真三軸壓縮下大理巖強(qiáng)度、變形與損傷特征數(shù)值

王浩然，王志亮，王昊辰，汪書(shū)敏

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009)

自然界中巖體處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，在進(jìn)行深部洞室開(kāi)挖過(guò)程中，臨空面會(huì)釋放巖體中積累的應(yīng)變能，造成應(yīng)力重分布，導(dǎo)致巖體內(nèi)部產(chǎn)生新裂紋，并且裂紋與裂紋之間擴(kuò)展貫通，最終會(huì)造成巖體的失穩(wěn)破壞[1-3]。以往的常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)忽略了中間主應(yīng)力(σ2)的影響，傳統(tǒng)的莫爾-庫(kù)侖和霍克-布朗準(zhǔn)則對(duì)真三軸應(yīng)力狀態(tài)下巖石力學(xué)表征難以適用，而中間主應(yīng)力對(duì)巖石在真三軸應(yīng)力狀態(tài)下的力學(xué)特性影響顯著[4]。近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)深埋大理巖進(jìn)行真三軸壓縮試驗(yàn)，以探究其在高地應(yīng)力下的破壞機(jī)制。Zheng等[4]探討了錦屏大理巖在真三軸壓縮下的殘余強(qiáng)度特征，發(fā)現(xiàn)對(duì)于較高σ3(最小主應(yīng)力)，隨著σ2的增大殘余強(qiáng)度先減小后增大，對(duì)于較低σ3，則隨著σ2的增大而逐漸減??；Feng等[5]對(duì)花崗巖、大理巖和砂巖等進(jìn)行了真三軸循環(huán)加卸載試驗(yàn)，指出巖石黏聚力對(duì)σ3和σ2不敏感，內(nèi)摩擦角最小值不受σ3和σ2的影響，但其最大值受兩者的影響；Gao等[6]對(duì)含節(jié)理的錦屏大理巖進(jìn)行真三軸壓縮試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)節(jié)理大理巖強(qiáng)度對(duì)σ3的敏感性要大于對(duì)σ2的敏感性。

然而，在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行真三軸試驗(yàn)需要先進(jìn)且昂貴的實(shí)驗(yàn)設(shè)備，試件的制備也費(fèi)時(shí)耗力，并且試驗(yàn)中很難觀察到細(xì)觀的破壞過(guò)程。近年來(lái)，數(shù)值模擬方法已成為傳統(tǒng)研究方法的有力補(bǔ)充。其中，離散單元法作為一個(gè)有效的數(shù)值分析工具，廣泛應(yīng)用于巖石力學(xué)研究[7-8]。Yang等[9]研究了射孔角度和射孔布置對(duì)同步水力壓裂裂縫擴(kuò)展機(jī)制和巖石破壞模式的影響，指出大主應(yīng)力差下較小的射孔間距更有利于中心巖體的破裂。Lee等[10]對(duì)非平行雙裂隙花崗巖試樣進(jìn)行單軸壓縮試驗(yàn)，并且開(kāi)展了顆粒流程序模擬，發(fā)現(xiàn)巖橋裂紋的貫通主要通過(guò)拉伸裂紋的擴(kuò)展聚集。Zhang等[11]對(duì)含兩個(gè)平行裂隙的矩形類(lèi)巖石試件進(jìn)行單軸壓縮數(shù)值模擬，總結(jié)出巖橋貫通兩種新模式。由于實(shí)際工程問(wèn)題復(fù)雜，簡(jiǎn)化為二維問(wèn)題后，其計(jì)算結(jié)果存在一定差距，故開(kāi)展三維數(shù)值研究十分必要。Duan等[12]對(duì)砂巖展開(kāi)真三軸壓縮離散元模擬，重點(diǎn)分析σ3、σ2對(duì)微裂紋取向、黏結(jié)力取向、組構(gòu)和配位數(shù)演化的影響，指出隨著σ3水平的增加，σ2對(duì)顆粒尺度響應(yīng)的影響逐漸減弱。Zhang等[13]采用平行黏結(jié)模型先標(biāo)定大理巖的力學(xué)性能，然后建立真三軸壓縮數(shù)值模型，在數(shù)值巖樣上預(yù)制裂隙，研究裂隙大理巖在真三軸應(yīng)力狀態(tài)下的破壞特征。Zhang等[14]采用黏結(jié)粒子模型研究花崗巖在真三軸應(yīng)力狀態(tài)下的變形和強(qiáng)度特征，消除了端部效應(yīng)，隔離了中間主應(yīng)力的影響。

綜上，中間主應(yīng)力對(duì)巖石力學(xué)特性影響較大，且目前對(duì)真三軸應(yīng)力環(huán)境下的巖石內(nèi)部裂隙擴(kuò)展演化過(guò)程難以做到實(shí)時(shí)觀察。為此，擬采用三維離散元顆粒流程序(PFC3D)對(duì)大理巖試件開(kāi)展真三軸應(yīng)力狀態(tài)下的微觀裂紋擴(kuò)展機(jī)制數(shù)值研究，并基于全應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征，深入探析裂紋擴(kuò)展過(guò)程與受壓變形過(guò)程當(dāng)中的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，力求得出具有參考價(jià)值的結(jié)論。

1 數(shù)值模型的建立

1.1 數(shù)值模型

PFC5.0內(nèi)嵌有十種接觸模型[8]，其中，平行黏結(jié)模型在模擬巖石類(lèi)材料受壓破壞時(shí)，能夠沿著法向或者切向破壞，可較好地反映此類(lèi)材料的破壞形式，已廣泛應(yīng)用于巖石類(lèi)材料相關(guān)問(wèn)題分析中[15]，故本文選擇該模型進(jìn)行后繼研究。大理巖試樣數(shù)值模型尺寸為50 mm×50 mm×100 mm，假定無(wú)內(nèi)部缺陷。采用與文獻(xiàn)[16]常規(guī)三軸壓縮數(shù)值試驗(yàn)相同的平行黏結(jié)模型細(xì)觀參數(shù)，大理巖顆粒的半徑在0.9～1.356 mm，避免顆粒尺寸對(duì)力學(xué)性能的影響。其中，真三軸數(shù)值模型包含26 018個(gè)顆粒，112 093個(gè)平行鍵黏結(jié)，4 504個(gè)線性黏結(jié)，如圖1所示。

圖1 數(shù)值建模

1.2 真三軸壓縮模擬加載方式

數(shù)值模擬中的加載應(yīng)力路徑是仿照巖石真三軸壓縮試驗(yàn)的加載方式[17-18]，如圖2所示，模擬的加載路徑由以下3個(gè)階段組成：

圖2 真三軸試驗(yàn)的加載路徑

1)在靜水條件下(σ1=σ2=σ3)，通過(guò)伺服控制函數(shù)控制6個(gè)墻體以一定位移速率單調(diào)加載試樣，直到達(dá)到預(yù)設(shè)的σ3水平。

2)通過(guò)伺服控制函數(shù)控制x方向上兩個(gè)平行墻體保持σ3恒定，同時(shí)控制y、z方向兩對(duì)平行墻體以恒定位移速率繼續(xù)加載，保證σ1和σ2以相同的速率單調(diào)上升，直到達(dá)到預(yù)定的σ2。

3)通過(guò)伺服控制函數(shù)控制x、y方向上兩對(duì)平行墻體保持σ2、σ3恒定，控制z方向平行墻體保證σ1單調(diào)升高，直至峰值(σ1,peak)，然后繼續(xù)加載至σ1后下降到σ1,peak的70%時(shí)終止。

1.3 真三軸模擬應(yīng)力路徑及破壞角的測(cè)量

對(duì)大理巖數(shù)值試樣分別進(jìn)行7組不同應(yīng)力控制的真三軸壓縮破壞試驗(yàn)，即將最小主應(yīng)力σ3分為5、20、50、80、100、120和150 MPa 7個(gè)應(yīng)力水平，每個(gè)應(yīng)力水平下，σ2的大小根據(jù)模擬過(guò)程中峰值強(qiáng)度確定，涵蓋了從σ2=σ3到σ2=σ1的整個(gè)范圍(表1)。

表1 大理巖真三軸模擬的破壞應(yīng)力狀態(tài)和破壞面角

圖3展示出破壞面角度θ的測(cè)量方法，左邊為顆粒破壞后的fragment顯示(同種顏色的顆粒表示同種破碎塊體)，中間為微裂紋的空間分布(深色為剪切裂紋，淺色為拉伸裂紋)，右邊為顆粒位移矢量空間分布。當(dāng)σ2=σ3時(shí)沒(méi)有明顯的破壞角；當(dāng)σ2>σ3時(shí)，平行黏結(jié)鍵斷裂，無(wú)法傳遞力，故無(wú)法形成力鏈，則在平行黏結(jié)鍵斷裂處產(chǎn)生微裂紋，微裂紋的積累導(dǎo)致破裂面的產(chǎn)生。而且，破壞面平行于中間主應(yīng)力方向，各個(gè)應(yīng)力路徑下破壞角的范圍為60°～65°(見(jiàn)圖3(b)、表1)，對(duì)于恒定σ3，破壞角隨著σ2的增大而增大。

圖3 PFC計(jì)算結(jié)果及破壞角的測(cè)量

2 真三軸壓縮數(shù)值結(jié)果分析

2.1 中間主應(yīng)力對(duì)真三軸破壞應(yīng)力的影響

表1列出了破壞時(shí)的所有真三軸壓縮應(yīng)力條件，對(duì)于每個(gè)最小主應(yīng)力σ3，σ1,peak是σ2的函數(shù)，如圖4所示?？梢钥闯?，σ1,peak隨σ2的增加而增大，且當(dāng)σ2達(dá)到某一固定平臺(tái)值時(shí)，超過(guò)此值σ1,peak逐漸下降，這種變化趨勢(shì)不是左右對(duì)稱(chēng)的，相關(guān)硬巖真三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果一致[19-20]。

由上可知，σ1,peak既是σ3的函數(shù)，又是σ2的函數(shù)。σ1,peak這種先升后降的趨勢(shì)符合二階多項(xiàng)式方程特征。曲線圖4中的虛線組成常規(guī)三軸壓縮(σ2=σ3)和常規(guī)三軸拉伸(σ2=σ1)兩種極限情況，σ1,peak與σ3的變化可以用下式來(lái)線性擬合，這實(shí)為傳統(tǒng)的三軸破壞判據(jù)，即Mohr-Coulomb準(zhǔn)則。

圖4 σ1,peak與σ2在恒定σ3水平上的變化關(guān)系

對(duì)于常規(guī)三軸壓縮(σ2=σ3)

σ1,peak=150.84+3.68σ3,R2=0.999

(1)

對(duì)于常規(guī)三軸拉伸(σ1=σ2)

σ1,peak=169.28+5.40σ3,R2=0.999

(2)

對(duì)于給定的σ3，σ1,peak與σ2的關(guān)系曲線表現(xiàn)出強(qiáng)度上的差異性，這揭示了傳統(tǒng)的三軸壓縮試驗(yàn)以及經(jīng)典莫爾-庫(kù)侖和霍克-布朗等破壞準(zhǔn)則存在不足。

取峰值應(yīng)力50%處的割線模量計(jì)算巖樣的彈性模量E，圖5展示E在σ3應(yīng)力水平下隨σ2的變化關(guān)系，可以看出，在每個(gè)最小主應(yīng)力水平下，彈性模量隨著中間主應(yīng)力的增加先急速增加，再逐漸趨近于平穩(wěn)，并且最小主應(yīng)力越大，平穩(wěn)增加段所占比例就越大，表明最小主應(yīng)力對(duì)彈性模量的增加有約束作用。采用Logistic函數(shù)可直觀表示E和σ2的變化關(guān)系，擬合方程列于圖5中，擬合度較高。

圖5 E與σ2在恒定σ3水平上的變化關(guān)系

2.2 基于八面體理論的真三軸破壞應(yīng)力分析

八面體理論認(rèn)為，當(dāng)巖石內(nèi)部八面體剪應(yīng)力達(dá)到某一臨界值時(shí)，巖石將進(jìn)入破壞階段。為了研究大理巖試樣的空間破壞特性與中間主應(yīng)力之間的關(guān)系，并且表1和圖4真三軸破壞時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)都可以由兩個(gè)主應(yīng)力不變量之間的單一關(guān)系表示，即破壞時(shí)的八面體剪應(yīng)力(τoct,f)和破壞時(shí)的八面體正應(yīng)力(σoct,f)：

τoct,f=[(σ1,peak-σ2)2+(σ2-σ3)2+

(σ3-σ1,peak)2]1/2/3

(3)

σoct,f=(σ1,peak+σ2+σ3)/3

(4)

圖6(a)是在τoct,f-σoct,f區(qū)域中重新繪制破壞時(shí)的應(yīng)力條件，可以看出，在大理巖數(shù)值試樣當(dāng)中，τoct,f隨著σoct,f的升高而持續(xù)上升，盡管上升速率有所下降。因?yàn)樗〝?shù)值模型沒(méi)有明顯缺陷，破壞時(shí)的主要原因是剪切而不是壓實(shí)[21]，與2.4節(jié)的結(jié)論相同。同時(shí)，為了更好地確定在恒定σ3應(yīng)力條件下σ2在σ1和σ3之間的相對(duì)位置，引入應(yīng)力比b[17]，對(duì)于確定的破壞應(yīng)力狀態(tài)，可以獲得良好的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。應(yīng)力比b定義為

b=(σ2-σ3)/(σ1-σ3)

(5)

對(duì)圖6(a)中所示的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行二階多項(xiàng)式方程擬合，得到式(6)的τoct,f-σoct,f變化方程。

(6)

由圖6(b)可以看出，在τoct,f-σoct,f曲線區(qū)域中數(shù)據(jù)點(diǎn)表現(xiàn)出一定的分散性，但是分散中包含潛在規(guī)律，即對(duì)于每個(gè)級(jí)別的τoct,f，最小的σoct,f一致地出現(xiàn)在σ2=σ3時(shí)，最大的σoct,f一致地匹配σ2=σ1應(yīng)力狀態(tài)。

在圖6(c)中，重新繪制了與圖6(a)和(b)相同的應(yīng)力狀態(tài)數(shù)據(jù)點(diǎn)，從式(5)可看出,σ2=σ3和σ2=σ1時(shí)，應(yīng)力比b=0和b=1。與此同時(shí)，圖6(c)為每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)分配了與其表示的b值相對(duì)應(yīng)的顏色(側(cè)面顯示的顏色條)，易見(jiàn)低σ3下個(gè)體b的離散度非常低，σ2=σ3和σ2=σ1的擬合曲線(圖中虛線)明確地描繪b=0和b=1時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，即分別對(duì)應(yīng)巖石處于廣義三軸壓縮狀態(tài)(σ1>σ2=σ3)和廣義三軸拉伸狀態(tài)(σ1=σ2>σ3)。對(duì)比圖6(a)和(c)可以看出，對(duì)于0到1的任何其他b值，都可以得到一條擬合良好的曲線，并且對(duì)于恒定的b值，τoct,f隨著σoct,f線性增加，形成線性的破壞包絡(luò)線。

圖6 破壞時(shí)τoct,f隨σoct,f的變化

2.3 變形特征與裂紋擴(kuò)展的聯(lián)系

圖7給出了σ3=150 MPa下的偏應(yīng)力與3個(gè)主應(yīng)變分量的關(guān)系。限于篇幅，僅討論一個(gè)最小主應(yīng)力水平下的關(guān)系圖。易見(jiàn)隨σ2/σ1的增大，應(yīng)變?chǔ)舮由拉應(yīng)變轉(zhuǎn)為壓應(yīng)變，并且壓應(yīng)變也隨之增大。增加σ2/σ1值也會(huì)導(dǎo)致在最小應(yīng)力方向上位移膨脹量的提升。在第1個(gè)拐點(diǎn)之前，3個(gè)主應(yīng)力、主應(yīng)變大小相同，壓縮方向一致且為正；在第1個(gè)拐點(diǎn)與第2個(gè)拐點(diǎn)之間，最大主應(yīng)力和中間主應(yīng)力大小相同，εz和εy由于兩個(gè)方向的壓縮而一致且為正，εx由于在該方向上開(kāi)始擴(kuò)張而為負(fù)；第2個(gè)拐點(diǎn)之后，εy與εz由重合變?yōu)榉蛛x，兩個(gè)方向上的應(yīng)變變化較為明顯。

圖7 不同應(yīng)力路徑的偏應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

圖8展示出σ3在80 MPa下微裂紋數(shù)量、每10時(shí)步所產(chǎn)生的微裂紋數(shù)和偏應(yīng)力與軸向應(yīng)變的關(guān)系。對(duì)比常規(guī)三軸壓縮偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線，真三軸大理巖破壞微裂紋的演化過(guò)程也可分為4個(gè)階段：第1個(gè)階段為線彈性階段(OB段)，其中3個(gè)主應(yīng)力伺服至σ3時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，數(shù)值試樣不斷被壓縮，包含初始?jí)好軈^(qū)，幾乎沒(méi)有微裂紋和聲發(fā)射事件產(chǎn)生，B點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的偏應(yīng)力在40%σ1,peak附近；第2個(gè)階段為裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段(BC段)，試樣聲發(fā)射事件呈穩(wěn)定增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，巖石損傷呈穩(wěn)定速率上升，C點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的偏應(yīng)力在80%σ1,peak附近；第3個(gè)階段為裂紋非穩(wěn)定擴(kuò)展階段(CD段)，D點(diǎn)對(duì)應(yīng)峰值強(qiáng)度，從C點(diǎn)新生裂紋張開(kāi)度明顯增大，巖樣出現(xiàn)不可恢復(fù)的塑性變形，并且隨著σ2增加該階段占比增大；第4個(gè)階段為峰后破壞階段(DE段)，D點(diǎn)之后，不同應(yīng)力條件下微裂紋的擴(kuò)展速率不盡相同，但是隨著宏觀裂隙的形成，該階段后期的微裂紋擴(kuò)展速率逐漸降低。

圖8 軸向應(yīng)變與偏應(yīng)力、微裂紋數(shù)和聲發(fā)射的關(guān)系

從圖8可以看出，隨著σ2的增大，試樣峰后表現(xiàn)出由塑性破壞轉(zhuǎn)向脆性破壞的趨勢(shì)。當(dāng)σ3保持不變時(shí)，隨著σ2增大CD階段所占比重增加，并且剪切裂紋數(shù)目慢慢大于拉伸裂紋數(shù)目，破壞方式從拉伸破壞轉(zhuǎn)變?yōu)槔艋旌掀茐?。?duì)于恒定的σ3，不同應(yīng)力路徑下σ2的大小影響微裂紋的產(chǎn)生速度，即損傷的變化速率，且σ2越大則峰后損傷速率下降得越快。

2.4 微裂紋形成對(duì)宏觀破裂面的影響

圖9為不同應(yīng)力路徑下微觀裂紋傾向傾角與其相對(duì)數(shù)量關(guān)系的赤平極射投影。對(duì)比圖9(a)與(d)可看出，初始圍壓對(duì)微觀裂紋的傾向傾角有較大影響：初始圍壓較低時(shí)微觀裂紋傾向分布較均勻，裂紋主要平行于最大主應(yīng)力方向，類(lèi)似單軸壓縮時(shí)裂紋的赤平極射投影[22]；σ3=σ2=80 MPa屬于初始圍壓較高的狀態(tài)，裂紋的傾向開(kāi)始往中間主應(yīng)力方向(90°)和最小主應(yīng)力方向(0°)上集中，并且裂紋的傾角慢慢變大。從圖9(b)和(c)可以看出，因σ2>σ3時(shí)出現(xiàn)明顯的破壞角，裂紋傾向以及數(shù)量分布從中間主應(yīng)力方向逐漸向最小主應(yīng)力方向擴(kuò)展，并且隨著中間主應(yīng)力的增大，裂紋傾角也慢慢偏離最大主應(yīng)力方向，最終擴(kuò)展的角度形成實(shí)際的宏觀破壞角(位于60°～65°)。

圖9 細(xì)觀裂紋赤平極射投影

從圖10(a)可以看出，對(duì)于低σ3應(yīng)力水平，拉伸裂紋占比較大；當(dāng)σ3>50 MPa之后，隨著σ2增大，剪切裂紋占比開(kāi)始增大，破壞方式從拉伸破壞向拉剪混合破壞轉(zhuǎn)變。在圖10(b)和(c)中，對(duì)于恒定的σ3，微裂紋數(shù)目隨σ2先下降然后再上升，巖樣損傷發(fā)展呈現(xiàn)出“對(duì)勾”型變化趨勢(shì)，即開(kāi)始下降快，而上升速度滯緩。當(dāng)σ3=σ2時(shí)，隨著σ3的增大，微裂紋數(shù)目快速上升；而當(dāng)σ1=σ2時(shí)，隨著σ3的增大，微裂紋數(shù)目上升速率較為緩慢，后期微裂紋數(shù)目幾乎沒(méi)有變化。從這兩圖中的虛線可以看出高中間主應(yīng)力抑制損傷的上升趨勢(shì)。

圖10 峰后70%σ1,peak時(shí)微裂紋數(shù)目與σ2變化關(guān)系

圖11對(duì)比了不同真三軸應(yīng)力路徑下大理巖數(shù)值模擬破壞形態(tài)與試驗(yàn)后的宏觀破壞形態(tài)[4]。主裂紋為剪切破壞，次生裂紋為拉伸破壞，二者吻合較好，且與文獻(xiàn)[5-6]中大理巖的破壞形態(tài)基本相同。此外，圖9與10的結(jié)果也體現(xiàn)了大理巖真三軸宏觀破壞方式，故本文所建模型是合理的。

圖11 宏觀破裂與模擬破壞形態(tài)對(duì)比

3 結(jié) 論

1)基于平行黏結(jié)模型的三維PFC細(xì)觀數(shù)值模擬，能較好地從微觀角度觀察大理巖的破壞模式，中間主應(yīng)力σ2對(duì)巖樣的力學(xué)響應(yīng)影響顯著，且微裂紋的赤平極射投影可動(dòng)態(tài)展示微裂紋的傾向傾角和數(shù)量分布規(guī)律。

2)八面體剪切應(yīng)力與八面體正應(yīng)力可準(zhǔn)確地?cái)M合出此大理巖真三軸壓縮條件下的破壞應(yīng)力，隨著σ2的增加，大理巖試樣破壞模式由拉伸破壞向拉剪破壞轉(zhuǎn)變，并且應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰后段由塑性狀態(tài)逐漸向脆性狀態(tài)過(guò)渡。

3)隨著σ2的增加，偏應(yīng)力與3個(gè)主應(yīng)變曲線將出現(xiàn)明顯拐點(diǎn)，中間主應(yīng)變由拉伸向壓縮轉(zhuǎn)變；根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變曲線形狀，可將微裂紋演化過(guò)程分為4個(gè)階段，巖石損傷演化受σ2影響顯著，呈現(xiàn)出“√”型的變化趨勢(shì)。