在課堂追問中促進學生深度學習的初中數學教學實踐與思考

【摘要】本文以人教版數學九年級上冊“二次函數與一元二次方程”教學為例，探討通過課堂追問激活學生思維，引導學生積極主動地批判性地學習新的學科知識和思想方法，在掌握學科知識本質的同時提高發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題能力的具體做法，側重提煉基于深度學習進行教學設計、基于深度學習推進教學實施、基于深度學習設計課堂追問等策略。

【關鍵詞】深度學習 課堂追問 教學實踐

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）28-0045-05

隨著基礎教育課程改革的不斷深入，“深度學習”的概念逐漸進入各學科教師的研究視域。深度學習（deep learning）的概念最先出現(xiàn)在計算機科學。在計算機科學、人工智能領域和腦科學的語境中，它指的是一種基于多層神經網絡的機器學習方法。而教育領域對于深度學習的研究，主要指向高水平認知加工、基于理解的學習和主動學習，是相對于淺層學習而言的一種學習方式和方法的研究。深度學習提倡學習者在理解性學習的基礎上，批判性地學習新的知識和學科思想，將已有知識和思想順利遷移到新的情境中做出決策和解決問題，并將新的知識和方法融入原有的認知結構，與舊有的知識和學科思想建立起有效的聯(lián)結，形成新的認知結構。隨著課程改革的不斷深入，因為擔心“當深度學習逐漸發(fā)展成一種‘運動后，就存在走偏的危險”，北京師范大學教育學部教授郭華結合新課標的核心素養(yǎng)導向，對深度學習的概念做出了下面的界定：“所謂深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程。在這個過程中，學生掌握學科的核心知識，理解學習的過程，把握學科的本質及思想方法，形成積極的內在學習動機、高級的社會性情感、積極的態(tài)度、正確的價值觀，成為既具獨立性、批判性、創(chuàng)造性又有合作精神、基礎扎實的優(yōu)秀學習者，成為未來社會歷史實踐的主人。”

基于專家對深度學習的內涵界定，結合自身教學實際，筆者認為，初中數學課堂中的深度學習其實是描述學生學習狀態(tài)和學習歷程的一種專業(yè)詞匯，課堂追問則是達成這種學習狀態(tài)和學習歷程的重要教學策略和方法。初中數學課堂教學中的深度學習，需要教師以情境中的數學問題為載體，指引學生努力揭示問題情境中所蘊含的數學知識的本質屬性，發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng)。教師在教學實踐中圍繞核心知識設計具有挑戰(zhàn)性的驅動性問題，通過層層追問激活學生的數學思維，把教學引向深處，引導學生積極主動地、批判性地學習新的知識和思想；學生在深刻掌握數學知識本質的同時，提高發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力。下面筆者以人教版數學九年級上冊“二次函數與一元二次方程”第一課時教學為例，談談在追問中促進學生深度學習的初中數學教學實踐與思考。

一、基于深度學習進行教學設計

在郭華教授看來，深度學習需要基本的促發(fā)條件，包括：教師要自覺發(fā)揮主導作用，學生在課堂上思考和操作的學習對象必須是經過教師精心設計的結構化的教學材料，教學過程必須有預先設計的方案，課堂教學必須有融洽的互動氛圍，等。為此，教師必須在課前精心備課，基于教材和學情分析設計教學方案。

“二次函數與一元二次方程”是“數與代數”領域重要的學習內容，其內容的綜合性和思想性都很強。本課所學知識建立在學生已學二次函數的概念、圖象和性質的基礎之上，重點反映函數與方程這兩個數學概念之間的內在聯(lián)系，探討二次函數與一元二次方程的關系，為第二課時學習運用二次函數分析和解決實際問題做好鋪墊。學生在八年級時已經學習了一次函數和一元一次方程之間的關系，因此，用函數的觀點討論方程，學生已經積累了一定的數學活動經驗。教材從一次函數與一元一次方程的關系入手，通過方法類比引出二次函數與一元二次方程之間的關系問題，然后給出一個具體實例，讓學生討論案例中的二次函數與一元二次方程之間的內在聯(lián)系。本課教學，教師應引導學生學會運用類比的方法，鼓勵學生基于問題解決大膽猜想、踴躍交流，認真體會二次函數與一元二次方程的關系。

盡管九年級的學生已經具備了一定的數學抽象能力，但二次函數不管在“數”還是“形”的方面都比一次函數要復雜得多，一元二次方程的一般形式和解的情況也比一元一次方程復雜得多，所以，無論學生思維是否足夠活躍，學生依然有可能出現(xiàn)較多的思維困擾。為此，教師在進行教學設計時，應注意將學生的感性認識和理性思辨相結合，從“數”與“形”兩個角度同時設定相應的問題情境，通過層層追問，巧妙引導學生運用類比遷移和數形結合的思想方法，化抽象為直觀，加深對相關知識本質的理解，順利發(fā)展理性思維。

二、基于深度學習推進教學實施

基于深度學習的初中數學課堂教學，通常都會安排復習回顧、新知探究、課堂小結三個基本教學環(huán)節(jié)，各教學環(huán)節(jié)有不同的教學功能定位：“復習回顧”，意在以舊知引出新知，喚醒學生的學習經驗，為新知探究打下思想方法的基礎；“新知探究”，重點圍繞新知設計分層探究的學習任務，推進學生的深度學習；“課堂小結”，除了引導學生總結本課所學新知，構建相關知識體系，還要反思新課學習過程、積累新的學習經驗，從而發(fā)展數學認識。

（一）復習回顧，喚醒學生學習經驗

深度學習尊重學生的個體經驗，倡導通過結構化的活動喚醒學生的學習經驗，引導學生將個體經驗與知識進行關聯(lián)、轉化。郭華教授認為：學生個體經驗與人類歷史知識不是對立、矛盾的，而是相互關聯(lián)的，教師要找到它們的關聯(lián)處、契合處，通過引導學生主動“聯(lián)想與結構”，讓學生的經驗凸顯意義，讓外在于學生的知識與學生建立起生命聯(lián)系，使經驗與知識相互滋養(yǎng)，成為學生自覺發(fā)展的營養(yǎng)。因此，教師的課堂教學，須起于“復習回顧”，旨在喚醒學生的學習經驗。

課堂上，教師通過呈現(xiàn)如圖1所示問題，引導學生回顧舊知。緊接著進行課堂追問：結合以上兩個練習，誰來說說一次函數與一元一次方程的關系？

教師通過問題和追問，既呈現(xiàn)了關聯(lián)知識，又激活了學生的學習經驗，讓學生再一次深刻理解一次函數與一元一次方程的關系，強化如圖2所示的數學認知，培養(yǎng)學生形成解決一類問題的通用方法和思維品質，為本課學法遷移做好鋪墊。

（二）新知探究，促進學生深度學習

新知探究與鞏固是課堂教學的重點，也是學生深度學習得以發(fā)生的重要環(huán)節(jié)。學生數學學習的過程主要不是記憶大量的公式定理，而是通過積極主動的學習、活動與思考，努力去把握數學知識的本質，而這需要教師設計典型的深度探究活動，引發(fā)學生對學習對象的深度加工的學習過程。以問題解決的方式引導學生探究新知，是數學學習的常用方法；以追問的方式促進學生的深度思考，是數學教師常用的教學策略。本課新知探究與鞏固，筆者設計了兩個教學層次：第一個層次是讓學生初步感悟二次函數與一元二次方程的內在聯(lián)系，第二個層次是引導學生系統(tǒng)研究二次函數與一元二次方程的內在聯(lián)系。

1.初步感悟二次函數與一元二次方程的內在聯(lián)系

課堂上，教師首先呈現(xiàn)了如圖3所示教材中的第一個例題，也是本課新知探究的第一個核心例題，側重引導學生從“數”的角度初步理解二次函數與一元二次方程的關系。題目中的4個問題，學生通過將問題中h的值代入函數解析式h=20t-5t2，便能得到一個關于t的一元二次方程，再通過為相應的一元二次方程求解便能順利解決問題：如果方程有合乎實際問題的解，則說明小球可以達到問題中的飛行高度；否則便不能達到問題中的飛行高度。

學生順利解決以上問題后，教師圍繞例題本身，提出了三個追問：追問1，結合圖象說明為什么在兩個時間點上小球的高度為15m？追問2，你能結合圖象說明為什么只在一個時間點上球的高度為20m嗎？追問3，你能結合圖象解釋問題（3）的結論嗎？三個追問的設計，意在引導學生從“形”的角度去探究二次函數與一元二次方程的關系，即從函數圖象看，就是探究直線h=m（m>0）與拋物線h=20t-5t2的交點個數以及交點的橫坐標。展開來說，三個追問體現(xiàn)了如下教學意圖：追問1針對問題（1），著重引導學生從已有的生活經驗“上升”“下降”、數學研究的對象拋物線的對稱性以及拋物線h=20t-5t2與直線h=15的交點個數等方面去解釋說明為什么在兩個時間點上小球的高度為15m。追問2和追問3分別對應問題（2）、問題（3），著重引導學生觀察拋物線與直線h=20、h=20.5的交點情況：鑒于拋物線與直線h=20只有一個交點、拋物線與直線h=20.5沒有交點，學生通過直觀的觀察便很容易解釋為什么只在一個時間點上球的高度為20m、為什么小球飛行高度不能達到20.5m。學生通過問題解決和解答三個追問，可以直觀感受到二次函數和一元二次方程之間的內在聯(lián)系，從而了解一元二次方程的根的幾何意義。數形結合的深度探究，可以很好地發(fā)展學生數學思維的深度與廣度，不僅可加深學生對數學知識本質的理解，而且可以有效培養(yǎng)學生的幾何直觀、空間觀念等核心素養(yǎng)，提高學生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力。

在學生順利完成三個追問之后，教師可以嘗試跳出例題，提出第四個追問。追問4：通過小球問題的探究，類比一次函數與一元一次方程的聯(lián)系，你能歸納出二次函數和一元二次方程的聯(lián)系嗎？追問4仍然是“數”“形”結合的角度，只不過已然跳出例題，開始引發(fā)學生從特殊到一般的數學思考，促進學生進行基于知識本質的深度學習，引導學生從中感悟類比的數學思想，嘗試構建具有普遍意義的新舊知識聯(lián)系，自主歸納出如圖4所示的二次函數與一元二次方程之間的內在聯(lián)系，培養(yǎng)歸納推理能力。

進入新知鞏固環(huán)節(jié)，教師給出了如圖5所示的第一組課堂練習。

學生先獨立思考并解決問題。教師在接下來的課堂討論環(huán)節(jié)依次提出兩個追問。針對第1題，教師提出追問1：你能說說答案的依據嗎？以此引導學生反思解答的依據，既知其然又知其所以然，鞏固所學知識。學生在完成第2題的過程中出現(xiàn)了思維停頓：等式中含有3個未知數，很顯然，單純通過“數”的計算很難得出結果。于是教師提出追問2：這一道題可以通過“數”的角度計算出來嗎？如果不行，可以考慮從哪個角度思考？順著老師的“可以考慮”，學生很自然地想到了改變策略，從“形”的角度去思考，于是順利找到了新的解題思路，培養(yǎng)了數學思維的靈活性。

2.系統(tǒng)研究二次函數與一元二次方程的內在聯(lián)系

將八年級研究一次函數與一元一次方程關系的方法遷移到本課學習中來，指導學生系統(tǒng)研究二次函數與一元二次方程的內在聯(lián)系，教師呈現(xiàn)了如下頁圖6所示教材中的第二道核心例題。

本環(huán)節(jié)是利用二次函數y=ax2+bx+c深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況。例題中給出了三個具體的二次函數，筆者結合學生前面已學一元二次方程的根的情況，化特殊為一般，把教材要求學生思考的內容設計成了如表1所示的表格形式進行呈現(xiàn)，并提出下面的問題：觀察表中所填的答案，你可以得出什么結論？如此設計學習對象，明確了學生思考的方向，使問題呈現(xiàn)更加直觀，更加有利于學生通過觀察有所發(fā)現(xiàn)、有所感悟，進而得出一系列有關的結論。

學生通過填寫和觀察表1中的有關信息，很容易歸納出二次函數y=ax2+bx+c與一元二次方程ax2+bx+c=0之間存在如下關系：二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的個數和一元二次方程ax2+bx+c=0的根的個數一致；二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標和一元二次方程ax2+bx+c=0的根一致；b2-4ac的值與一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式情況一致。而以上填寫表格、觀察和研究表格的整個學習過程，仿佛帶領學生真實經歷了一次知識形成的過程，既促進了學生的深度學習，又培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力。

此處新知鞏固環(huán)節(jié)，教師呈現(xiàn)了如圖7所示的第二組課堂練習。

在課堂討論環(huán)節(jié)，教師在第2題的基礎上提出追問1：若二次函數y=x2+mx+1的圖象與x軸有兩個交點，則m的取值范圍是________。將該題條件中的“一個交點”變成“兩個交點”，目的是讓學生全面掌握相關知識點。在完成以上追問后，教師對解析式進行了變式追問，提出了追問2：若二次函數y=mx2+x+1的圖象與x軸有兩個交點，則m的取值范圍是_________。引導學生在遷移上題解題方法的基礎上，另外考慮m的取值范圍，這也是一個易錯點，可以進一步培養(yǎng)學生數學思維的嚴謹性。兩種變式追問，引導學生多角度思考問題，促進了學生的深度學習，加深了學生對知識的理解，提高了學生的思維品質和問題解決能力。

（三）課堂小結，引導學生反思學習歷程

課堂小結環(huán)節(jié)，教師提出問題，引導學生反思本課學習歷程。問題：本課我們重點探究了二次函數與一元二次方程之間的關系，它們有什么內在的聯(lián)系嗎？師生共同小結，形成如圖8所示的核心知識。然而，課堂小結從來不應拘泥于對知識點的整理，基于深度學習的初中數學課堂教學，還應著力引導學生從知識、方法、經驗等方面對本課學習歷程進行整理、歸納。為此，教師可以再次追問：我們怎樣探究它們的關系？在探究的過程中，你感悟了怎樣的數學思想？聚焦學科本質，提煉數學學習的思想方法，不僅可以加深學生對數學問題本質的理解，而且可以培養(yǎng)學生數學思維的深刻性，發(fā)展學生的高階思維能力。

三、基于深度學習的課堂追問設計及思考

課堂追問是對教學中原問題的進一步補充，是教師引導學生進行知識再創(chuàng)造的過程，其目的在于引發(fā)學生的深度思考，延展學生數學思維的廣度和深度，聚焦學科知識的本質，促進學生的深度學習。筆者為初中數學教學中的課堂追問設計提煉出四條基本策略。

（一）學生探究新知時，針對關鍵知識點設計課堂追問

追問不是亂問，更不是“濫”問。教師設計課堂追問應針對關鍵知識點中的問題，把握好追問與原問題之間的邏輯關聯(lián)，在原問題的基礎上進行追問，旨在把學生的思維引向縱深，或加深對內涵的理解，或拓展對外延的認識。如本課教學內容對學生來說是相對抽象且難以理解的，在圍繞例題1展開新知探究的教學環(huán)節(jié)，如果教師立足于教材，僅僅從“數”的角度解決教材中的4個問題，學生很難真正理解二次函數與一元二次方程的關系。教師針對關鍵知識點設計了三個追問，從“數”的角度拓展到“形”的角度，引導學生對知識點展開不同角度的探究性學習，不僅促進了學生的深度學習，加深了學生對知識本質的理解，而且落實了對學生抽象能力、幾何直觀等學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。

（二）學生思維困頓時，針對思維盲點設計課堂追問

當學生面對數學學習中較難理解和解決的問題出現(xiàn)思維停滯時，教師可以將這個較難的問題進行適當調整，比如把它分解成一組小問題進行有條理地追問，或者啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)新的思維方向等。如本案例第一組課堂練習的追問2，實際是啟發(fā)學生“新”的思維方向，將學生帶回到了例題中的“換一個角度思考”的問題解決方法：當通過“數”的角度不能計算出來時，可以換一個角度，從“形”的角度去思考。于是學生順利找到了新的解題思路。

（三）學生答題出錯時，針對答題思路設計追問

學生在數學學習過程中發(fā)生這樣或那樣的錯誤在所難免，有的是知識上的錯誤，有的是解題思路的錯誤。當學生發(fā)生錯誤時，教師不應直接告訴學生正確答案或正確做法，而應追問學生解決問題的過程和方法，幫助學生查找出錯的原因，培養(yǎng)學生自我反思的意識和習慣，給出合理的糾錯方法，力求幫助學生形成相關學習策略，有效規(guī)避同樣錯誤的再次發(fā)生。課堂追問既可以單純面向出錯的學生，也可以面向全體學生，發(fā)展學生數學思維的批判性，促進學生的深度學習。

（四）學生完成課堂練習后，基于練習完成情況設計追問

數學課堂練習的功能不單是檢查學生對所學知識的掌握情況，教師還可以基于學生課堂練習的完成情況設計課堂追問，追問學生思考和解決問題的方法，如：“你是怎么想到這樣做的？”“如果把條件進行變化，結論還能成立嗎？”“看到題中這個條件，你聯(lián)想到了什么？”“你能歸納出解決哪一類題目的一般方法嗎？”“你為什么選擇這種方法而不選擇另外的方法？”此時的追問旨在培養(yǎng)學生數學思維的條理性和深刻性。如本案例第二組課堂練習解題后的兩個變式追問，通過改變考查的角度，拓展學生思維的廣度和深度，加深學生對知識的理解。

總之，深度學習是全面深化課程改革的需要，是落實學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要路徑和方法。學生的深度學習需要教師給學生創(chuàng)設有價值的問題情境、提供分析和解決問題的機會，并通過課堂追問啟發(fā)學生基于問題解決開展有深度的探究性學習。教師要提高理論站位，清晰地把握本學科對于學生核心素養(yǎng)發(fā)展的獨特價值，精心準備教學方案，思路清晰地預設好哪些內容需要重點追問、哪些內容學生可能會出現(xiàn)理解困難，并在課堂教學中基于課堂中生成的課程資源靈活調整教學方案、重組教學內容，有意識地引導學生由被追問過渡到學會自我追問，不斷提高學生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，以深度學習的方式促進學生學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

參考文獻

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［3］陳新蕓.實施有效追問 構建生命課堂：初中數學課堂有效追問研究［J］.中小學教學研究，2010（5）：3-5.

注：本文系廣西教育科學規(guī)劃2021年度“鄉(xiāng)村數學教師能力素質提升”專項課題“核心素養(yǎng)導向下提高鄉(xiāng)村初中數學課堂學生參與度的實踐研究”（2021ZJY145）的階段研究成果。

作者簡介：梁海栗（1972— ），廣西柳江人，高級教師，主要研究方向為中學數學教學。

（責編 白聰敏）