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    右C-qrpp半群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)

    2022-07-05 03:29:10饒冬飛鄧梓楊
    關(guān)鍵詞:半格對(duì)偶同構(gòu)

    饒冬飛,鄧梓楊

    (豫章師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,江西 南昌 330103)

    在半群S中,稱a為正則元,若?x∈S使得axa=a;稱S為正則半群,若半群S的元素都是正則元;正則半群S稱為完全正則半群若S中任意元素a,?x∈S使得xa=ax,它在研究正則半群的結(jié)構(gòu)理論中起著重要作用。在rpp半群范圍內(nèi)完全正則半群的類似,Guo-Shum-Zhu[1]定義了強(qiáng)-rpp半群并介紹了半織積概念,證得了:一個(gè)半群是左C-rpp的當(dāng)且僅當(dāng)該半群同構(gòu)于一個(gè)左正則帶與一個(gè)C-rpp半群的某個(gè)半織積。隨后,許多學(xué)者進(jìn)行強(qiáng)-rpp半群的研究工作[2-6]。Tang[7-8]引進(jìn)Green**關(guān)系L**,R**,定義并研究了C-wrpp半群。作為強(qiáng)rpp半群在wrpp半群范圍的一般化,Du-Shum[9]定義了適當(dāng)wrpp半群,研究了左C-wrpp半群的半織積結(jié)構(gòu)。饒[10]定義的強(qiáng)qrpp半群是強(qiáng)rpp半群在wrpp半群范圍的另外一種推廣,探討了這一半群的子類右C-qrpp半群,獲得了右C-qrpp半群的一些特征。

    本文是對(duì)右C-qrpp半群的進(jìn)一步研究,發(fā)現(xiàn)它與右C-rpp半群[6]有一些相似的特征,文章的最后部分定義了對(duì)偶半織積,證得:一個(gè)半群是右C-qrpp的當(dāng)且僅當(dāng)該半群同構(gòu)于一個(gè)C-wrpp半群與一個(gè)右正則帶的對(duì)偶半織積。

    1 若干準(zhǔn)備

    定義1.1[8]半群S稱為左(右)K可消的:若?a,x,y∈S,axKay(xaKya)?xKy,其中K是S上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。半群S稱為K可消的:若S既左K可消又右K可消。

    設(shè)S為半群,定義關(guān)系L**,R**:對(duì)于a,b∈S

    aL**b當(dāng)且僅當(dāng)?x,y∈S1,(ax,ay)∈R?(bx,by)∈R;

    aR**b當(dāng)且僅當(dāng)?x,y∈S1,(xa,ya)∈L?(xb,yb)∈L[8]

    L**是S上的右同余且L?L*?L**而R**是S上的左同余且R?R*?R**。記R(+)=R,L(+)=L**H(+)=L(+)∩R(+),D(+)=L(+)∨R(+),且aJ(+)b?J(+)(a)=J(+)(b)[9],其中J(+)(a)是包含a,既被L(+)滲透,又被R(+)滲透的最小理想。換句話說,J(+)(a)是些L(+)類的并,也是些R(+)類的并。

    定義1.2[10]稱S為qrpp半群若半群S的每一個(gè)L(+)類至少含有一個(gè)冪等元;稱S為強(qiáng)qrpp半群若qrpp半群S滿足:?a∈S,存在唯一的冪等元a+,使得a+L(+)a且aa+=a=a+a。

    可以看出,適當(dāng)wrpp半群[9]是強(qiáng)qrpp半群,一個(gè)C-wrpp半群S本質(zhì)上是冪等元集E(S)是中心的qrpp半群。

    定義1.3[10]稱S為右C-qrpp半群,若強(qiáng)qrpp半群S滿足:①D(+)是S上的一個(gè)同余,②對(duì)于?e∈E(S),Se?eS,③D(+)|Reg(S)=D|Reg(S),其中Reg(S)是S的正則元集。

    引理1.1[9]半群S是C-wrpp半群當(dāng)且僅當(dāng)半群S左R可消幺半群的強(qiáng)半格。

    定義1.4[11]稱半群B為帶若B內(nèi)每個(gè)元都是冪等元;稱帶B為右正則帶若?b1,b2∈B,b1b2b1=b2b1。注意到,一個(gè)右正則帶B的每個(gè)L類僅有一個(gè)元[11]。

    引理1.2[10]設(shè)S是一個(gè)強(qiáng)qrpp半群,以下命題等價(jià):

    (1)S是右C-qrpp半群;

    (2)D(+)是S上的半格同余,且D(+)|Reg(S)=R|Reg(S);

    (3)S=∪α∈Y(Mα×Λα),其中Y為半格,且Mα是左R可消幺半群,Λα是右零帶。

    設(shè)S=∪α∈Y(Mα×Λα),其中Y為半格,Mα是左R可消幺半群,Λα是右零帶。記M=∪α∈YMα,對(duì)M的元素定義運(yùn)算?:

    ?u∈Mα,v∈Mβ,α,β∈Y,u?v=w??λ∈Λα,τ∈Λβ使得(u,λ)(v,τ)=(w,k),

    其中(w,k)∈Mαβ×Λαβ。容易看出?u,v∈Mα,α∈Y,u?v=uv,其中uv是u,v在Mα中的乘積。

    引理1.3[8](M,?)是一個(gè)左R可消幺半群的強(qiáng)半格。

    引理1.4[9]任一個(gè)半群S上都成立:L(+)°R(+)=R(+)°L(+)且D(+)=L(+)°R(+)。

    命題1.1若強(qiáng)qrpp半群S具有半格分解:S=∪α∈YSα,其中Sα是強(qiáng)qrpp半群,則:

    a∈Sα?a+∈Sα;

    (2)L(+)(S)∩(Sα×Sα)=L(+)(Sα).

    證明(1)令a∈Sα,?a+∈E(S),使得a+L(+)(S)a及aa+=a=a+a。假設(shè)a+∈Sβ,因?yàn)閍+a=a,所以α≤β。Sα是強(qiáng)qrpp半群,故存在唯一a◇∈E(Sα),使得a◇L(+)(Sα)a,aa◇=a=a◇a。因?yàn)閍a+=a,所以(aa+,aa◇)∈R;又a+L(+)(S)a,得(a+,aa◇)∈R.于是a+a◇∈Sβ,從而α≥β。這就是說,α=β及a+∈Sα。

    (2)設(shè)a,b∈Sα且aL(+)(S)b.若x,y∈S1且滿足(ax,ay)∈R(Sα),則(ax,ay)∈R(S)。注意到aL(+)(S)b,于是(bx,by)∈R(S)。我們斷言:(bx,by)∈R(Sα)。實(shí)際上,存在u,v∈S1使得bxu=by及byv=bx;因而bx(bx)+u=by及by(by)+v=bx;由結(jié)論(1)知,(bx)+u,(by)+v∈Sα,我們得到(ax,ay)∈R(Sα)?(bx,by)∈R(Sα)。反之,(bx,by)∈R(Sα)?(ax,ay)∈R(Sα)。于是結(jié)論(2)成立。

    命題1.2設(shè)M是左R可消幺半群且Λ是右零帶,則直積M×Λ是L(+)單的強(qiáng)qrpp半群。

    證明設(shè)(a,e),(b,f)∈M×Λ,易見(a,e)R(b,f)?aRb??闪?x,g),(y,h)∈(M×Λ)1,且(a,e)(x,g)R(a,e)(y,h),則axRay。由M是左R可消幺半群知:xRy。由R是個(gè)右同余,則bxRby,因而(b,f)(x,g)R(b,f)(y,h)。反之,(b,f)(x,g)R(b,f)(y,h)蘊(yùn)含(a,e)(x,g)R(a,e)(y,h)。故(a,e)L(+)(b,f),即直積M×Λ是L(+)單半群,(a,e)L(+)(1,e)蘊(yùn)含M×Λ是qrpp半群。

    再來證明M×Λ是強(qiáng)qrpp半群。易見(1,e)(a,e)=(a,e)=(a,e)(1,e)。設(shè)冪等元(1,f)滿足(1,f)L(+)(a,e)且(1,f)(a,e)=(a,e)=(a,e)(1,f),于是fe=e=ef,考慮到Λ是右零帶,有f=e,故M×Λ是強(qiáng)qrpp半群。

    定義1.5右C半群是指正則半群滿足條件?e∈E(S),Se?eS,其中E(S)是S的冪等元集。右C半群是左C半群[12]的對(duì)偶。

    引理1.5[12](1)在右C半群中有:D=R;

    (2)設(shè)S是半群,則S是右C半群當(dāng)且僅當(dāng)S是完全正則半群且E(S)是右正則帶。

    命題1.3設(shè)S是半群,若S=∪α∈Y(Mα×Λα),其中Y為半格,且?α∈Y,Mα是左R可

    消幺半群,Λα是右零帶,則D(+)|Reg(S)=R|Reg(S).

    證明記Sα=Mα×Λα,幺半群的單位元1唯一,Mα是左R可消,e2=e?(e2,e)∈R

    ?(e,1)∈R?e·1=1?e=1,可設(shè)E(Sα)={((1α,i)|i∈Λα},其中1α是Mα的單位元。

    設(shè)a∈Reg(S)∩Sα,b∈Reg(S)∩Sβ,aD(+)b,根據(jù)引理1.4知,存在c∈S使得

    aL(+)cRb;設(shè)u∈Sα,v∈Sβ,uR(S)v?α=β,因而c∈Sβ??稍O(shè)c=(cβ,iβ),易見

    cRc(1β,iβ)。又aL(+)c,故aRa(1β,iβ)。于是α=αβ?α≤β。利用D(+)的對(duì)稱性可得

    β≤α,于是α=β。根據(jù)Reg(S)中任何兩個(gè)元必有R關(guān)系,于是aRb。這就得到了

    D(+)|Reg(S)?R|Reg(S),由D(+)定義可知,D(+)|Reg(S)?R|Reg(S),結(jié)論成立。

    2 右C-qrpp半群的性質(zhì)

    我們來探討一些右C-qrpp半群的性質(zhì)。

    引理2.1在半群S中,若?e∈E(S),有Se?eS,則Reg(S)是右C半群。

    證明設(shè)e,f∈E(S),ef∈Sf?fS??x∈S,ef=fx=ffx=fef。于是ef·ef=e·fef=e·ef=ef,從而E(S)是右正則帶。這就表明:Reg(S)是S的子半群。再由Se?eS?Reg(S)e?eReg(S)可知Reg(S)是右C半群。

    在強(qiáng)qrpp半群S上,定義關(guān)系aR(◇)b?a+Rb+,易見:R(◇)是S上的等價(jià)關(guān)系,且R(◇)?D(+).

    定理2.2設(shè)S是一個(gè)強(qiáng)qrpp半群且D(+)|Reg(S)=D|Reg(S),則S是右C-qrpp半群當(dāng)且僅當(dāng)

    R(◇)是S上的半格同余且?e∈E(S),Se?eS。

    證明(?)設(shè)S是右C-qrpp半群,根據(jù)定義1.3,只需證明R(◇)是S上的半格同余。由引理1.2可設(shè)S=∪α∈Y(Mα×Λα),其中Y為半格,且?α∈Y,Mα是左R可消幺半群,Λα是右零帶。根據(jù)命題1.2知,Mα×Λα(α∈Y)是L(+)單的強(qiáng)qrpp半群。當(dāng)我們設(shè)(a,i)∈Mα×Λα,(b,j)∈Mβ×Λβ時(shí),會(huì)有(a,i)+∈Mα×Λα,(b,j)+∈Mβ×Λβ,于是(a,i)+=(1α,i),(β,j)+=(1β,j)。因而(a,i)R(◇)(b,j)?(1α,i)R(1β,j)?α=β。這就表明:R(◇)=∪α∈Y((Mα×Λα)×(Mα×Λα)),即R(◇)是S上的半格同余。

    (?)設(shè)R(◇)是S上的半格同余且?e∈E(S),有Se?eS,根據(jù)引理3.1,Reg(S)是右C半群,根據(jù)引理1.5(1),DReg(S)=RReg(S)。設(shè)a,b∈Reg(S)且aDb,則?c∈Reg(S),使得aLcRb,故aDReg(S)b,即DReg(S)=D|Reg(S)。根據(jù)第二章命題4.5[11]得,RReg(S)=R|Reg(S),故D|Reg(S)=R|Reg(S).由大前提D(+)|Reg(S)=D|Reg(S)知:D(+)|Reg(S)=R|Reg(S)。只需再證明,R(◇)=D(+)。aD(+)b?a+D(+)b+且a+Rb+,故aR(◇)b。

    即R(◇)?D(+),顯然有R(◇)?D(+)。

    推論2.3設(shè)S是一個(gè)強(qiáng)qrpp半群且D(+)|Reg(S)=D|Reg(S),則S是右C-qrpp半群當(dāng)且僅當(dāng)

    R(◇)是S上的半格同余且Reg(S)是右C半群。

    證明(?)設(shè)S是右C-qrpp半群,根據(jù)定理2.2得,R(◇)是S上的半格同余且?e∈E(S),有Se?eS,由引理2.1得,Reg(S)是右C半群。

    (?)在定理2.2的?證明中已證。

    引理2.4[13]在帶B中,B是右正則的當(dāng)且僅當(dāng)B右零帶的半格。

    定理2.5設(shè)S是一個(gè)強(qiáng)qrpp半群且D(+)|Reg(S)=D|Reg(S),?e∈E(S),有Se?eS,則下列條件等價(jià):(1)S是右C-qrpp半群,

    (2)R(◇)=J(+),

    (3)D(+)=J(+)。

    證明:(1?2)設(shè)S是右C-qrpp半群,根據(jù)定理2.2,則R(◇)是S上的半格同余。可設(shè)S=∪α∈YSα,其中Y是半格,Sα是S的一個(gè)R(◇)類。令a∈Sα,b∈Sβ,則J(+)(a)=∪x∈J(+)(a)Jx(+).而R(◇)?D(+)?J(+),有J(+)(a)=∪γ∈Y,γ≤αSγ,J(+)(b)=∪γ∈Y,γ≤βSγ故J(+)(a)=J(+)(b)當(dāng)且僅當(dāng)α=β。因此,aJ(+)b?J(+)(a)=J(+)(b)?α=β且R(◇)=J(+)。

    (2?3)由R(◇)?D(+)?J(+)且R(◇)=J(+)可知D(+)=J(+)。

    (3?1)設(shè)D(+)=J(+).?e∈E(S),有Se?eS,根據(jù)引理2.1可知,Reg(S)是右C半群,根據(jù)引理1.5(1)得,DReg(S)=RReg(S),進(jìn)而D(+)|Reg(S)=R|Reg(S).還需證明,R(◇)是S上的半格同余。分兩步來證明:第一步,證明J(+)是S上的半格同余。L(+)是S上的右同余,a∈S,有a2L(+)a+a,a2J(+)(a).于是J(+)(a2)=J(+)(a)。設(shè)u,v∈S,則J(+)(uv)=J(+)((uv)2)=J(+)(u(vu)v)?J(+)(vu),同理J(+)(vu)?J(+)(uv),故J(+)(vu)=J(+)(uv)。設(shè)a,b,u∈SauL(+)a+uJ(+)ua+L(+)u+a+,buL(+)b+uJ(+)ub+L(+)u+b+,即auJ(+)u+a+,buJ(+)u+b+。設(shè)aJ(+)b,則a+Rb+,由引理2.4得u+a+Ru+b+,根據(jù)J(+)的定義得auJ(+)bu。

    故J(+)是S上的半格同余。第二步,aJ(+)b?aD(+)b?a+D(+)b+?a+Rb+,于是aR(◇)b,即J(+)?R(◇)從而J(+)=R(◇).綜合第一步和第二步得R(◇)是S上的半格同余。

    設(shè)B=∪α∈YEα是帶B的矩形帶半格分解,若e∈Eα,為了方便,E(e)表示Eα,Eα≤Eβ表示EαEβ?Eα.

    引理2.6[8]半群S是C-wrpp半群當(dāng)且僅當(dāng)S是左R可消幺半群的強(qiáng)半格。(Theorem3.1[8])。

    定理2.7設(shè)S是強(qiáng)qrpp半群,其冪等元集E(S)是個(gè)帶,則S是右C-qrpp半群當(dāng)且僅當(dāng)ζ={(x,y)∈S×S|(?f∈E(y+))x=yf}是S上的C-wrpp半群同余。

    (u,i)ζS(v,j)??(k∈Λβ)(u,i)=(v,j)(1β,k)?u=v且α=β。反過來,若u=v且α=β,則(u,i)=(v,j)(1α,i)?(u,i)ζ(v,j)。這就是說,(u,i)ζ(v,j)當(dāng)且僅當(dāng)u=v且α=β。

    根據(jù)同余和同構(gòu)的定義有:ζ={(x,y)∈S×S|(?f∈E(y+))x=yf}是S上的同余且S/ζ?M。ζ是S上的C-wrpp半群同余。

    (?)設(shè)ζ={(x,y)∈S×S|(?f∈E(y+))x=yf}是S上的C-wrpp半群同余。若aζ是冪等元,即(a2,a)∈ζ,則?f∈E(a+)使得a2=af,于是a2=a2a+=afa+=aa+fa+=aa+=a∈E(S)。也就是說,ζ是冪等元純的。可以斷言,ζ|E(S)=R|E(S)。實(shí)際上,ζ?R(y=yy+=yy+fy+=yfy+=xy+)。設(shè)e,f∈E(S)且eRf,則E(e)=E(f),e=fe,即eζf。故ζ|E(S)=R|E(S)。

    下面證明ζ是保持L(+)類的。?x,y∈S1,若(aζ·xζ,aζ·yζ)∈R,則((ax)ζ,(ay)ζ)∈R,即?u,v∈S1,使得(axu)ζ=(ay)ζ,(ayv)ζ=(ax)ζ。由ζ?R得,(axu,ay)∈R,(ax,ayv)∈R。設(shè)(a,b)∈L(+),則(bxu,by)∈R,(bx,byv)∈R。?s,t∈S1使得bxus=by,bx=byvt,則(bxus)ζ=(by)ζ,(bx)ζ=(byvt)ζ,即((bx)ζ,(by)ζ)∈R.這就是說(a,b)∈L(+),則?x,y∈S1,(aζ·xζ,aζ·yζ)∈R?(bζ·xζ,bζ·yζ)∈R,反過來(bζ·xζ,bζ·yζ)∈R?(aζ·xζ,aζ·yζ)∈R,即(aζ,bζ)∈L(+).

    以下記E(S)為E,概括起來已經(jīng)證得,E/(ζ|E)=E(S)/(R|E)=E(S/ζ)是個(gè)半格,即E是右零帶的半格,根據(jù)引理2.4,E右正則帶。可設(shè)E=∪α∈YΛα,其中Y是半格,Λα是右零帶。可看做Y=E(S/ζ)。根據(jù)引理2.6,S/ζ=∪α∈YMα,其中Y是半格,Λα是左R可消幺半群。記T=∪α∈Y(Mα×Λα),可以定義映射θ:S→T,θs=(sζ,s+),設(shè)(m,λ)∈T,則?s∈S,使得sζ=m,s+Rλ,s+ζ=λζ.故(sλ)ζ=sζ·λζ=sζ·s+ζ=(ss+)ζ=sζ=m.又sλL(+)s+λ=λ,sλλ=sλ=s+sλ=λs+sλ=λsλ得,(sλ)+=λ。因而(sλ)θ=(m,λ)且θ是滿射。對(duì)于θ,有sθ=tθ?sζt且s+=t+,又sζt?(?e∈E(t+))s=te,于是s=ss+=tet+=tt+et+=tt+=t,故θ是雙射。

    在T上定義?:(sζ,s+)?(tζ,t+)=((st)ζ,(st)+),易見運(yùn)算滿足結(jié)合律,故(T,?)是半群且θ是同構(gòu)映射。另一方面,(sζ,s+),(tζ,t+)∈Mα×Λα?t+s+=s+,s+t+=t+,故stL(+)s+t=(s+t+)t=t+t=tL(+)t+.由stt+t=st=s+st=t+s+st=t+st得,(st)+=t+,(st)+=s+t+,這就表明T是Mα×Λα的半格,根據(jù)引理1.2得S是右C-qrpp半群。

    3 右C-qrpp半群的半織積結(jié)構(gòu)

    半織積的概念由文[1]提出來,受其啟發(fā),下面給出右C-qrpp半群對(duì)偶半織積結(jié)構(gòu)。

    定義3.1設(shè)T=∪α∈YTα,Λ=∪α∈YΛα分別是半群T和Λ在半格Y上的分解。構(gòu)造Cartesian積Sα=Tα×Λα,令S=∪α∈YSα,建立映射η:S→Tr(Λ),(a,λ)|→η(a,λ),μη(a,λ)=μ(a,λ),其中Tr(Λ)是半群Λ上的右平移變換構(gòu)成的半群,設(shè)(a,λ)∈Sα,(b,μ)∈Sβ,要求η滿足:

    (C1)μ(a,λ)∈Λαβ;(C2)當(dāng)α≤β時(shí),μ(a,λ)=μλ;(C3)η(a,λ)η(b,μ)=η(ab,λ(b,μ)),

    引理3.2[7]設(shè)Y是半格,S=[Y;Sα,θα,β]是Sα的強(qiáng)半格,則R(Sα)=R(S)∩(Sα×Sα)。

    (1)E(S)=∪α∈Y({1α}×Λα);

    (2)?(a,λ)∈Tα×Λα,(a,λ)L(+)(1α,λ);

    (3)S是右C-qrpp半群且?(a,λ)∈Tα×Λα,(a,λ)(+)=(1α,λ).

    證明(1)若(a,λ)2=(a,λ),則?α∈Y使得(a,λ)∈Sα且a2=a∈Tα.注意到Tα是左R可消幺半群,則a=1α.反過來,(1α,λα)2=(1α1α,λα(1α,λα))=(1α,λαλα)=(1α,λα)。故E(S)=∪α∈Y({1α}×Λα)。

    (2)設(shè)(x,j),(y,k)∈S1,(a,λ)(x,j)R(a,λ)(y,k),則axRay?(?γ∈Y)ax,ay∈Tγ。

    由引理3.2得axR(Tγ)ay,又Tγ是左R可消幺半群,故1αxR(Tγ)1αy.計(jì)算(1α,λ)(x,j)=(1αx,uγ),(1α,λ)(y,k)=(1αy,vγ),由Λγ是右零帶可知,(1α,λ)(x,j)R(1α,λ)(y,k)。

    反過來,若(1α,λ)(x,j)R(1α,λ)(y,k),由R是左同余知(a,λ)(x,j)R(a,λ)(y,k)。

    故?(a,λ)∈Tα×Λα,(a,λ)L(+)(1α,λ)。

    定理3.4設(shè)S是半群,則S是右C-qrpp半群當(dāng)且僅當(dāng)S同構(gòu)于一個(gè)C-wrpp半群和一個(gè)右正則帶的對(duì)偶半織積。

    證明(?)根據(jù)引理2.6和定理3.3得證;

    (?)設(shè)S是右C-qrpp半群。根據(jù)引理2.1和引理1.5(2),冪等元集E是右正則帶。設(shè)E=∪α∈YEα是E的右零帶Eα半格分解,根據(jù)定理2.7,Y?E(S/ζ),不妨假設(shè)Y=E(S/ζ)。根據(jù)引理2.6,設(shè)S/ζ=∪α∈YMα是C-wrpp半群S/ζ的左R可消幺半群Mα的強(qiáng)半格分解,其中的每個(gè)Mα都是S/ζ的一個(gè)L(+)類[8],記M=S/ζ,T=∪α∈Y(Mα×Eα),由定理2.7的證明可知,映射θ:S→T,θs=(sζ,s+)是雙射,T關(guān)于?:(sζ,s+)?(tζ,t+)=((st)ζ,(st)+)是半群且S?T。

    可以建立映射τ:T→Γr(E),(sζ,s+)|→τ(sζ,s+);其中iτ(sζ,s+)=i(sζ,s+)=(is)+,Γr(E)是E的右平移變換半群。由于L(+)是右同余,于是s1s2L(+)s1+s2,根據(jù)命題1.3得,(s1s2)+R(s1+s2)+,因而,(s1+s2)+(s1s2)=(s1+s2)+(s1s2)+(s1s2)=(s1s2)+(s1s2)=s1s2=s1s1+s2=s1(s1+s2)(s1+s2)+=(s1s2)(s1+s2)+,即(s1s2)+=(s1+s2)+。

    計(jì)算得,(s1ζ,s1+)?(s2ζ,s2+)=((s1s2)ζ,(s1s2)+)=((s1s2)ζ,(s1+)(s2ζ,s2+)),這滿足定義3.1(C1);設(shè)(aζ,a+)∈Mα×Eα,e∈Eβ,α≤β,計(jì)算得,

    (eζ,e)?(aζ,a+)=(eζ,e)?(a+ζ,a+)?(aζ,a+)=((ea+)ζ,ea+)?(aζ,a+)=((ea)ζ,ea+)=((ea)ζ,e(aζ,a+))

    這滿足定義3.1(C2);設(shè)(bζ,b+)∈Mβ×Eβ,f∈Eγ,計(jì)算得,

    (eζ,e)?(aζ,a+)?(bζ,b+)=(eζ,e)?((ab)ζ,(a+)(bζ,b+))=((eab)ζ,eτ((ab)ζ,(a+)(bζ,b+)))

    (eζ,e)?(aζ,a+)?(bζ,b+)=((ea)ζ,e(aζ,a+))?(bζ,b+)

    =((eab)ζ,eτ(aζ,a+)τ(bζ,b+))

    于是,τ((ab)ζ,(a+)(bζ,b+))=τ(aζ,a+)τ(bζ,b+),這滿足定義3.1(C3);

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