李超代數(shù)Alg(K3,ω3)上的超雙導(dǎo)子及超交換映射

黃忠銑

(1.武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院,福建 武夷山 354300;2.福建省茶產(chǎn)業(yè)大數(shù)據(jù)應(yīng)用與智能化重點實驗室,福建 武夷山 354300)

設(shè)L是結(jié)合代數(shù),如果映射ψ:L→L滿足ψ(x)x=xψ(x),?x∈L,則稱ψ是交換映射.結(jié)合代數(shù)上的交換映射理論應(yīng)用于李代數(shù)[1-3]、李超代數(shù)[4-7]等許多領(lǐng)域,產(chǎn)生了許多有趣的課題.若李超代數(shù)L上的映射ψ:L→L滿足[ψ(x),x]=0,?x∈L,則稱映射ψ為李超代數(shù)L上的交換映射.李超代數(shù)上的交換映射分成標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)的[4-5].Xia等[4]證明了超Virasoro代數(shù)上的所有線性超交換映射是標(biāo)準(zhǔn)的.Cheng等[6]證明了超伽利略共形代數(shù)上存在非標(biāo)準(zhǔn)的線性超交換映射.

超雙導(dǎo)子是討論結(jié)合超代數(shù)及李超代數(shù)上交換映射的有效途徑[4-7].超雙導(dǎo)子有內(nèi)導(dǎo)子[4]和非內(nèi)導(dǎo)子[6].對于李超代數(shù)L中的齊次元x,y,注意到有|φ(x,y)|=|x|+|y|.

本文證明李超代數(shù)Alg(K3,ω3)上的超斜對稱超雙導(dǎo)子是內(nèi)導(dǎo)子.并且證明此代數(shù)上的線性超交換映射是標(biāo)準(zhǔn)的.

在本文中,Z表示整數(shù)集,C表示復(fù)數(shù)域,所有的模(向量空間)都定義在C上.

其中λ∈C.即Alg(K3,ω3)上的超斜對稱雙導(dǎo)子都是內(nèi)導(dǎo)子.

證明由以下8部分證明完成.

下面設(shè)m≠n,根據(jù)文[4]中推論2.2得

從而

依據(jù)文[4]中引理2.1,有

[φ(Lm,Ln),[Lk,L0]]=[[Lm,Ln],φ(Lk,L0)]

k∈Z

可得

可得

可得

所以有如下形式:

類似地,由

3) 欲證

[φ(Lm,Hn),[L1,L0]]=[[Lm,Hn],φ(L1,L0)]

得

得

類似地,由

得

由

得

綜上

5) 欲證

i=1,2,3

6) 欲證

得

同理,利用

利用

因此

首先考慮若i≠j,且i,j=1,2,3的情形.因為

所以可設(shè)

得

類似地,由

得

因此當(dāng)i≠j時,

i,j=1,2,3

下面考慮若i=j,且i=1,2,3的情形.因為

所以可設(shè)

得

i=1,2,3

下面設(shè)m≠n,由

從而

得

類似地,由

得

由

得

由

得

由

得

由

得

再考慮當(dāng)i=j的情形.設(shè)

下面設(shè)m≠n,由

從而

利用

得

所以

又由

得

φ:G×G→G,φ(x,y)→[ψ(x),y]x,y∈G

(1)

進(jìn)一步地,在式(1)中取x=Gr,由[ψ(Gr),Gr]=0,可得λ=0.從而命題得證.