雙曲積分微分方程非常規(guī)Hermite型矩形元點(diǎn)態(tài)超收斂性分析及外推

穆靜靜，李 華，李 玲

(河南城建學(xué)院 數(shù)理學(xué)院， 建筑光伏一體化技術(shù)河南省工程實(shí)驗(yàn)室，河南 平頂山 467036)

考慮如下雙曲積分微分方程

(1)

其中：Ω?2為具有Lipschitz連續(xù)的有界多邊形區(qū)域，?Ω為Ω的邊界，T∈(0,∞)為一定值，X=(x,y),u0(X),u1(X)以及f(X,t)為已知光滑函數(shù).

雙曲積分微分方程有著較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景，其在核反應(yīng)動(dòng)力學(xué)、粘彈性力學(xué)、生物力學(xué)及具有記憶性質(zhì)材料的熱傳導(dǎo)問(wèn)題中有著重要的理論和應(yīng)用價(jià)值. 近年來(lái)，關(guān)于此類(lèi)方程的有限元研究已經(jīng)取得了一定的成果[1-6].文獻(xiàn)[2-3]分別研究了該方程在正則性網(wǎng)格和各向異性網(wǎng)格下的H1-Galerkin混合有限元方法，在不需要滿(mǎn)足離散的LBB(Ladyzenskaja-Babuska-Brezzi)條件下得到了與傳統(tǒng)混合元相同的誤差估計(jì).文獻(xiàn)[4]利用5節(jié)點(diǎn)元討論了該方程在各向異性網(wǎng)格下的非協(xié)調(diào)有限元方法，得到了與傳統(tǒng)有限元方法相同的最優(yōu)誤差估計(jì)以及超逼近和超收斂結(jié)果.文獻(xiàn)[5]將類(lèi)Wilson非協(xié)調(diào)元方法應(yīng)用于該方程，分析了半離散格式下的超逼近和超收斂結(jié)果，并構(gòu)造了一個(gè)新的外推格式，得到具有3階精度的外推解.文獻(xiàn)[6]在不借助廣義橢圓投影的情況下， 將各向異性三角形非協(xié)調(diào)類(lèi)Carey元應(yīng)用于該方程，得到了超逼近和超收斂結(jié)果.

超收斂性一直是有限元領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題，主要集中在有限元解本身的超收斂性和利用各種后處理技術(shù)獲得有限元近似的超收斂的研究. 前者是關(guān)于有限元解本身的天然超收斂性，而后者是經(jīng)過(guò)外推或?qū)?shù)恢復(fù)等技術(shù)使解具有超收斂性. 文獻(xiàn)[7]在各向異性網(wǎng)格下討論了Possion問(wèn)題非協(xié)調(diào)元EQrot的超逼近性質(zhì)，并利用插值后處理技術(shù)得到了整體超收斂性，同時(shí)證明了該元在單元中心點(diǎn)的超收斂性質(zhì).文獻(xiàn)[8]進(jìn)一步對(duì)EQrot元和帶約束的旋轉(zhuǎn)Q1非協(xié)調(diào)矩形元進(jìn)行研究，分別得到了兩元在單元頂點(diǎn)和邊中點(diǎn)的超收斂性質(zhì).文獻(xiàn)[9]在各向異性網(wǎng)格下討論了雙3次元Hermite的整體超收斂性以及在高斯點(diǎn)處的超收斂性.文獻(xiàn)[10]中首次提到了論文中的非常規(guī)的Hermite型矩形元，利用積分恒等式技巧推導(dǎo)得到了該元的高精度結(jié)果，同時(shí)利用該元的性質(zhì)對(duì)Possion方程進(jìn)行了有限元分析，得到了半離散格式下的超逼近和超收斂性質(zhì)，并做了外推分析，但未涉及點(diǎn)態(tài)超收斂性質(zhì)的研究. 論文以雙曲積分微分方程為研究對(duì)象，在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上充分利用單元構(gòu)造本身的特征和B-H引理，再次證明了該元的高精度結(jié)果,并結(jié)合導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移技巧和插值后處理技術(shù)，得到了H1模意義下的超逼近和整體超收斂性質(zhì),同時(shí)利用B-H引理對(duì)該元進(jìn)行了點(diǎn)態(tài)超收斂性分析， 這在以往文獻(xiàn)中還未見(jiàn)報(bào)道. 最后通過(guò)構(gòu)造合適的外推格式，得到了具有O(h4)階精度的外推解.

1 單元構(gòu)造及性質(zhì)

設(shè)Th為Ω的一族矩形剖分，滿(mǎn)足正則性及擬一致性假設(shè).K∈Th,其中點(diǎn)為(xK,yK)，頂點(diǎn)為ai,i=1,2,3,4,平行于x軸y軸的邊分別為l1,l3以及l(fā)2,l4,邊長(zhǎng)分別為2hKx,2hKy,hK=max{hKx,hKy},h=max{hK}.

計(jì)算可得

構(gòu)造有限元空間

其中：Ih為Vh上的插值算子，且滿(mǎn)足

引理1若u∈H4(Ω),v∈Vh,則((u-Ihu),v)=O(h3)‖u‖4‖v‖1,?v∈Vh.

易驗(yàn)證此時(shí)

注引理1的結(jié)論在文獻(xiàn)[10]中已被證明，其所采用的方法是積分恒等式技巧，并未考慮單元構(gòu)造本身的特征. 論文主要利用單元自身特征及B-H引理，證明方法與之不同.

2 半離散格式及超逼近分析

(2)

變分問(wèn)題(2)相應(yīng)的有限元逼近問(wèn)題為：求uh∈Vh，滿(mǎn)足

(3)

定理1設(shè)u和uh分別是 (2)和(3)的解，且u,ut∈H4(Ω),utt∈H3(Ω)，則有

(θtt,vh)+(θ,vh)+(θ(τ),vh)dτ=(ρtt,vh)+(ρ,vh)+(ρ(τ),vh)dτ.

(4)

在(4)中取vh=θt，并利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移技巧可得

上式兩邊從0到t積分，注意到θ(X,0)=θt(X,0)=0，有

2.創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)成為新的發(fā)展動(dòng)力，出現(xiàn)大量各類(lèi)知識(shí)密集型企業(yè)?；ヂ?lián)網(wǎng)金融和電子商務(wù)成為經(jīng)濟(jì)發(fā)展的新領(lǐng)域，高技術(shù)產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值、出口額大大超過(guò)了其他制造業(yè)；以知識(shí)密集型企業(yè)為標(biāo)識(shí)，像騰訊、華為、大疆無(wú)人機(jī)等高新技術(shù)技術(shù)企業(yè)脫穎而出，反映了企業(yè)發(fā)展的新動(dòng)向。

(5)

利用插值理論及引理1可得

(6)

(7)

(8)

(9)

將(6)～(9)式帶入(5)式， 并利用Young不等式,有

由Gronwall引理得

定理證畢.

類(lèi)似文獻(xiàn)[10]可證明如下整體超收斂結(jié)果.

定理2在定理1的條件下，有

3 點(diǎn)態(tài)超收斂性分析

(10)

證明由于

(11)

又

(12)

同理可證當(dāng)

由B-H引理可得

(13)

同理

(14)

將(13),(14)代入(12)中，有

下面估計(jì)N，由于

根據(jù)定理1，有

將N,M代入(11)式，即可得到(10)，定理證畢.

4 外 推

為了得到高階外推結(jié)果，引入文獻(xiàn)[11]中如下漸進(jìn)展開(kāi)式.

引理2[11]設(shè)u∈H4(Ω),?v∈Vh，有

定理4設(shè)u,utt∈H4(Ω)，則存在φh∈Vh，有

證明對(duì)?v∈Vh，由引理2和(4)式，有

(θtt,v)+(θ,v)+(θ(τ),v)dτ=(utt-Ihutt,vh)+

(15)

設(shè)φ為下列輔助問(wèn)題的解，滿(mǎn)足

(16)

(17)

其中

由Cauchy不等式和逆不等式可知

|g1(v)|≤ch‖utt‖3‖v‖1≤c‖utt‖3‖v‖0,

|g2(v)|≤ch‖u‖4‖v‖1≤c‖u‖4‖v‖0,

故

即g(·)是Vh上的有界線(xiàn)性泛函. 當(dāng)u,ut∈H5(Ω)，utt∈H4(Ω)，由微分方程的正則性知

‖φ‖3+‖φt‖2+‖φtt‖2≤c(‖u‖L∞(H5Ω)+‖ut‖L∞(H5Ω)+‖utt‖L∞(H4Ω)),

其中

變分問(wèn)題(17)的有限元逼近方程為：求φh∈Vh，滿(mǎn)足

(18)

由(15),(17)可知

(θtt,v)+(θ,v)+(θ(τ),v)dτ=h2(g,v)+O(h4)‖utt‖4‖v‖0.

結(jié)合(18)，有

(ξtt,ξt)+(ξ,ξt)+((ξ(τ)),ξt)dτ≤ch4‖utt‖4‖v‖0,

變形得

兩邊同時(shí)積分，注意到ξ(X,0)=0,ξt(X,0)=0，故有

利用Gronwall引理得

下面給出輔助問(wèn)題(16)解的誤差估計(jì).

定理5設(shè)φ,φh分別是(17)，(18)的解，φ,φt∈H3(Ω),φtt∈H2(Ω)，則

(19)

(20)

利用插值理論及Young不等式，對(duì)上式各項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)

(21)

(22)

(23)

(24)

將(21)～ (24)代入(20)，利用Gronwall引理得

定理證畢.

為了取得整體外推結(jié)果，可以采用文獻(xiàn)[10]中構(gòu)造的插值后處理算子∏4h，滿(mǎn)足性質(zhì)

∏4hIhω=∏4hω, ?ω∈H3(Ω),

‖∏4hω-ω‖1≤ch3‖ω‖4,?ω∈H5(Ω),

類(lèi)似文獻(xiàn)[11]中的討論，可得到如下外推結(jié)果.