基于頻率法的懸索橋錨跨索股索力精細(xì)化計(jì)算分析

齊東春，宋敬，劉章軍，胡海龍

(1.三峽大學(xué)土木與建筑學(xué)院, 湖北宜昌443002；2.湖北省防災(zāi)減災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北宜昌443002；3.武漢工程大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院, 湖北武漢430074)

0 引言

錨跨是懸索橋結(jié)構(gòu)受力的關(guān)鍵部位，錨跨索股索力的控制影響著懸索橋錨固體系的安全。在施工過(guò)程中，錨跨索股索力控制如果出現(xiàn)較大的偏差，會(huì)造成邊跨和錨跨索力的不平衡，從而引起散索鞍的轉(zhuǎn)動(dòng)或滑動(dòng)，同時(shí)索股也可能在鞍槽內(nèi)出現(xiàn)滑動(dòng)，進(jìn)而引起邊跨線形的改變。錨跨索股的控制精度影響著懸索橋結(jié)構(gòu)的線形和安全，因此需要對(duì)每根索股索力進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量及張拉控制。

目前錨跨索力現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試的主要方法包括油壓表法、壓力傳感器法和頻率法[1-2]。油壓表法雖然可以直接讀出索力，但是在分批次的錨跨索股索力調(diào)整過(guò)程中，后面批次的索股索力的調(diào)整會(huì)對(duì)前一批次索股的索力造成影響，造成油壓表所測(cè)得索力數(shù)據(jù)失效,因此，只有最后一根調(diào)整完成的索股的索力用油壓表直接讀出是有效的。壓力傳感器法測(cè)試精度高;但是其成本較高并且在施工過(guò)程中及施工完成后無(wú)法拆除，因此很難對(duì)全部的索股進(jìn)行布置并測(cè)試。頻率法因簡(jiǎn)單、快捷、經(jīng)濟(jì)和實(shí)用成為普遍采用的一種測(cè)試方法。通常先采用振動(dòng)法測(cè)試出索股的自振頻率，再利用索力與頻率之間的關(guān)系式，求得索力[3-6]。

大量學(xué)者對(duì)懸索橋錨跨索股的索力測(cè)試進(jìn)行了分析研究，許漢錚等[7]提出錨跨索股拉桿與聯(lián)接板處、索股與拉桿結(jié)合處、索股與散索鞍處為鉸接的錨跨索股的力學(xué)模型。甘泉等[8]用固支歐拉梁的振型函數(shù)近似兩端固結(jié)拉索的振型函數(shù)，采用能量法推導(dǎo)出拉索索力的計(jì)算公式。公式簡(jiǎn)單實(shí)用，方便現(xiàn)場(chǎng)快速測(cè)試索力，上述文獻(xiàn)均將錨跨索股當(dāng)作勻質(zhì)材料的索股，未按實(shí)際情況考慮拉桿的影響。范劍鋒等[9]考慮拉桿的抗彎剛度，通過(guò)Hamilton變分原理推導(dǎo)出懸索橋錨跨拉桿與索股組成的索梁組合結(jié)構(gòu)的索力修正算法。該方法考慮了拉桿的抗彎剛度影響,但忽略了索股抗彎剛度影響。艾玉麒等[10]考慮叉耳對(duì)吊桿振動(dòng)的影響，近似處理吊桿與叉耳部分的振型函數(shù)為同一振型函數(shù)，采用能量法推導(dǎo)出吊桿索力與自振頻率之間的顯式表達(dá)式;但該方法用于懸索橋錨跨索力計(jì)算時(shí)，由于懸索橋錨跨拉桿占總長(zhǎng)度比例較大，因此拉桿和索股不能近似處理為同一振型函數(shù)。文獻(xiàn)[11-12]基于解析法建立錨跨索股的力學(xué)模型，利用能量法進(jìn)行求解，得出索股索力與自振基頻的關(guān)系表達(dá)式，但是并沒(méi)有考慮拉桿和索股彎曲剛度的影響。

根據(jù)錨跨索股實(shí)際構(gòu)造特點(diǎn)建立解析法力學(xué)模型，索股和拉桿分別采用不同的歐拉梁的振型函數(shù)，考慮索股、拉桿抗彎剛度及錨頭質(zhì)量的影響，采用能量法推導(dǎo)出索力與頻率的顯式表達(dá)式。

1 錨跨索股計(jì)算模型

錨跨索股從散索鞍散開(kāi)后，其末端為一個(gè)起連接作用的錨頭，并通過(guò)螺母與拉桿的前端相連。拉桿的另一端穿過(guò)聯(lián)接板，通過(guò)螺母與聯(lián)接板相連，拉桿在聯(lián)接板內(nèi)存在一定的間隙，可以簡(jiǎn)化為鉸接。錨跨索股構(gòu)造如圖1所示。

1.索股；2.拉桿；3.鎖緊螺母；4.六角螺母；5.錨頭；6.拉桿；7.保護(hù)罩；8.聯(lián)接板；9.聯(lián)接筒；10.球面螺母；11.鎖緊螺母；12.前錨面 圖1 錨跨索股構(gòu)造 Fig.1 Structure diagram of anchor span cable strand

將錨跨結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化等效，簡(jiǎn)化模型如圖2所示。拉桿的長(zhǎng)度為l1，抗彎慣性矩為I1，彈性模量為E1，每延米質(zhì)量為m1。索股的長(zhǎng)度l2，抗彎慣性矩為I2，彈性模量為E2，每延米的質(zhì)量為m2，錨跨部分總長(zhǎng)度為l=l1+l2。索股錨頭質(zhì)量為m3，簡(jiǎn)化為一個(gè)集中質(zhì)量。

由于錨跨索股較短并且拉桿占總長(zhǎng)度比例較大，因此需要考慮拉桿長(zhǎng)度和錨頭質(zhì)量等因素對(duì)索力測(cè)試的影響。錨跨索股分析模型的基本假設(shè)如下:

①索的垂度忽略不計(jì)；

②索在微小振動(dòng)時(shí)，索力變化忽略不計(jì)；

③索僅發(fā)生豎向平面內(nèi)的振動(dòng)，忽略軸向位移的影響；

④拉桿下端、索股上端、拉桿與索股連接處均簡(jiǎn)化為鉸接。

1.1 振動(dòng)方程建立

根據(jù)上述假定，忽略垂度的影響，采用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基本原理分別對(duì)錨跨索股結(jié)構(gòu)部分的拉桿和索股建立自由振動(dòng)的微分方程[13]，

(1)

式中：y1和y2為拉桿和索股的豎向平面內(nèi)位移函數(shù)；T為拉索的索力。

由于上述2個(gè)方程結(jié)構(gòu)形式相同，因此選取第一個(gè)方程式進(jìn)行分析

(2)

假設(shè)方程的解為

y1(x,t)=φ1(x)·q1(t)，

(3)

式中：φ1(x)為振型函數(shù)；q1(t)為廣義坐標(biāo)。該方程的通解為

q1(t)=asin(υt+θ)，

(4)

φ1(x)=Ccosh (αx)+Dsinh (αx)+Hcos (βx)+Fsin (βx)，

(5)

其中：

式中：υ為結(jié)構(gòu)的自振圓頻率；θ為相位角；C、D、H、F為振型系數(shù)。

利用能量法推導(dǎo)索力和頻率的顯式表達(dá)式，需要求解出振型函數(shù)，但是上述方法對(duì)振型系數(shù)的求解過(guò)于復(fù)雜。因此，對(duì)拉桿和索股的振型函數(shù)采用忽略軸力的歐拉梁的振型函數(shù)進(jìn)行代替，上述振型函數(shù)可簡(jiǎn)化為

φ1(x)=C1cosh (α1x)+D1sinh (α1x)+H1cos (α1x)+F1sin (α1x)，

(6)

φ2(x)=C2cosh (α2x)+D2sinh (α2x)+H2cos (α2x)+F2sin (α2x)，

(7)

其中：

1.2 邊界條件

通過(guò)分析得到了拉桿和索股的振型函數(shù)方程，兩組方程含有C1、C2、D1、D2、H1、H2、F1、F2及υ1共9個(gè)未知系數(shù),需要根據(jù)模型的邊界條件進(jìn)行求解[14]。

①根據(jù)上述假定，拉桿下端為鉸接，則位移為0，彎矩為0，可得

其中：

C1+H1=0，

②索股上端在散索鞍切點(diǎn)處為鉸接，則位移為0，彎矩為0，可得

其中：

C2cosh (α2l)+D2sinh (α2l)+H2cos (α2l)+F2sin (α2l)=0，

③索股與拉桿連接處為鉸接，索股和拉桿在此處擁有共同的平動(dòng)位移，且剪力平衡，彎矩為0，可得

φ1(l1)=φ2(l1)，

E2I2φ?2(l1)-E1I1φ?1(l1)=0，

其中：

根據(jù)上述分析可以得到如下矩陣方程：

AB=0，

(8)

矩陣A的各元素如下：

其中：

因?yàn)檎裥秃瘮?shù)不能為0，因此振型系數(shù)矩陣B的每一項(xiàng)元素不全為0，則det|A|=0。又因?yàn)檎裥拖禂?shù)矩陣B的各元素之間具有一定的比例關(guān)系，并令C1=1，則可以得到振型系數(shù)矩陣B中的各元素表達(dá)式。

圖3 振型系數(shù)計(jì)算流程Fig.3 Flow chart of vibration mode coefficient calculation

其中：

C1=1，D1=-1，
H1=e-2α2l1·sin (α1l)/sin (α2l2)，
F1=-e-2α2l1·cos (α1l)/sin (α2l2)，
C2=0，D2=e-2α2l1/sinh (α1l1)，
H2=0，F(xiàn)2=e-2α2l1/sin (α1l1)。

由det|A|=0，可以得到關(guān)于υ1的超越方程，即

F(υ1)=0。

(9)

該方程為含有一個(gè)未知數(shù)υ1的超越函數(shù)，求解該超越函數(shù)，可以得到υ1的值，進(jìn)而得到振型系數(shù)矩陣B各元素的具體數(shù)值。最終確定拉桿和索股的振型函數(shù)，求解過(guò)程如圖3所示。

1.3 能量法

錨跨索股結(jié)構(gòu)振動(dòng)的動(dòng)能[15]為

(10)

將式(6)、(7)代入式(10)中，則錨跨索股結(jié)構(gòu)最大動(dòng)能為

錨跨索股結(jié)構(gòu)振動(dòng)的勢(shì)能為

(11)

將式(6)、(7)代入式(11)中，錨跨索股結(jié)構(gòu)最大勢(shì)能為

根據(jù)能量守恒定律，最大勢(shì)能等于最大動(dòng)能，即Vmax=Wmax，可以得到

(12)

經(jīng)轉(zhuǎn)化可以得到

(13)

其中：

2 算例驗(yàn)證

某主跨1 160 m的鋼箱梁懸索橋，主纜采用預(yù)制平行鋼絲索股法(PPWS)進(jìn)行架設(shè)。每根主纜由85股127絲和6股91絲索股組成，單絲為直徑6 mm的鍍鋅高強(qiáng)鋼絲。主纜錨固采用預(yù)應(yīng)力錨固系統(tǒng)，主纜索股在散索鞍散開(kāi)后，通過(guò)拉桿、錨固連接器連接到預(yù)應(yīng)力鋼絞線上，通過(guò)預(yù)應(yīng)力將索股拉力傳遞到錨體混凝土上。錨跨結(jié)構(gòu)示意圖如圖4所示。

圖4 錨跨結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Anchor span structure schematic diagram

選取其中幾根索股進(jìn)行測(cè)試，其中錨頭的質(zhì)量m3=394 kg。索股錨跨連接結(jié)構(gòu)各部分參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 錨跨索股結(jié)構(gòu)各部分參數(shù)Tab.1 Parameters of each part of anchor span cable strand structure

選取62號(hào)索股進(jìn)行分析，由式(8)計(jì)算可以得到α2l2=3.193，α1l1=0.276。代入式(13)可以得到如下索力計(jì)算公式，其中f為錨跨索股的自振基頻。

(14)

2.1 有限元模型

采用ANSYS建立考慮散索鞍影響的錨跨索股精細(xì)化有限元模型。為盡量減少簡(jiǎn)化，拉桿按雙拉桿考慮，并按拉桿實(shí)際截面考慮其抗彎剛度。索股按鋼絲集束體考慮其抗彎剛度，索股的抗彎剛度介于按鋼絲集束體完全分散和完全粘接2種情況計(jì)算所得的剛度。拉桿及索股均采用BEAM4單元模擬，并通過(guò)初應(yīng)變來(lái)輸入拉桿及索股中存在的索力。索股與拉桿間通過(guò)錨頭相連，錨頭按其等效面積采用BEAM4單元模擬，通過(guò)調(diào)整質(zhì)量密度保證錨頭質(zhì)量的準(zhǔn)確性。拉桿下端采用鉸接，拉桿上端與錨頭間通過(guò)節(jié)點(diǎn)自由度的耦合與釋放實(shí)現(xiàn)固結(jié)與鉸接的轉(zhuǎn)換，索股下端與錨頭間則采用固結(jié)。

為了準(zhǔn)確考慮散索鞍對(duì)索股的約束關(guān)系，沿鞍座圓弧劃分若干節(jié)點(diǎn)以模擬鞍座圓曲線，并將索股與鞍座可能相切的位置細(xì)分，各節(jié)點(diǎn)與鞍座圓心用剛度較大的單向只受壓桿LINK10單元相連。鞍座圓弧上相鄰兩節(jié)點(diǎn)則采用BEAM4單元連接，以模擬與鞍座相接觸部分的索股[17]。鞍座最上端點(diǎn)及鞍座圓心均采用固結(jié)。在計(jì)算索股與鞍座切點(diǎn)位置時(shí)，索股下端點(diǎn)到鞍座最上端點(diǎn)間索股的總無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度保持不變，與成橋時(shí)索股無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度相等，關(guān)于成橋狀態(tài)錨跨索股無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度的計(jì)算可參考文獻(xiàn)[17]。在有限元求解時(shí)，根據(jù)懸空段索股與接觸段索股總的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度保持不變這一條件，當(dāng)模擬鞍座的某些只受壓桿單元出現(xiàn)拉力時(shí)便退出工作，相當(dāng)于索股與鞍座脫離，這樣便模擬了索股與鞍座切點(diǎn)位置的變化。

圖5 有限元模型AFig.5 Finite element model A

由于索股處于張緊狀態(tài)，因此應(yīng)采用大變形有應(yīng)力模態(tài)法計(jì)算結(jié)構(gòu)的頻率，以考慮結(jié)構(gòu)的幾何剛度的影響。首先對(duì)結(jié)構(gòu)施加自重進(jìn)行靜力計(jì)算，并打開(kāi)幾何非線性開(kāi)關(guān)及應(yīng)力剛化效應(yīng)，以獲得結(jié)構(gòu)在自重及指定索力下的結(jié)構(gòu)狀態(tài)，并得到索股與鞍座的切點(diǎn)坐標(biāo)。在此基礎(chǔ)上修正節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)以得到正確的應(yīng)力，同時(shí)將位移清零。然后定義模態(tài)分析參數(shù)及選項(xiàng)進(jìn)行特征值求解，計(jì)算出指定索力對(duì)應(yīng)的頻率和振型。為了進(jìn)行對(duì)比分析，把考慮散索鞍影響的模型稱(chēng)為有限元模型A，把不考慮散索鞍影響的模型(即索股與散索鞍處采用鉸接)稱(chēng)為限元模型B。有限元模型各參數(shù)的取值見(jiàn)表1，有限元模型A如圖5所示。

2.2 對(duì)比分析

錨跨索股索力通過(guò)布置在拉桿上的壓力傳感器進(jìn)行測(cè)試，頻率的測(cè)試采用索力動(dòng)測(cè)儀進(jìn)行測(cè)試。選取上述每根索股的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，實(shí)測(cè)頻率和對(duì)應(yīng)壓力環(huán)實(shí)測(cè)索力關(guān)系如圖6所示。

圖6 索力-頻率對(duì)應(yīng)圖Fig.6 Cable force-frequency correspondence graph

為了驗(yàn)證本文計(jì)算模型和方法的正確性，通過(guò)本文推導(dǎo)的公式(14)、有限元模型計(jì)算差異及文獻(xiàn)[16]中公式計(jì)算所得索力同壓力傳感器實(shí)測(cè)索力進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析見(jiàn)表2。

表2 計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析Tab.2 Comparative analysis of calculation results

根據(jù)表2可知，采用文獻(xiàn)[16]中公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，計(jì)算結(jié)果比本文公式計(jì)算結(jié)果誤差偏大，文獻(xiàn)[16]中公式僅考慮了索股抗彎剛度的影響，并不能考慮拉桿部分的影響。本文公式(14)計(jì)算結(jié)果與壓力傳感器實(shí)測(cè)結(jié)果及有限元模型A計(jì)算結(jié)果吻合，且誤差的變化規(guī)律相一致。公式計(jì)算的結(jié)果與實(shí)測(cè)索力的結(jié)果誤差不超過(guò)2%。說(shuō)明本所文采用的模型及計(jì)算方法接近實(shí)際情況，計(jì)算結(jié)果較為接近實(shí)測(cè)索力，精度滿足一定的要求。

通過(guò)對(duì)有限元模型A和有限元模型B進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，有限元模型A計(jì)算精度較有限元模型B得到提高，原因是有限元模型A模擬了索股切點(diǎn)在散索鞍鞍座圓弧處位置的變化，更加符合實(shí)際情況，因此有限元模型A的計(jì)算精度更高。

2.3 索股抗彎剛度及錨頭質(zhì)量的影響

為了研究索股抗彎剛度對(duì)索股索力測(cè)試的影響，選取51號(hào)索股進(jìn)行分析，索股抗彎剛度分別取最大值(即與鋼絲面積等效的圓鋼棒的抗彎剛度)、最小值(即所有鋼絲抗彎剛度之和)及中間值，分別為199.79、1.57、100.78 kN·m2。

通過(guò)本文公式(14)進(jìn)行計(jì)算分析，在相同頻率下，不同抗彎剛度下索力計(jì)算值見(jiàn)表3。

表3 不同抗彎剛度下索力計(jì)算值Tab.3 Calculated cable force under different bending stiffness

由表3可知，在同一頻率下，索力隨著抗彎剛度的增加而減小，基本呈線性變化。頻率取9.284 Hz，對(duì)比3組不同抗彎剛度下的索力變化可知，公式(14)計(jì)算索力隨著抗彎剛度的增加遞減幅度為0.35%?？箯潉偠葘?duì)索力的影響隨著索股索力的增大而逐漸減少。

為了研究錨頭質(zhì)量對(duì)索股測(cè)試的影響，選取51號(hào)索股進(jìn)行分析，采用公式(14)進(jìn)行計(jì)算，錨頭質(zhì)量對(duì)索力計(jì)算影響見(jiàn)表4。計(jì)算結(jié)果表明：不考慮錨頭質(zhì)量時(shí)索力計(jì)算的結(jié)果較考慮錨頭質(zhì)量時(shí)索力計(jì)算結(jié)果相對(duì)減少約為2.3%，說(shuō)明錨頭對(duì)實(shí)測(cè)索力有一定影響，計(jì)算應(yīng)加以考慮。

表4 錨頭質(zhì)量對(duì)索力計(jì)算影響Tab.4 Influence of anchor head quality on cable force calculation

3 結(jié)語(yǔ)

①本文提出的公式適用于懸索橋錨跨索股采用預(yù)應(yīng)力錨固的情況，公式的解析模型與錨跨索股實(shí)際構(gòu)造相符，并能詳細(xì)考慮拉桿及索股抗彎剛度、錨頭質(zhì)量的影響。

②與有限元模型計(jì)算結(jié)果、壓力環(huán)實(shí)測(cè)索力對(duì)比，本文提出的公式計(jì)算精度高，誤差在2%以?xún)?nèi)，且變化規(guī)律一致。

③文中部分索股的計(jì)算結(jié)果表明：索股抗彎剛度對(duì)實(shí)測(cè)頻率的影響不大，抗彎剛度取最大值與最小值時(shí)索股索力的差異約為0.7%，但在索股索力較小時(shí)抗彎剛度的影響會(huì)增大。索股錨頭質(zhì)量對(duì)實(shí)測(cè)索力影響較大，約為2.3%，計(jì)算中應(yīng)加以考慮。

④索股為鋼絲集束體，其抗彎剛度的確定較為困難，在應(yīng)用本文公式時(shí)應(yīng)先對(duì)索股抗彎剛度進(jìn)行識(shí)別，特別是空纜狀態(tài)時(shí)索股索力的測(cè)試應(yīng)考慮索股抗彎剛度的影響。

⑤本文在公式推導(dǎo)時(shí)將索股上端假定為鉸接，而實(shí)際上索股與散索鞍存在接觸非線性，有限元計(jì)算結(jié)果顯示邊界條件對(duì)索股索力有一定影響，因此邊界條件的影響有待進(jìn)一步研究。