函數(shù)背景中的面積問(wèn)題考查探究

周兒

【摘要】函數(shù)背景中的面積問(wèn)題形式多樣，其考查重點(diǎn)涉及面積模型構(gòu)建、割補(bǔ)方法、等量轉(zhuǎn)化、方程思想等.本文結(jié)合具體試題深入探究面積問(wèn)題的構(gòu)建形式，考查方式，總結(jié)突破策略十分必要.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);面積;拆分法

函數(shù)背景中的圖形面積問(wèn)題十分常見(jiàn)，問(wèn)題設(shè)定即考查方式較為多樣.除了直接求圖形面積，還常見(jiàn)求面積關(guān)聯(lián)條件等.可從面積關(guān)系、面積最值等視角進(jìn)行考查，下面結(jié)合實(shí)例具體探究.

考查方式一 直接求圖形面積

直接求圖形面積，即基于函數(shù)交點(diǎn)構(gòu)建幾何圖形，設(shè)問(wèn)求圖形的面積，突破的核心是構(gòu)建面積模型，結(jié)合面積公式求解，解題時(shí)要善于運(yùn)用割補(bǔ)拆分法.

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=ax+ba≠0的圖象與反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象交于P、Q兩點(diǎn).點(diǎn)P-4，3，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-2.

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式;

（2）求△POQ的面積.

解析 本題目以反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交為背景，第（2）問(wèn)求三角形的面積，合理拆解圖形構(gòu)建面積模型即可.

（1）簡(jiǎn)答，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-12x;一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-12x+1.

（2）設(shè)一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為M，如圖2， OM可將△POQ拆分為△POM和△QOM兩部分，則S△POQ=S△POM+S△QOM.點(diǎn)M為一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)，可求得M（0，1），則底邊OM=1.點(diǎn)P（-4，3），Q（6，-2），則點(diǎn)P和Q分別到底邊OM的距離為4和6，所以S△POQ=S△POM+S△QOM=12×1×4+12×1×6=5，即△POQ的面積為5.

考查方式二 設(shè)定面積求關(guān)聯(lián)條件

設(shè)定面積求關(guān)聯(lián)條件，即問(wèn)題中給定圖形面積，求與其相關(guān)的條件，如點(diǎn)坐標(biāo)、參數(shù)值，函數(shù)方程系數(shù)等.該類問(wèn)題是基于面積的逆向設(shè)問(wèn)，解題核心是基于方程思想，圍繞圖形面積構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程.

例2 如圖3，一次函數(shù)y=kx+2k≠0的圖象與反比例函數(shù)y=mx m≠0，x>0的圖象交于點(diǎn)A2，n，與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C-4，0.

（1）求k與m的值;

（2）Pa，0為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△APB的面積為72時(shí)，求a的值.

解析 本題目同樣以反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交為背景，第（2）問(wèn)中設(shè)定三角形面積求a的值，而a為三角形頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)值，故實(shí)則為已知圖形面積求頂點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題.

（1）簡(jiǎn)答，k=12，m=6.

（2）直接構(gòu)建△APB的面積模型較為困難，可采用割補(bǔ)法拆分轉(zhuǎn)化，建立與點(diǎn)P相關(guān)的面積關(guān)系，則S△CAP=S△ABP+S△CBP.

點(diǎn)B位于y軸上，可得B（0，2），點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC=a+4，由面積公式可知S△CBP=12PC·OB=12×a+4×2=a+4，S△CAP=12PC·yA=12×a+4×3=32a+4.

由S△CAP=S△ABP+S△CBP，

可得32a+4=72+a+4，

可解得a=3或a=-11.

考查方式三 設(shè)定面積關(guān)系求關(guān)聯(lián)條件

設(shè)定面積關(guān)系求關(guān)聯(lián)條件，即問(wèn)題中給出兩圖形的面積關(guān)系，求與之相關(guān)的條件.其中的面積關(guān)系，可為等面積關(guān)系，面積之積關(guān)系，面積和差關(guān)系等，解析時(shí)需關(guān)注兩圖形的關(guān)聯(lián)特征，將其轉(zhuǎn)化為線段條件，進(jìn)而推導(dǎo)求解.

例3 如圖4，二次函數(shù)y1=x2+mx+1的圖象與y軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y2=kx（x>0）的圖象相交于點(diǎn)B（3，1）.

（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;

（2）當(dāng)y1隨x的增大而增大且y1

（3）平行于x軸的直線l與函數(shù)y1的圖象相交于點(diǎn)C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），與函數(shù)y2的圖象相交于點(diǎn)E.若△ACE與△BDE的面積相等，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

解析 本題目以反比例函數(shù)與拋物線相交為背景，第（3）問(wèn)設(shè)定△ACE與△BDE的面積相等，求頂點(diǎn)E的坐標(biāo)，解析的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化面積關(guān)系條件，推導(dǎo)頂點(diǎn)坐標(biāo).

（1）簡(jiǎn)答，二次函數(shù)的解析式為y1=x2-3x+1，反比例函數(shù)的解析式為y2=3xx>0.

（2）根據(jù)圖象直接分析，可得當(dāng)y1隨x的增大而增大且y1

（3）根據(jù)題意作圖，直線l平行于x軸，與二次函數(shù)的交點(diǎn)分別為C和D，與反比例函數(shù)的交點(diǎn)為E，連接AE和BE，如圖5.

可推得點(diǎn)A（0，1），而點(diǎn)B（3，1），則點(diǎn)A和B的縱坐標(biāo)值相等，即點(diǎn)A和B到直線l的距離相等，所以△ACE的CE邊上的高與△BDE的DE邊上的高相等.

已知△ACE與△BDE的面積相等，可推得CE=DE，即點(diǎn)E為二次函數(shù)對(duì)稱軸與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，當(dāng)x=32時(shí)，y2=2，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為E32，2.

總之，上述充分呈現(xiàn)了函數(shù)背景中的面積問(wèn)題的構(gòu)建方式，涉及直接求面積、推導(dǎo)關(guān)聯(lián)條件、轉(zhuǎn)化面積關(guān)系等，其中的面積模型、割補(bǔ)方法、方程思想、轉(zhuǎn)化思想是探究學(xué)習(xí)的重點(diǎn).學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)立足圖形特征，結(jié)合面積公式探究總結(jié)，生成類型問(wèn)題的解析策略.