具雙時(shí)滯和媒體影響的新冠肺炎模型的穩(wěn)定性

童姍姍，王國欣，竇霽虹

(1.南陽理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 南陽 473004；2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127)

2019年底爆發(fā)的新型冠狀病毒肺炎，傳染力強(qiáng)，傳播速度快，潛伏期長，給全球人類的經(jīng)濟(jì)和生活帶來了重大損失[1-2].抗擊新型肺炎疫情是一場(chǎng)絲毫不能松懈的持久戰(zhàn)，而利用動(dòng)力學(xué)方法來研究傳染病的防控是一種有效的方法[3]．

疫情傳播時(shí)，媒體報(bào)道可以提醒人們注意感染風(fēng)險(xiǎn)，減少感染疾病的機(jī)會(huì)，對(duì)疫情防控有著舉足輕重的作用．通過建立具有媒體影響的傳染病時(shí)滯模型能夠較大程度地刻畫媒體報(bào)道對(duì)疾病傳播的影響．近些年來，大量同時(shí)具有媒體影響和時(shí)滯的傳染病模型得到研究[4-12]．

時(shí)間的延遲存在于過程的各個(gè)環(huán)節(jié)，因此對(duì)于時(shí)滯傳染病模型，含有雙時(shí)滯的傳染病模型更加貼近實(shí)際情況[13-15].

在以上模型基礎(chǔ)上，針對(duì)新冠肺炎傳播規(guī)律及防控要點(diǎn)，考慮兩類易感類：受媒體影響易感類、不受媒體影響易感類，并考慮到經(jīng)過一段時(shí)間后，受媒體影響易感類會(huì)變?yōu)椴皇苊襟w影響易感類，這個(gè)變化的延遲性正是反映了媒體報(bào)道的影響力度，因此引入媒體影響退化時(shí)滯.另一方面考慮新冠肺炎有潛伏性，引入潛伏期時(shí)滯，綜上建立下面一類SIR(susceptible, infective, removed)傳染病模型，討論模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并以時(shí)滯為參數(shù)進(jìn)行Hopf分支分析.

(1)

其中：S1(t),S2(t),I(t),R(t)分別表示t時(shí)刻受媒體影響易感類、不受媒體影響易感類、感染類、恢復(fù)類的數(shù)目;α表示出生率;τ1,τ2≥0分別為媒體影響退化時(shí)滯、疾病潛伏時(shí)滯；1-e-d1τ1表示受媒體影響的概率；d1,d2分別表示受媒體影響易感類、不受媒體影響易感類的自然死亡率；k表示成年易感類的密度制約系數(shù)；β表示疾病的傳染率；ε表示感染類的因病死亡率；γ表示感染類的恢復(fù)率．

定義(極限系統(tǒng)) 設(shè)有非自治系統(tǒng)

(2)

與自治系統(tǒng)

(3)

且設(shè)解的存在唯一性條件滿足，解的存在區(qū)間為(a,+∞).若當(dāng)t→+∞時(shí)，對(duì)于?x∈D，f(t,x)一致趨向于g(x)，則稱系統(tǒng)(3)是(2)的極限系統(tǒng)．

1 平衡點(diǎn)分析

(1)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)(1)存在零平衡點(diǎn)E0(0,0,0,0)；

2 解的正性

定理1若系統(tǒng)(1)的初始函數(shù)滿足初始條件(H)，則系統(tǒng)(1)的任意解皆是嚴(yán)格正的．

證明將第一個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以ed1t，得到

即

(ed1tS1)'=αed1tS2-αe-d1(t-τ1)S2(t-τ1)，

得到

因此對(duì)任意的t>0，有解S1(t)>0．

設(shè)t0=inf{t>0,I(t0)S2(t0)=0}，先假設(shè)I(t0)=0，則有S2(t)≥0,t∈[0,t0]，若定義

再假設(shè)S2(t0)=0，則有I(t)≥0,t∈[0,t0]，定義

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支分析

定理2若R0<1，則零平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明由于獨(dú)立性，考慮子系統(tǒng)

(4)

令V(S2,I)=S2(t)+I(t)，則

由引理1，得

由定理1，得

定理3若R0>1且R1≤1，則無病平衡點(diǎn)E1全局漸近穩(wěn)定．

證明由系統(tǒng)(1)可得

由系統(tǒng)(1)可知

由引理3，得

綜上，無病平衡點(diǎn)E1全局漸近穩(wěn)定．

(λ+d1)(λ+d2)[λ2+p1λ+p0+(q1(τ1)λ+q0(τ1))e-λτ1+

(r1(τ1)λ+r0(τ1))e-λτ2+s0(τ1)e-λ(τ1+τ2)]=0，

(5)

其中：p1=a+b，p0=ab，q1(τ1)=-c，q0(τ1)=-ac，r1(τ1)=d-a，q1(τ1)=-c，r0(τ1)=a(d-b)，s0(τ1)=ac.

令τ2=0，(5)可記為

(λ+d1)(λ+d2)[λ2+(p1+r1(τ1))λ+p0+r0(τ1)+(q1(τ1)λ+q0(τ1)+s0(τ1))e-λτ1]=0.

首先易得λ1=-d1,λ2=-d2，下面考慮

λ2+(p1+r1(τ1))λ+p0+r0(τ1)+(q1(τ1)λ+q0(τ1)+s0(τ1))e-λτ1.

(6)

當(dāng)τ1=0時(shí)，方程(6)變?yōu)?/p>

λ2+C1λ+C2=0，

(7)

顯然方程(7)的兩根都具有負(fù)實(shí)部．下面考慮τ1>0時(shí)方程是否存在純虛根λ=iω(ω>0)，代入方程(6)中，分離實(shí)部與虛部，得到

(8)

(9)

首先易得λ1=-d1,λ2=-d2，下面考慮

(10)

假設(shè)λ=±iω(τ1)(ω>0)是方程(10)的根，代入(10)，分離實(shí)部虛部得到

其中

再由cos2ωτ2+sin2ωτ2=1得到

(11)

如果方程(11)有根，不妨設(shè)它有N個(gè)正根，記為ωi(i=1,2,…,N)，由(11)可解得

證明方程(10)兩邊關(guān)于τ2求導(dǎo)，得

故

于是

其中

4 結(jié)束語