淺談如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力

佘勤

摘要：義務(wù)教育階段的小學(xué)數(shù)學(xué)日常教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要注重幫助學(xué)生提升畫(huà)圖能力，主要體現(xiàn)在會(huì)用圖形工具，加深對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解，善于圖形變換，感受畫(huà)圖的價(jià)值，讓學(xué)生逐步養(yǎng)成畫(huà)圖的好習(xí)慣，從而切實(shí)提高學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的能力，更加符合新課標(biāo)倡導(dǎo)的教學(xué)要求。

關(guān)鍵詞：畫(huà)圖數(shù)學(xué)課堂教學(xué)數(shù)形結(jié)合

引言

“數(shù)學(xué)是對(duì)于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐步形成的科學(xué)語(yǔ)言與工具?！边@就決定了數(shù)學(xué)知識(shí)相較于其他學(xué)科知識(shí)來(lái)說(shuō)，更具有抽象性、概括性和基礎(chǔ)性。這樣的特性，使數(shù)學(xué)知識(shí)、概念理解起來(lái)沒(méi)有那么直觀，問(wèn)題解決起來(lái)稍顯復(fù)雜。對(duì)于義務(wù)教育階段的小學(xué)學(xué)生來(lái)說(shuō)，其生理和心理特點(diǎn)都決定了他們更善于具體的形象思維的思考過(guò)程。如何能將數(shù)學(xué)知識(shí)和概念的理解轉(zhuǎn)變得更加直觀形象、數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析轉(zhuǎn)化得更加簡(jiǎn)單清晰、數(shù)學(xué)的思維更加易于發(fā)生？數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的“幾何直觀”概念，說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合是解決這些問(wèn)題的有效途徑，也是不可或缺的手段。下面我將從畫(huà)圖和圖形兩個(gè)角度來(lái)闡述我的觀點(diǎn)。

一、把握基礎(chǔ)會(huì)用基本圖形工具

20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特在《幾何直觀》中說(shuō)過(guò)：“圖形可以幫助我們尋求解決問(wèn)題的思路?！痹诹x務(wù)教育階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，很多時(shí)候都要用到基本的圖形工具，例如，數(shù)軸、方格紙、直角坐標(biāo)等。在我們平時(shí)的教學(xué)中，要注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)基本圖形工具的運(yùn)用，要利用多種途徑讓學(xué)生運(yùn)用這些基本圖形工具去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)軸這一基本圖形工具，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，它可以很好地幫助學(xué)生理解數(shù)與數(shù)之間的直接的大小關(guān)系。例如，按從小到大的順序排列下面各數(shù)：1.1、4/3、-2、0。學(xué)生讀完題目后會(huì)覺(jué)得這個(gè)題目中既有小數(shù)，又有分?jǐn)?shù)，還有負(fù)數(shù)，比較起來(lái)需要注意的地方很多。因此，可以結(jié)合數(shù)軸來(lái)比較：首先數(shù)軸是以0為參照點(diǎn)的，所有的負(fù)數(shù)都在0的左邊，正數(shù)在0的右邊。而數(shù)軸上的數(shù)越往左越小，越往右就越大，因此可以確定-2<0，1.1和4/3大于0，接下來(lái)只要考慮1.1和4/3的位置，因?yàn)?.1在4/3的左邊，所以-2<0<1.1<4/3。這只是學(xué)生借助數(shù)軸的思考過(guò)程，如果能夠把數(shù)軸這一基本圖形中的每個(gè)數(shù)標(biāo)出來(lái)，這個(gè)問(wèn)題解決起來(lái)會(huì)更快，如圖1所示。

方格紙?jiān)谡J(rèn)識(shí)圖形時(shí)是不可或缺的工具，認(rèn)識(shí)圖形的周長(zhǎng)和面積都離不開(kāi)方格紙。例如，三角形的面積公式的推導(dǎo)，正是借助方格紙讓學(xué)生直觀看出，兩個(gè)完全一樣的三角形所拼成的平行四邊形，與原來(lái)的三角形是等底等高的，從而幫助學(xué)生理解三角形面積公式。直角坐標(biāo)系在小學(xué)階段用到得不多，不過(guò)還是可以找到相對(duì)應(yīng)的內(nèi)容有：用數(shù)對(duì)確定位置和用方向與距離確定位置，它是后續(xù)的解決函數(shù)問(wèn)題的重要工具。因此，我們?cè)谡n堂教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生掌握基本的圖形工具，并會(huì)用這些基本工具解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、運(yùn)用畫(huà)圖加深數(shù)形結(jié)合的理解

數(shù)學(xué)家笛卡爾曾說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有任何東西比幾何圖形更容易印入腦海的了?！碑?huà)圖不僅可以使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀、簡(jiǎn)單，更重要的是，可以讓數(shù)學(xué)中的虛無(wú)縹緲的數(shù)具體起來(lái)，從而幫助學(xué)生理解數(shù)的意義，這就是數(shù)形結(jié)合。在學(xué)生剛剛接觸到數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)，數(shù)形結(jié)合便如影隨形。從一年級(jí)認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)時(shí)，學(xué)生通過(guò)數(shù)不同物體的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)不同物體的數(shù)量相同，然后讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)出和物體數(shù)量相同的圓，逐步抽象成可以用同一個(gè)數(shù)字來(lái)表示。再到學(xué)生認(rèn)識(shí)20以內(nèi)的數(shù)11時(shí)，通過(guò)把10個(gè)物體圈在一起，學(xué)生就在這個(gè)圈一圈的動(dòng)作中，體會(huì)并理解十位上的1和個(gè)位上的1表示的含義是不一樣的。后面認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)都是采用數(shù)形結(jié)合的方式去認(rèn)識(shí)和理解數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展的。

數(shù)與形的結(jié)合的意義遠(yuǎn)不止于幫助學(xué)生理解數(shù)的意義，更在于對(duì)所學(xué)知識(shí)和已掌握技能的融會(huì)貫通。這主要體現(xiàn)在學(xué)生看到圖形想到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)，推理出了什么樣的數(shù)學(xué)結(jié)論。例如，一列從上海開(kāi)往南京的動(dòng)車（不返回），沿途分別設(shè)有蘇州、無(wú)錫、常州三站，這列列車一共要準(zhǔn)備多少種不同的車票？解決這個(gè)問(wèn)題很多學(xué)生第一個(gè)想到的方法就是一一列舉，上海到蘇州、上海到無(wú)錫……這個(gè)方法是能夠解決這個(gè)問(wèn)題，但如果再增加一個(gè)站點(diǎn)，要增加幾種車票，學(xué)生推理起來(lái)就會(huì)覺(jué)得吃力。如果借助畫(huà)圖來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，情況就會(huì)大不相同。把每個(gè)車站抽象成一個(gè)點(diǎn)，上海站和南京站之間可以用一條線段來(lái)表示，如圖2所示。

這樣借助這條線段圖就能很直觀地看出從上海開(kāi)往南京的火車票的種類，用一道算式就可以解決：4+3+2+1=10（種）。學(xué)生通過(guò)對(duì)圖形和算式直觀的比較分析，很容易得到再增加一個(gè)站點(diǎn)，車票的種類數(shù)量只要再加上5種即可。甚至于推想出一共有n個(gè)站點(diǎn)的話，便會(huì)有“（n-1）+（n-2）+……+5+4+3+2+1”種不同的車票。由此可以看出，運(yùn)用畫(huà)圖的方式還可以使形和數(shù)的運(yùn)算結(jié)合起來(lái)，這是更深層次的數(shù)形結(jié)合。數(shù)與形的結(jié)合可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題剖析得更加直觀形象，更有助于學(xué)生思考和推理。

三、注重變換讓圖形動(dòng)起來(lái)

圖形可以說(shuō)是現(xiàn)實(shí)世界在數(shù)學(xué)中的模型，人們可以通過(guò)研究圖形進(jìn)而去認(rèn)識(shí)世界。很多現(xiàn)實(shí)世界的物體在刻畫(huà)成幾何圖形時(shí)，并非都是平面的圖形，更多是立體的幾何圖形，要認(rèn)識(shí)和了解它們，通常就要用到圖形的變換。數(shù)學(xué)中的圖形變換主要是利用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱三種方法使圖形在腦海中動(dòng)起來(lái)，從而使學(xué)生能夠更透徹地認(rèn)識(shí)、理解和記憶圖形的基本性質(zhì)。例如，在六年級(jí)學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體時(shí)，通過(guò)研究它們的平面展開(kāi)圖去進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)其基本性質(zhì)的理解。在研究平面展開(kāi)圖的過(guò)程中，就是讓孩子利用旋轉(zhuǎn)使圖形動(dòng)起來(lái)，進(jìn)而進(jìn)一步體會(huì)和感悟到長(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面相同，正方形六個(gè)面都是同樣大的正方形等基本性質(zhì)。圖形的變換在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)著舉足輕重的地位，它既是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要的方法，也是學(xué)生進(jìn)行思考的一種基本的途徑。在研究圓柱體積時(shí)，讓學(xué)生把一張長(zhǎng)方形的紙以長(zhǎng)為固定軸旋轉(zhuǎn)一周，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生動(dòng)手旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)方形是無(wú)法直接看到一個(gè)圓柱的，只有讓長(zhǎng)方形在腦海里動(dòng)起來(lái)，從而想象出一個(gè)圓柱來(lái)。學(xué)生通過(guò)想象和思考，易于弄清這個(gè)長(zhǎng)方形和旋轉(zhuǎn)得到的圓柱之間的關(guān)系，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是這個(gè)圓柱的高，寬是它的底面半徑。很顯然，圖形的變換在這個(gè)過(guò)程起到了決定性的作用，由基本的平面圖形變換到立體圖形，加深了學(xué)生對(duì)圖形以及它們之間聯(lián)系的認(rèn)識(shí)和了解，也發(fā)展了學(xué)生的空間觀念和思考能力。0D652B42-827B-41D2-B201-DEBB6A426068

四、善用典型感受畫(huà)圖的價(jià)值

在小學(xué)階段用畫(huà)圖解決問(wèn)題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是最常用、最重要的方法，它還具備易操作性，只要有簡(jiǎn)單的文具就可以完成。小學(xué)階段的孩子正處于具體的形象思維發(fā)達(dá)，而抽象概括能力不足的階段。畫(huà)圖能把抽象的內(nèi)容用不同的圖形表示出來(lái)，使之變得直觀、形象，容易讓學(xué)生理解、接受，從而幫助他們解決復(fù)雜的問(wèn)題。畫(huà)圖是一種便利的解決問(wèn)題的策略，要想讓學(xué)生能夠主動(dòng)地使用畫(huà)圖的策略，首先要讓他們感受到用畫(huà)圖方法解決問(wèn)題的價(jià)值。教師要善于抓住時(shí)機(jī)，通過(guò)各種方法使學(xué)生切身體會(huì)到畫(huà)圖的價(jià)值。例如，二年級(jí)的題目：一只螞蟻先向東爬5分米，再向西爬4分米;又向東爬7分米，向西爬3分米，然后停下來(lái)，這時(shí)螞蟻停在起點(diǎn)的東面還是西面？離起點(diǎn)幾分米？題中的已知條件比較多，而且涉及方向的改變，如果讓學(xué)生直接回答會(huì)比較困難。這時(shí)讓孩子動(dòng)筆畫(huà)一畫(huà)，先確定起點(diǎn)，再按照題中螞蟻每次爬行的方向和長(zhǎng)度，標(biāo)清每一次的位置。很快便能解決問(wèn)題——螞蟻停在起點(diǎn)的東面，離起點(diǎn)5分米。這樣的已知條件多且雜的典型題目，是最容易讓學(xué)生感受到畫(huà)圖帶來(lái)的好處的，從而體會(huì)到在解決問(wèn)題時(shí)畫(huà)圖的價(jià)值。

五、因時(shí)施宜逐步養(yǎng)成習(xí)慣

在教學(xué)中，要注意根據(jù)不同年齡層次孩子思維的發(fā)展水平，設(shè)計(jì)不同的畫(huà)圖方法，使他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題中真正感受到畫(huà)圖對(duì)理解數(shù)學(xué)內(nèi)容、尋求解題思路時(shí)所帶來(lái)的便捷。因此，培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)圖的習(xí)慣也就至關(guān)重要，教師從一開(kāi)始，就要有意識(shí)地加以引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)圖的習(xí)慣。畫(huà)圖的能力不是一朝一夕就可以習(xí)得的，需要教師在日常教學(xué)中運(yùn)用多種途徑和方法，促使學(xué)生不斷地、逐步地養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣。在一、二年級(jí)時(shí)，可以讓學(xué)生用不同的圖畫(huà)來(lái)表示題目的意思，不一定要畫(huà)線段圖，可以是圓、三角形、示意圖等。例如，有一隊(duì)小朋友，從前往后數(shù)小明排在第4個(gè)，小紅排在第8個(gè)，小明和小紅之間有幾個(gè)小朋友？這樣的題目如果讓一年級(jí)孩子直接思考出答案是有一定難度的，老師可以引導(dǎo)孩子動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)。可能有的孩子會(huì)畫(huà)小人圖，有的孩子會(huì)用圓來(lái)代替小朋友，這都是可以的。只要他們能用圖畫(huà)表示出小明和小紅的相對(duì)位置就是可以的。當(dāng)孩子們畫(huà)出示意圖時(shí)，只要數(shù)一數(shù)便能解決這個(gè)問(wèn)題了。在剛剛開(kāi)始系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生就已經(jīng)感受到用畫(huà)圖的方法解決問(wèn)題的好處，為他們養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣奠定了基礎(chǔ)。隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)，到了中高年級(jí)，對(duì)于他們的畫(huà)圖就要提高要求——會(huì)用線段表示出不同的數(shù)量關(guān)系，所畫(huà)的線段的長(zhǎng)度要與已知條件之間的關(guān)系相匹配等。例如，五年級(jí)兩個(gè)班參加植樹(shù)活動(dòng)，一共植樹(shù)102棵，已知二班植樹(shù)的棵數(shù)是一班的2倍還多6棵，一班植樹(shù)多少棵？這一題在不畫(huà)圖的情況下直接列式解答，學(xué)生很容易出錯(cuò)。教師可以在學(xué)生出錯(cuò)的情況下，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用畫(huà)圖的方法。但這時(shí)的畫(huà)圖就要提高對(duì)學(xué)生的要求，先要讓學(xué)生弄清先畫(huà)一班的比較方便，再使其明白用線段表示二班的植樹(shù)數(shù)量時(shí)，線段的長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)是一班的線段長(zhǎng)度的2倍多一些，畫(huà)得過(guò)長(zhǎng)或過(guò)短都不利于問(wèn)題的解決。把線段圖畫(huà)準(zhǔn)確后，除了二班多出來(lái)的6棵，剩下的三份是一樣的，這樣只要用“102-6”再除以3，問(wèn)題就迎刃而解了。任何習(xí)慣的養(yǎng)成都是需要時(shí)間的累積的，要想幫助學(xué)生養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣，是需要教師在日常的教學(xué)中，不斷引導(dǎo)、適時(shí)點(diǎn)撥、長(zhǎng)期堅(jiān)持的。學(xué)生養(yǎng)成了畫(huà)圖的習(xí)慣后，就可以借助畫(huà)圖來(lái)分析數(shù)量關(guān)系，從而獲得獨(dú)立解決較難問(wèn)題的能力。因此，培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)圖習(xí)慣，應(yīng)該作為平時(shí)的教學(xué)目標(biāo)來(lái)實(shí)行。

義務(wù)教育階段的小學(xué)數(shù)學(xué)中，存在著許多重要的內(nèi)容、概念的本質(zhì)特征都與數(shù)和形相關(guān)，如分?jǐn)?shù)、速度問(wèn)題等，能從數(shù)和形這兩個(gè)角度去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)至關(guān)重要。“數(shù)形結(jié)合”可以說(shuō)是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的基本方法、基本要求，而“畫(huà)圖”是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的主要方法。在日常的教學(xué)中，尤其是課堂教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用基本的圖形工具，知道在什么時(shí)候要使用基本的圖形工具;要抓住時(shí)機(jī)，抓住典型題型，讓學(xué)生在借助圖形理解數(shù)學(xué)的同時(shí)感受畫(huà)圖的價(jià)值;要時(shí)刻注重學(xué)生培養(yǎng)畫(huà)圖的習(xí)慣，幫助他們最終形成用畫(huà)圖解決問(wèn)題的能力。

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責(zé)任編輯：黃大燦0D652B42-827B-41D2-B201-DEBB6A426068