復(fù)合泊松過程在新疆地震研究中的應(yīng)用

盧蕓瀟，劉 淼，2*

（1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆伊寧 835000；2.伊犁師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，新疆伊寧 835000）

0 引言

地震是大自然最可怕和最具破壞性的災(zāi)難之一.伴隨地震的發(fā)生，同時可能會造成許多傷亡和廣泛的財產(chǎn)損失.新疆處于印度板塊和歐亞板塊結(jié)合的部分，是地震頻發(fā)地區(qū).

不少學(xué)者研究表明，在某一區(qū)域或地震帶上地震會按照一定時間間隔規(guī)律地復(fù)現(xiàn).因此，對于新疆地區(qū)地震復(fù)發(fā)周期，以及各級地震的發(fā)生概率的研究成為地震活動規(guī)律分析的一個非常重要的方向.根據(jù)相關(guān)資料，在1980年至2018年期間影響居住地區(qū)的地震占比急劇增加.這些研究引導(dǎo)我們思考是否也可以通過對新疆地區(qū)地震的研究對新疆地震的危險性進行一定的評估.我們在假設(shè)年度地震發(fā)生狀況為具有泊松隨機變量序列的情況下，對搜集到的新疆地區(qū)的地震相關(guān)數(shù)據(jù)集進行了檢驗.在此假設(shè)下，再次得到地震的重現(xiàn)期，并且計算出各級地震的發(fā)生概率.

1 基本假設(shè)

1.1 預(yù)備知識

1.2 震級的分布

1.3 主要結(jié)論

2 實證分析

2.1 新疆歷年地震數(shù)據(jù)

收集《新疆統(tǒng)計年鑒》相關(guān)數(shù)據(jù)，并繪制統(tǒng)計圖如圖1所示.

圖1 新疆年度地震次數(shù)及經(jīng)濟損失

從圖1中可以看到，從2005～2018年，新疆共發(fā)生68次5級以上地震，每次地震都造成了不少的經(jīng)濟損失.

2.2 模型的建立

2.3 模型的檢驗

從《新疆統(tǒng)計年鑒》收集數(shù)據(jù)，制作出新疆地震數(shù)據(jù)的頻率分布表見表1.

表1 按照震級計算的總地震頻率

通過擬合優(yōu)度檢驗，將觀測到的頻率分布與理論泊松分布進行比較，計算得P值為0.998，因此可得出接受原假設(shè)的結(jié)論，這意味著沒有顯著性差異.地震頻率具有泊松分布，平均值為λ = 4.86（年）和λ= 0.013（天）.

2005～2018年期間新疆發(fā)生的地震頻率按震級的分布記錄于表2.

表2 新疆地震的頻率分布

2005～2018年期間新疆地震發(fā)生的頻率與震級分布見表2，數(shù)據(jù)分為3類.

利用χ2擬合優(yōu)度檢驗對新疆地震的頻率分布和理論指數(shù)分布進行擬合優(yōu)度檢驗.其中預(yù)期頻率由1.2中的公式計算得到.對如下原假設(shè)與備擇假設(shè)進行假設(shè)檢驗：

H0：實驗分布與理論指數(shù)分布沒有顯著差異.

H1：實驗分布與理論指數(shù)分布存在顯著差異.

預(yù)期的概率值和觀測的概率值如表3所示.χ2值計算為0.252（P＞0.05）.因此在0.05的顯著水平下不拒絕原假設(shè)，即表明震級隨機變量具有指數(shù)分布.

表3 實驗值與理論分布值

2.4 新疆地震復(fù)現(xiàn)周期的估計

本文統(tǒng)計了2005～2018年新疆地區(qū)的68次5級以上（M≥5）地震的資料，將m的平均值作為一個期望值，計算得到.θ= 5.0是按照震級分類的第一個類別的下界.由公式

計算得到

因此密度函數(shù)可以定義為

對密度函數(shù)進行積分，得到隨機變量的概率密度為

根據(jù)不同地震類型劃分，得到不同震級的理論與實驗值見表3.

計算不同地震類型的平均復(fù)發(fā)周期如表4所示.

表4 新疆地震復(fù)現(xiàn)周期的估計

在本節(jié)中，地震的復(fù)發(fā)周期以年為單位.fM(m)中的數(shù)據(jù)表示某一確定震級的地震發(fā)生概率.表4中的第4列的值表示地震次數(shù)的年度期望值，這是由fM(m)所在的列的概率乘以（震級M≥5）地震年度觀測頻率所得，由表4可以看出5.5級地震的重現(xiàn)期約為每年3次；6.5級地震的重現(xiàn)期約為每年2次；7.5級地震的重現(xiàn)期約為每年1次.表4中的最后一列，表示某一確定震級的地震重現(xiàn)周期.年度復(fù)發(fā)時間的計算公式如下［3］：

其中，α表示年度復(fù)發(fā)時間；β表示以年為單位的地震發(fā)生頻率.

2.5 新疆地震經(jīng)濟損失的期望值

2.6 新疆地震復(fù)發(fā)概率的估計

上述兩式計算得到的概率值分別見表5、表6.

表6 以年為單位估計地震復(fù)現(xiàn)概率

從表5可以發(fā)現(xiàn)，新疆地區(qū)60天0次地震復(fù)發(fā)的概率為0.4584；180天2次地震復(fù)發(fā)的概率為0.2637；365天7次地震復(fù)發(fā)的概率為0.093.

根據(jù)表6中的結(jié)果可得，1年期間5次地震復(fù)發(fā)的概率為0.1751；5年期間15次地震復(fù)發(fā)的概率為0.013.

表7、表8分別給出了以天為單位和以年為單位的期望值.

表7 以天為單位的期望值

表8 以年為單位的期望值

從表7可以看出，預(yù)計到2019年3月1日將發(fā)生大約1次（0.78）5級及以上地震；類似地，預(yù)計到2019年10月26日將發(fā)生4次（3.9）5級及以上地震.在表8中可以看出，預(yù)計到2020年將發(fā)生10次（9.72）5級及以上地震；預(yù)計到2026年將發(fā)生約39次（38.88）5級及以上地震.

3 結(jié)束語

本文搜集到新疆地區(qū)2005～2018年5級以上地震的相關(guān)數(shù)據(jù)，利用泊松過程的相關(guān)知識建立了數(shù)學(xué)模型，證明了地震的發(fā)生是強度均勻的泊松過程，并用擬合優(yōu)度檢驗，表明震級隨機變量具有指數(shù)分布.采用復(fù)合泊松過程對地震期間經(jīng)濟損失的期望值進行了估計，結(jié)果表明：t時間內(nèi)新疆地區(qū)地震所造成經(jīng)濟損失的期望值為363.7346t.此外，根據(jù)年份和天數(shù)，對新疆地區(qū)未來一段時間內(nèi)的地震復(fù)現(xiàn)周期和復(fù)發(fā)概率進行了計算，得到了某些震級的地震重現(xiàn)期和復(fù)發(fā)概率的估計值.結(jié)果表明，5.5級地震的重現(xiàn)期約為每年3次.通過以上分析得出的結(jié)果可為今后新疆地震災(zāi)害的預(yù)防提供一定的理論參考.