方程的可解性

李昌吉

(阿壩師范學(xué)院 藏漢雙語學(xué)院，四川 汶川 623002)

數(shù)論學(xué)家F.Smarandache在其《Only Problems,Not Solution》一書中定義了Smarandache函數(shù)S(n)和偽Smarandache無平方因子函數(shù)Zω(n).Smarandache函數(shù)S(n)=min{m∈+|n|m!}表示使n|m!成立的最小正整數(shù)m，偽Smarandache無平方因子函數(shù)Zω(n)表示最小的正整數(shù)m,使得n|mn，即Zω(n)=min{m∈+|n|mn}.很多學(xué)者對函數(shù)S(n)和Zω(n)的性質(zhì)進(jìn)行了研究，如文獻(xiàn)[1-5].文獻(xiàn)[6]研究了方程的可解性.文獻(xiàn)[7-9]研究了方程φ(n)的可解性.文獻(xiàn)[10]研究了方程φ(n)=S(nk)或σ(2αq)/S(2αq)的可解性.文獻(xiàn)[11]研究了方程Zω(φ(n))=φ(Zω(n))和Zω(n)+φ(n)=2n的可解性等.論文將研究數(shù)論函數(shù)方程

(1)

的可解性，結(jié)合Zω(n)函數(shù)和S(n)函數(shù)的性質(zhì)，利用初等方法給出了方程(1)在一些情況下的解的情況.

1 引 理

S(n)=max{S(p1a1),S(p2a2),…,S(pkak)}.

引理3[13]對于素?cái)?shù)p和正整數(shù)k，有(p-1)k+1≤S(pk)≤kp；如果k

引理4[14]設(shè)a與m是整數(shù)，gcd(a,m)=1，則存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)p，滿足p≡a(modm).

2 定理及其證明

定理1當(dāng)n僅有一個(gè)素因子或無平方因子時(shí)，方程(1)無正整數(shù)解.

證明當(dāng)n僅有一素因子，設(shè)n=pa，a≥1，此時(shí)Zω(n)=p，而

有

此時(shí)方程(1)無解.

當(dāng)p1=2時(shí)，有

而Zω(n)≡0(mod2)，此時(shí)方程(1)無解.

當(dāng)p1≠2，k=2時(shí)，有

此時(shí)方程(1)無解.

當(dāng)p1≠2，k≥3時(shí)，有

此時(shí)方程(1)無解.

定理2當(dāng)n含有平方素因子且僅有兩個(gè)素因子時(shí)，方程(1)有無窮多組正整數(shù)解.

證明設(shè)n=paqb，(p,q)=1，p>q，則若q=2，即n=pa2b，b≥1，有

此時(shí)方程(1)無解.

若p≤a，則

即

此時(shí)方程(1)無解.

若n=pqb，q>b≥2，且S(n)=S(p)，則

方程(1)化為

即

(2)

當(dāng)b≡0(mod4)時(shí)，有

p(q-b-1)≡0(mod2)，

此時(shí)方程(1)無解.

當(dāng)b≡1(mod4)時(shí)，有

p(q-b-1)≡1(mod2)，

此時(shí)方程(1)無解.

當(dāng)b≡2(mod4)，b≡3(mod4)時(shí)，對b進(jìn)行討論：當(dāng)b=2時(shí)，方程(2)化為1+3q=p(q-3)，所以2≤q-3<3，易知此時(shí)方程(1)無解.當(dāng)b=3時(shí)，方程(2)化為1+6q=p(q-4)，所以1≤q-4<6，易知此時(shí)有p=31，q=5，經(jīng)檢驗(yàn)，n=31·53是方程(1)的解.

同理，對b≤100進(jìn)行計(jì)算檢驗(yàn)，得到方程(1)的解有：n=31·53，103·117，499·1914，1601·2923，23 311·3735，31 981·4139，32 713·6762，17 333·7162，9 643·7962，7 177·8963，90 703·7370，15 199·10983，340 693·8987，216 553·9794，75 161·10194，57 487·10394.

由引理5知滿足條件的素?cái)?shù)p有無窮多個(gè)，所以方程(1)有無窮多解.

若n=paq，p>a≥2，此時(shí)有S(n)=S(pa)，則

方程(1)化為1+q+pa(a+1)=pq，而1+q+pa(a+1)≡0(mod2)，pq≡1(mod2)，所以此時(shí)方程(1)無解.

若n=paqb，p>a，q>b≥2，t=max{a,b}，則

即

同理，有

即

所以，有

故方程(1)有解的必要條件之一是

綜上，定理2得證.

3 結(jié)束語