“數(shù)形結(jié)合”提升初中學(xué)生的高階思維能力

姚明嘉

“數(shù)形結(jié)合”是重要的數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生分析問題、解決問題的重要抓手。在教學(xué)的過程中，教師要培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的思想，進(jìn)而提升他們的思維能力，尤其是高階思維能力。也就是說借助“數(shù)形結(jié)合”的思想，進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生思維的參與，進(jìn)而進(jìn)一步提升他們思維的品質(zhì)。數(shù)學(xué)是思維的體操，“數(shù)形結(jié)合”能讓這段“體操”呈現(xiàn)“優(yōu)美的舞姿”。

一、以“數(shù)形結(jié)合”培養(yǎng)分析性思維能力

“數(shù)形結(jié)合”就是將數(shù)與形融合起來，以讓兩者順利地轉(zhuǎn)化，進(jìn)而促成問題的解決。在“數(shù)形結(jié)合”中，學(xué)生首先要對“數(shù)”進(jìn)行精準(zhǔn)刻畫，其次以“形”的方式直觀、形象地展現(xiàn)出來。換言之，在解題的過程中，學(xué)生利用數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)兩者間的靈活轉(zhuǎn)化，進(jìn)而提升解決問題的能力。在指導(dǎo)“數(shù)形結(jié)合”時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生去分析、評(píng)價(jià)、綜合，進(jìn)而培養(yǎng)他們的分析性思維能力、實(shí)踐性思維能力和創(chuàng)造性思維能力等高階思維能力，同時(shí)也借助思維能力的發(fā)展使“數(shù)形結(jié)合”得以實(shí)現(xiàn)。對于“數(shù)形結(jié)合”思想的運(yùn)用，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生分析題目，要從題目中找尋有關(guān)數(shù)與形轉(zhuǎn)化的信息。也就是在運(yùn)用這一思想時(shí)，教師要培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，要讓他們從中找到數(shù)形結(jié)合的點(diǎn)，找到結(jié)合的條件。要形成一定的分析能力，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)讀題，就

是要讀懂已知條件，即要能將已知條件中涉及“數(shù)”的往“形”上去轉(zhuǎn)化;將涉及“形”的往“數(shù)”上去轉(zhuǎn)化。其次要能讀懂結(jié)論，要能讀懂這樣的結(jié)論通常要運(yùn)用怎樣的方法解決，在該題中與條件相對接，有沒有更好的解決方法。再次要形成一定的分析能力，學(xué)生就要將遇到的題目放到一類題目中去比較，既要發(fā)現(xiàn)題目的一般性，也要發(fā)現(xiàn)題目的獨(dú)特性。

二、以“數(shù)形結(jié)合”培養(yǎng)想象性思維能力

初中數(shù)學(xué)以抽象思維為主，這也是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。許多學(xué)生數(shù)學(xué)能力不強(qiáng)，其中一個(gè)主要的原因就是缺乏抽象思維能力。其實(shí)初中學(xué)生的抽象能力盡管在多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得了發(fā)展，但是他們還是以形象思維為主，他們思考問題還是以形象思維見長。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教師就要順應(yīng)學(xué)生的這一特點(diǎn)，將抽象思維轉(zhuǎn)為形象思維，進(jìn)一步促進(jìn)他們形象思維的發(fā)展?！皵?shù)形結(jié)合”思想的運(yùn)用能很好地促進(jìn)學(xué)生思維的轉(zhuǎn)化，他們可有效地將抽象的“數(shù)”以具體、形象、生動(dòng)的“形”展示出來。有了“形”，學(xué)生的形象思維就有了著力點(diǎn)，思維的火花就容易迸發(fā)出來。對著“形”，學(xué)生更容易將條件運(yùn)用起來，更容易將新舊認(rèn)知結(jié)合起來，也更容易發(fā)現(xiàn)條件與結(jié)論之間過渡的具體的圖形。

三、以“數(shù)形結(jié)合”培養(yǎng)實(shí)踐性思維能力

“數(shù)形結(jié)合”思想的運(yùn)用也能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐性思維能力。實(shí)踐性思維在本質(zhì)上是“抽象思維”與“操作思維”相結(jié)合的產(chǎn)物，它要求學(xué)生既要在具體的細(xì)節(jié)中思考，又需要跳出細(xì)節(jié)進(jìn)行相應(yīng)的理性思考。換言之，實(shí)踐思維就是學(xué)生在原先操作基礎(chǔ)上的新的提升，進(jìn)而以理性的方式表達(dá)出來。數(shù)與形的結(jié)合其實(shí)就是學(xué)生展開的一次操作活動(dòng)，是學(xué)生將題目中的“數(shù)”以“形”的形式呈現(xiàn)出來，這個(gè)操作過程就是將抽象數(shù)字轉(zhuǎn)為具象圖形。接著學(xué)生再由具象的圖形進(jìn)行一些結(jié)論性的思考。在思考中學(xué)生充分運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想，又充分迸發(fā)實(shí)踐性思維。

以下題為例，若設(shè)張同學(xué)每月的家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間為x小時(shí)，該月可得（即下月他可獲得）的總費(fèi)為y元，則

y（元）和x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖2所示。

教師先是讓學(xué)生也將這樣的圖形畫出來，以讓他們體驗(yàn)一下x與y之間的關(guān)系。接著教師讓學(xué)生通過觀察這個(gè)圖象提一些問題，也就是說，要培養(yǎng)他們的數(shù)形結(jié)合能力和基本的讀圖能力，這里教師先是培養(yǎng)他們借助圖形發(fā)現(xiàn)問題的能力。學(xué)生先問出這樣的問題：根據(jù)圖象能不能看出張同學(xué)每月的基本生活費(fèi)？根據(jù)圖象的變化能不能看出她的父母是如何獎(jiǎng)勵(lì)小強(qiáng)勞動(dòng)的？學(xué)生由y表示的含義，再從具體的圖象中很清晰地看出張同學(xué)每月的基本生活費(fèi)為150元。同時(shí)他們將目光轉(zhuǎn)移到x軸上，他們發(fā)現(xiàn)如果張同學(xué)每月做家務(wù)的時(shí)間不超過20小時(shí)，每小時(shí)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)是2.5元;如果張同學(xué)每月做家務(wù)的時(shí)間超過了20小時(shí)，那么20小時(shí)的獎(jiǎng)勵(lì)就按每小時(shí)2.5元，超過的部分按每小時(shí)4元獎(jiǎng)勵(lì)。學(xué)生問出的第二個(gè)問題就是：能不能寫出當(dāng)0≤x≤20時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式？學(xué)生通過觀察圖象發(fā)現(xiàn)當(dāng)0≤x≤20時(shí)，圖2在本質(zhì)上就是一個(gè)一次函數(shù)圖象。他們就想到了求一次函數(shù)的一般方式，即設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b。同時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)（0，150），（20，200）在該函數(shù)上，所以就有y=2.5x+150。在學(xué)生將數(shù)形結(jié)合起來的同時(shí)，教師基于學(xué)生的提問提出這樣的問題：假如你們的父母也是按照這樣的方式對你們的勞動(dòng)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，你們希望會(huì)是怎樣的結(jié)果，能不能先用語言表述出來，再以圖象顯現(xiàn)出來？教師的這一問就是進(jìn)一步將“數(shù)形結(jié)合”的思想運(yùn)用于學(xué)生的生活實(shí)際，也是進(jìn)一步提升他們的實(shí)踐思維能力。

四、以“數(shù)形結(jié)合”培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力

將“數(shù)形結(jié)合”思想運(yùn)用于解題進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這本身就是一次創(chuàng)造，就是學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的過程。就題目本身來說，大多數(shù)題目并沒有寫明運(yùn)用什么樣的思想來解決，只是學(xué)生在解題的實(shí)踐中主動(dòng)地選擇最適合解決問題的思想。這個(gè)選擇的過程其實(shí)就是他們展現(xiàn)創(chuàng)造性思維的過程。運(yùn)用創(chuàng)造性思維解題就是學(xué)生獨(dú)立地想出解決問題的新方法，不再局限于一般的解題思路?！皵?shù)學(xué)結(jié)合”能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，能為學(xué)生解決問題開辟新的路徑。一般地，學(xué)生在思考問題時(shí)會(huì)沿著一個(gè)既定的方向逐步地推進(jìn)，“數(shù)學(xué)結(jié)合”給學(xué)生在推進(jìn)的過程中提供一個(gè)新的支架，進(jìn)而使思維由原先的山重水復(fù)轉(zhuǎn)為柳暗花明。換言之，“數(shù)形結(jié)合”讓創(chuàng)造性思維在課堂上生根。

以下題為例，在3張相同的小紙條上分別標(biāo)上1、2、3這3個(gè)號(hào)碼，做成3支簽，放在一個(gè)不透明的盒子中。攪勻后從中隨機(jī)抽出1支簽，抽到1號(hào)簽的概率是多少。學(xué)生先是自己做3個(gè)不同的紙簽，將其放入文具盒中，再隨意地抽取，他們發(fā)現(xiàn)共有3種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中“抽到1號(hào)”的有1種，進(jìn)而他們推斷“抽到1號(hào)”的概率為。學(xué)生的這一做法其實(shí)就是將題目中的“數(shù)”與生活中的“形”結(jié)合起來，在真實(shí)的場景中實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。對學(xué)生來說，他們做簽的過程就是他們創(chuàng)造性思維展示的過程，就是他們創(chuàng)造性地在“形”中找尋“數(shù)”上面的突破。教師再提出第二問，攪勻后先從中隨機(jī)抽出1支簽，這簽不再放回;再從余下的2支簽中隨機(jī)抽出1支簽，求抽到的2支簽上簽號(hào)的和為奇數(shù)的概率是多少。這一問的難度就在于學(xué)生如何簡化文字表述，也就是如何將文字以形象的方式展示出來，以讓他們一目了然地看出文字中所蘊(yùn)含的信息。他們想到了“數(shù)形結(jié)合”，即借助這一思想實(shí)現(xiàn)問題的簡化。學(xué)生想到用列表法將可能出現(xiàn)的結(jié)果顯現(xiàn)出來，如下表。

對于上表，學(xué)生再用語言將圖表的信息表述出來，以做到以“形”驗(yàn)證“數(shù)”，進(jìn)而達(dá)到“數(shù)”與“形”的高度統(tǒng)一。當(dāng)圖形畫好之后，6種可能出現(xiàn)的結(jié)果就一覽無遺地呈現(xiàn)出來。學(xué)生再對照條件“和為奇數(shù)”，發(fā)現(xiàn)這樣的情況是4種，于是他們運(yùn)用概率的公式P（和為奇數(shù)）求得最后的結(jié)果。解決第二問的關(guān)鍵點(diǎn)在于學(xué)生要知道運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想來簡化問題，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展。學(xué)生在運(yùn)用這一思想的同時(shí)也提升了他們的創(chuàng)造性思維，他們能多維度地思考問題，體現(xiàn)出思維的獨(dú)創(chuàng)性。

五、結(jié)語

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過“數(shù)形結(jié)合”法將實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)借助圖形呈現(xiàn)出來，以實(shí)現(xiàn)想象性、抽象性與邏輯性的融合，這也能更容易地引發(fā)學(xué)生思維火花的迸發(fā)，進(jìn)而有助于他們解決實(shí)際問題。當(dāng)學(xué)生養(yǎng)成以“數(shù)形結(jié)合”的思想和方法進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的探究與解決時(shí)，他們的邏輯思維能力、形象思維能力、推理思維能力等才能得到不斷提升，進(jìn)而才能促成問題的最終解決。一言以蔽之，“數(shù)形結(jié)合”思想在初中數(shù)學(xué)課堂中的運(yùn)用拓展了學(xué)生的思維空間，提升了他們的數(shù)學(xué)思維能力，同時(shí)也提升了課堂教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)了學(xué)生認(rèn)知的內(nèi)化。