The correlation between temperature and C4 alkeneselectivity(A1)相關(guān)性

皮爾遜相關(guān)系數(shù)r的定義如下:

其中X，Y是兩個隨機變量，n是樣本數(shù)量(X，Y的維度)，分別是X，Y的樣本平均數(shù).r的取值介于-1到1 之間，取值為1 時，表示兩個隨機變量之間呈完全正相關(guān)關(guān)系；取值為-1 時，表示兩個隨機變量之間呈完全負相關(guān)關(guān)系；取值為0 時，表示兩個隨機變量之間線性無關(guān).

顯著性(雙尾)值p在相關(guān)性分析中，與皮爾遜相關(guān)系數(shù)是相輔相成的. 當(dāng)顯著性水平一定時(通常為5%)，p≥0.05 表明兩個隨機變量的相關(guān)性不顯著，p＜0.05 表明兩個隨機變量的相關(guān)性顯著，且p越小表明相關(guān)性越顯著.

從輸出結(jié)果表3 可以看出乙醇轉(zhuǎn)化率與溫度間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.965，顯著性(雙尾)值是0.008( ＜0.05).表明當(dāng)溫度升高時，乙醇轉(zhuǎn)化率在增加，且乙醇轉(zhuǎn)化率與溫度間有較強的線性相關(guān)性. 同理，表4 顯示C4 烯烴選擇性與溫度間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.887，顯著性(雙尾)值是0.045( ＜0.05).當(dāng)溫度升高時，C4 烯烴選擇性也在增加，C4 烯烴選擇性與溫度間的線性相關(guān)性一般.通過比較表3 和表4中的皮爾遜相關(guān)系數(shù)和顯著性(雙尾)值，發(fā)現(xiàn)溫度與乙醇轉(zhuǎn)化率的線性相關(guān)性要比與C4 烯烴的選擇性的線性相關(guān)性較強，正如圖1(b)所示.

對附件1 中的每一種催化劑組合方式，我們都進行了乙醇轉(zhuǎn)化率、C4 烯烴的選擇性與溫度間的相關(guān)性分析，結(jié)果如表5 所示.對于編號 A5、A8、A9、A11、A12、A13、B1、B2、B3、B5、B6、B7 的催化劑組合方式，乙醇轉(zhuǎn)化率與溫度間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)小于C4 烯烴的選擇性與溫度間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)，表明C4 烯烴的選擇性與溫度間的線性相關(guān)性較強.而其余的催化劑組合方式 A1、A2、A3、A4、A6、A7、A10、A14、B4，它們的乙醇轉(zhuǎn)化率與溫度間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)大于C4烯烴的選擇性與溫度間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)，表明乙醇轉(zhuǎn)化率與溫度間的線性相關(guān)性較強. 正如圖1(a)和(b)所示，A1 和A2 催化劑組合方式中，乙醇轉(zhuǎn)化率與溫度存在較強的線性相關(guān)性；而A5 和A11 催化劑組合方式中，C4 烯烴的選擇性與溫度存在較強的線性相關(guān)性，如圖1(c)和(d)所示.

表5 乙醇轉(zhuǎn)化率、C4 烯烴的選擇性與溫度的皮爾遜相關(guān)系數(shù)Table 5 Pearson correlation coefficients between temperatureand ethanol conversion，C4 alkene selectivity

我們繼續(xù)用MATLAB 和SPSS 軟件研究附件2 中350 度時給定的催化劑組合在一次實驗中乙醇轉(zhuǎn)化率、C4 烯烴的選擇性與時間之間的關(guān)系.圖3 表明隨著時間的增長，乙醇轉(zhuǎn)化率圖形迅速下降，而C4 烯烴的選擇性圖形平緩波動，表明時間對乙醇轉(zhuǎn)化率影響較大.表6 顯示乙醇轉(zhuǎn)化率與時間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為-0.966，負相關(guān)，即乙醇轉(zhuǎn)化率與時間存在較強的線性相關(guān)性，當(dāng)時間增長，乙醇轉(zhuǎn)化率減少. C4 烯烴的選擇性與時間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.215，正相關(guān)，即C4 烯烴的選擇性與時間不存在顯著的線性相關(guān)性.乙醇轉(zhuǎn)化率與C4 烯烴的選擇性的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為-0.150，負相關(guān)，表明乙醇轉(zhuǎn)化率與C4 烯烴的選擇性線性相關(guān)性不明顯.

圖3 乙醇轉(zhuǎn)化率、C4 烯烴的選擇性與時間的關(guān)系圖Fig.3 The correlation between time and ethanol conversion，C4 alkene selectivity

表6 乙醇轉(zhuǎn)化率、C4 烯烴的選擇性與時間的相關(guān)性Table 6 The correlation between time and ethanol conversion，C4 alkene selectivity相關(guān)性

綜上所述，乙醇轉(zhuǎn)化率與催化劑組合方式、溫度和時間都有較強的相關(guān)性，而C4 烯烴的選擇性與催化劑組合方式和溫度有較強的相關(guān)性，時間和乙醇轉(zhuǎn)化率對C4 烯烴的選擇性影響較小.

3 結(jié)論

上述例子表明大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目通常求解難度大，求解方法不唯一，且有復(fù)雜的應(yīng)用背景.解決這樣的難題不僅需要實際問題的背景知識和足夠的數(shù)學(xué)理論知識，計算機軟件應(yīng)用能力及編程能力也非常重要.在數(shù)學(xué)建模過程中，在思路和方法確定的情況下，復(fù)雜的運算可由數(shù)學(xué)軟件完成(如MATLAB，C ＋＋和Python)；在方法思路不明的情況下，數(shù)學(xué)軟件可以測試構(gòu)思、指引方向并驗證猜想.總之，數(shù)學(xué)軟件是數(shù)學(xué)建模必不可少的重要工具，運用數(shù)學(xué)軟件高效地解決社會問題應(yīng)是當(dāng)代大學(xué)生必備的技能.