變速荷載作用下加筋低路堤動力響應分析

方 昊，鄭俊杰，劉 洋，后如意，賈致榮

(1.華中科技大學 土木與水利工程學院，武漢 430074；2.山東理工大學 建筑工程學院，山東 淄博 255000)

對路堤進行加筋能提高路堤的承載力，并增加路堤的穩(wěn)定性，因此，加筋法被廣泛應用到高速公路的路基處理中[1]。近年來，為了節(jié)約土地資源，中國一些高速公路的建設開始采用低路堤的設計方案，靜載與運動荷載作用下加筋低路堤動力響應問題一直受到學者們的關(guān)注，許多學者運用雙梁模型研究該問題。Zhao等[2]通過與有限元結(jié)果的對比，驗證了雙梁模型的合理性；Zhang等[3]基于雙梁模型，給出了加筋低路堤受靜載作用下的半解析解；Wu等[4-5]推導出兩端簡支情況下雙梁模型受運動簡諧荷載作用下的級數(shù)解；Hussein等[6-7]推導出了無限長雙梁模型在運動荷載作用下的解析解。以上研究均將路堤填土及地基土假設成Winkler模型，但是Winkler模型過于簡化，當路堤填土層或地基土層較厚時，采用黏彈性Winkler模型會產(chǎn)生較大誤差[8]，同時，在分析動力響應的問題時，由于忽略了土體的慣性力和剪切作用，黏彈性Winkler模型的結(jié)果與有限元的結(jié)果相差較大[9]。

由于黏彈性Winkler模型的不足，許多學者基于彈性連續(xù)介質(zhì)模型對土體進行了研究。左迎輝等[10]求出了移動荷載作用下Gibson地基的動力響應；Yan等[11]基于層狀彈性介質(zhì)模型，給出了道路結(jié)構(gòu)受移動荷載作用下的譜元解；劉飛禹等[12-14]對勻速荷載作用下加筋道路體系的動力響應問題進行了系統(tǒng)研究。這些研究僅考慮層間完全連續(xù)條件，且都是將車載假設成勻速移動荷載，實際上，車輛在行駛過程中存在大量的變速情況[15-16]，如啟動、剎車、超車等，將車載假設成變速荷載更為合理。Beskou和Muho等[17-18]分別利用Duhamel積分和Laplace變換的方法求出了變速荷載作用下地基上梁的動力響應，但是該研究中均假設初始條件為梁的撓度及其對時間的一階偏導為0，這與真實情況不符。而有關(guān)變速荷載作用下加筋低路堤動力響應的研究還未見報道。

本文將車載假設成均布變速線荷載，將加筋低路堤視為層狀各向同性彈性體，在荷載運動方向上無限長，筋材層與路堤填土層以及地基土層間采用Goodman模型[19]模擬非完全連續(xù)條件。利用Garlerkin法推導出Fourier變換域內(nèi)變速荷載作用下加筋低路堤動力響應的控制方程。提出了一種模態(tài)疊加法和Duhamel積分相結(jié)合的方法，得出了變速荷載作用下加筋低路堤動力響應的數(shù)值解。利用數(shù)值結(jié)果，分析了層間接觸條件、荷載加速度、路堤高度和筋材剛度對加筋低路堤動力響應的影響。

1 控制方程及求解

已有研究[7,9-11]均將土體假設成彈性模型，并基于平面應變假設分析道路結(jié)構(gòu)的動力響應，本文在這些研究的基礎上，提出如圖1所示的加筋低路堤計算模型示意，假設加筋低路堤系統(tǒng)從上至下依次分為路面結(jié)構(gòu)層、路堤填土層、筋材、地基層和基巖。假設荷載分布寬度為2L，豎向荷載和水平向荷載大小為qz和qx，荷載以初速度v和加速度a沿x軸正向作勻變速運動。Sun等[20]的實驗結(jié)果表明，將道路結(jié)構(gòu)假設成層狀彈性體是合理的，因此，直接將加筋路堤系統(tǒng)假設成層狀彈性體，且每一層擁有不同的彈性參數(shù)：彈性模量E、泊松比ν、拉梅常數(shù)λ和G、厚度h、密度ρ。用不同下標表示各層的參數(shù)，路面結(jié)構(gòu)層的下標是p，路堤填土層的下標是e，筋材的下標是r，地基土的下標是f。由于本文針對加筋低路堤進行研究，路堤填土高度取小于等于3 m，即he≤3 m。假設路面結(jié)構(gòu)層與路堤填土層間完全連續(xù)，采用Goodman模型模擬筋材與路堤填土和地基土之間的非完全連續(xù)狀態(tài)，即

圖1 移動荷載作用下加筋低路堤示意

(1)

(2)

根據(jù)平面應變假設，二維直角坐標系下彈性體Navier控制方程為

(3)

(4)

定義x對變換域上β的Fourier變換及其逆變換為

(5)

對式(3)中的x進行Fourier變換，可得

(6)

將加筋路堤沿厚度方向分層，如圖2所示。假設總共有n層，且每一層的位移呈線性變化，即

圖2 加筋路堤分層示意

(7)

其中

(8)

根據(jù)Garlerkin法，有

(9)

(10)

(11)

其中

(12)

(13)

定義廣義位移和廣義應力為

(14)

則式(11)可以寫成

(15)

該方程為完全解耦的方程組，即可以寫成

(16)

該方程組可以看成多個單自由度系統(tǒng)的受迫振動，它的解是對應的齊次方程滿足初始條件的通解和滿足零初始條件的特解之和。采用勻速荷載作用下加筋路堤動位移穩(wěn)態(tài)響應作為初始條件[22]，當荷載以初速度v勻速運動時，式(12)簡化為

(17)

此時式(11)存在穩(wěn)態(tài)解，可以寫成如下形式[21]

(18)

結(jié)合式(14)，可得廣義位移的初始值為

(19)

利用式(19)所得到的初始值求解式(16)，可以求出荷載以初速度v、加速度a作勻變速運動時式(16)中廣義位移在任意時刻的通解

(20)

再利用Duhamel積分，可以得到廣義位移在任意時刻的特解為

(21)

結(jié)合式(20)和(21)，可以得到廣義位移在任意時刻的表達式為

(22)

其中，i=1,2,…,2n+4。結(jié)合式(14)，并采用Fourier逆變換，可以求出變速荷載作用下加筋路堤系統(tǒng)的動位移響應。再通過彈性力學幾何方程和本構(gòu)方程求出動應力響應。

2 數(shù)值驗證

采用兩個算例驗證本文方法的正確性。文獻[10]給出了勻速荷載作用下有限彈性層豎向位移沿深度的分布，彈性層的計算參數(shù)為：剪切模量G=100 MPa，泊松比ν=0.45，厚度h=5 m，荷載qz=400 kPa，分布寬度2L=4 m，速度v=20 m/s。本文計算結(jié)果和文獻[10]的結(jié)果如圖3所示，結(jié)果吻合很好。

圖3 本文結(jié)果與文獻[10]結(jié)果的對比

文獻[22]給出了幅值qz=3 333 Pa、分布寬度2L=0.3 m的荷載從原點開始以初速度v=0、加速度a=3 m/s2運動的過程中，彈性地基上梁不同位置的動撓度峰值。本文將路面梁模擬為路面彈性層，其彈性模量Ep=3 100 MPa，厚度hp=0.3 m，假設路面彈性層的泊松比νp=0.49[2]，用以模擬文獻[22]中的路面梁；地基的彈性模量Ef=26.9 MPa，泊松比νf=0.3，厚度hf=3 m，約束地基的水平向位移為0,只將地基分為一層，并假設路面層和地基層處于完全滑動狀態(tài)，則本文計算的模型和文獻[22]中的模型一致。本文計算的結(jié)果和文獻[22]的結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?，層間完全滑動狀態(tài)下本文的結(jié)果和文獻[22]的結(jié)果幾乎一致，僅有1.5%的誤差，這是路面模型差異導致的。層間完全連續(xù)狀態(tài)下的結(jié)果小于層間完全滑動狀態(tài)下的結(jié)果，這個規(guī)律和文獻[11]一致。從這兩個算例可以看出，本文的方法正確可行。

圖4 本文結(jié)果與文獻[22]結(jié)果的對比

3 數(shù)值分析

已有文獻大多將車載假設為勻速荷載作分析，且并未考慮水平向荷載的影響。本文將考慮荷載的變速，并考慮變速過程中荷載對路面表面產(chǎn)生的切向應力。根據(jù)JTG D50—2017《公路瀝青路面設計規(guī)范》以及文獻[3,7]，選取的參數(shù)見表1。

表1 加筋低路堤數(shù)值分析中的參數(shù)

引入反應地基土阻尼的因子ηf=0.1[12]，則地基土的彈性常數(shù)可以寫成

(23)

根據(jù)文獻[19]，荷載分布寬度2L=0.24 m，根據(jù)標準軸載BZZ-100進行換算，可得豎向荷載qz=0.42 MN/m，初始中心位置為原點，沿x軸正方向以初速度v和加速度a作勻變速運動，由理論力學不難推出荷載對路面產(chǎn)生的切應力為

(24)

其中，a和g分別表示車輛的加速度和重力加速度，g=9.8 m/s2。本文計算時選取的初速度和加速度范圍分別為v≤60 m/s和-3 m/s2≤a≤3 m/s2[22]。

3.1 接觸剛度系數(shù)對動力響應的影響

圖5 荷載勻速時不同接觸剛度系數(shù)下路面結(jié)構(gòu)層底部動力響應

3.2 加速度對動力響應的影響

圖7顯示層間完全連續(xù)條件下，荷載以不同的初速度v和加速度a運動至x=50 m時，路面結(jié)構(gòu)層底部的位移峰值。可以看出，縱向位移峰值和豎向位移峰值與加速度、初速度均呈正相關(guān)關(guān)系?？v向位移u受加速度影響較速度影響更大，且加速情況下縱向位移峰值比減速情況下位移峰值更大；相比最小豎向位移，本文計算的最大豎向位移增加了12.4%。豎向位移w受加速度的影響程度與初速度有關(guān)，當初速度為v=17.5 m/s時，a從-3 m/s2變化至3 m/s2時，位移峰值增幅為4.7%；而當初速度為32.5 m/s時，位移峰值增幅為5.8%，說明初速度越大，加速度對豎向位移峰值的影響越大，且加速的影響比減速的影響更大。

圖6 荷載變速時不同接觸剛度系數(shù)下路面結(jié)構(gòu)層底部動力響應

圖7 不同加速度條件下路面結(jié)構(gòu)層底部動位移峰值

圖8和9為荷載以初速度v=30 m/s和不同的加速度運動至x=200 m時，路面結(jié)構(gòu)層底部和地基土表面的應力分布(中心點x=200 m)?？梢钥闯觯敽奢d的加速度為0時，切應力分布關(guān)于中心點反對稱，豎向應力分布相對于中心軸左右對稱；當荷載的加速度不為0時，應力分布關(guān)于中心點非對稱，且隨著荷載加速度的增加，應力峰值逐漸增加。對于剪切應力τxz，峰值出現(xiàn)的位置逐漸由中心點負方向移動至正方向，路面結(jié)構(gòu)層底部和地基表面剪切應力的最大增幅分別可達29.4%和22.7%；對于正應力σz，最大壓應力始終位于中心點，且隨著加速度的增加，應力幅值逐漸增加，路面結(jié)構(gòu)層底部和地基表面正應力的最大增幅分別為4.9%和4.4%。由此可見，加速度對路面結(jié)構(gòu)層底部和地基表面的應力有很大影響，對剪應力影響更大，應予以充分考慮。

圖8 不同加速度條件下路面結(jié)構(gòu)層底部應力分布

圖9 不同加速度條件下地基表面應力分布

圖10給出了荷載以相同的速度v=30 m/s和不同的加速度從初始位置運動至x=200 m的過程中，x=200 m正下方的路面結(jié)構(gòu)層底部和地基表面動應力路徑圖?？梢钥闯?，路面結(jié)構(gòu)層底部的動應力路徑形狀和地基表面的動應力路徑形狀不同。隨著加速度的增加，路面結(jié)構(gòu)層底部的動應力路徑的大小增加，而地基表面的動應力路徑不僅大小增加，也朝順時針旋轉(zhuǎn)。加速情況下地基表面的動應力路徑明顯大于勻速情況和減速情況。綜上，加速荷載相較勻速荷載更容易導致地基土的不均勻沉降[23]，應在道路設計時充分考慮加速度對道路沉降的影響。

圖10 不同加速度條件下加筋低路堤動應力路徑

3.3 加筋低路堤應力參數(shù)分析

為方便分析應力在加筋低路堤內(nèi)的應力傳遞規(guī)律，定義剪應力比τ為地基表面最大剪應力與路堤填土表面最大剪應力之比，定義正應力比σ為地基表面最大正應力與路堤填土表面最大正應力之比，即

(25)

圖11顯示荷載以初速度v=30 m/s和不同的加速度運動至x=200 m時，不同路堤高度下的剪應力比和正應力比?？梢钥闯?，隨著路堤高度的減小，剪應力比和正應力比均增大，說明在低路堤的情況下，應力在路堤中的衰減較小。隨著加速度的增加，正應力比逐漸增加，剪應力比先減小，后趨于穩(wěn)定，這說明加速度對于正應力和剪應力在加筋低路堤中的衰減有一定的影響。

圖11 不同加速度條件下的應力比

圖12顯示荷載以初速度v=30 m/s和加速度a=2 m/s2運動至x=200 m時，不同路堤高度、筋材剛度條件下的剪應力比和正應力比?？梢钥闯觯斀畈膭偠纫欢〞r，隨著路堤高度的增加，剪應力比和正應力比均減少，正應力比下降的幅度要大于剪應力比；隨著筋材剛度的增加，剪應力比先增加后下降，正應力比一直下降，且都逐漸趨于穩(wěn)定。對于加筋低路堤的情況，應力在路堤中的衰減較少，仍有很大一部分應力傳遞至地基表面。增大筋材剛度能有效增加應力的衰減，減少地基表面的應力。當路堤高度為1.5 m時，筋材剛度從10 MPa增加到290 MPa,剪應力比減小47.9%，正應力比減小29%；當路堤高度為3 m時，剪應力比減小34.9%，正應力比減小20.6%。這說明增加筋材剛度可以導致加筋低路堤中應力的衰減，且這種影響隨著路堤高度的減小而增加。因此，在加筋低路堤中，采用剛度較大的加筋材料，可有效減少傳遞至地基土表面的應力。

圖12 不同路堤高度、筋材剛度條件下的應力比

4 結(jié) 論

提出一種模態(tài)疊加法、Duhamel積分和Fourier逆變換相結(jié)合的方法，得到了加筋低路堤在變速荷載作用下動應力和動位移的數(shù)值解，通過與已有文獻的計算結(jié)果對比，驗證了本文方法的正確性，通過對加筋低路堤進行參數(shù)分析，得出了以下結(jié)論：

1)筋材上下表面的接觸剛度對加筋低路堤路面結(jié)構(gòu)層底部的位移影響顯著，尤其是對縱向位移的影響更明顯，在荷載變速時這種影響更大。因此，在加筋低路堤的設計中，應盡量使筋材上下表面處于完全連續(xù)狀態(tài)，以防止路面結(jié)構(gòu)層過大的變形，減少路面結(jié)構(gòu)的疲勞。

2)相較減速荷載和勻速荷載，加速荷載會引起更大的位移響應和更大的應力峰值，而且路面結(jié)構(gòu)層底部和地基表面的動應力路徑更大，這主要是由速度的增加以及荷載變速時產(chǎn)生的水平應力導致。因此，在工程中應當充分考慮荷載變速的影響，尤其是加速荷載的影響。

3) 加速度對于正應力和剪應力在加筋路堤中的衰減有一定的影響。隨著加速度的增加，正應力比逐漸增加，剪應力比先減小，后趨于穩(wěn)定。說明荷載在加速過程中，應力在加筋低路堤中的衰減有所減小。

4)對于加筋低路堤的情況，由于路堤高度較低，應力在路堤中的衰減較少，仍有很大一部分應力傳遞至地基表面。增加筋材剛度可以增加應力在加筋低路堤中的衰減，減小傳遞至地基表面的應力，且這種影響隨著路堤高度的減小而增加。因此，應該在加筋低路堤中采用剛度較大的筋材，減少傳遞至地基土表面的應力，從而減小荷載變速對加筋低路堤的影響。

后續(xù)研究可以考慮車輛由于路面不平整度產(chǎn)生的附加動荷載和變速過程中前后輪對地面壓力變化產(chǎn)生的影響，完善交通荷載作用下加筋低路堤的動力響應研究。

附 錄