探究“發(fā)現(xiàn)法”解題的運(yùn)用

李贏

“一聽(tīng)就會(huì)，一做就錯(cuò)”是現(xiàn)代中學(xué)生的通病，如何培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，化被動(dòng)為主動(dòng)，把知識(shí)不僅僅是聽(tīng)會(huì)，而是轉(zhuǎn)化為自己內(nèi)在的本領(lǐng)，這是一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題。數(shù)學(xué)中常用的思想方法有很多種，他是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種本質(zhì)上的認(rèn)識(shí)，是一種需要長(zhǎng)期積累和大量練習(xí)后總結(jié)歸納出的一種隱性知識(shí)，需要教師精心設(shè)計(jì)內(nèi)容和例題，學(xué)生通過(guò)反復(fù)練習(xí)才能有所收獲。讓學(xué)生在獲取知識(shí)的同時(shí)自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題，往往比教師單一講授更有效果，在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)“發(fā)現(xiàn)法”的運(yùn)用，經(jīng)常會(huì)起到事半功倍的效果。下面就教學(xué)中幾個(gè)實(shí)例分析一下“發(fā)現(xiàn)法”在解題中的運(yùn)用。

一、數(shù)學(xué)思想的發(fā)現(xiàn)

從題目的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，揭示問(wèn)題的實(shí)質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，挖掘隱含條件，應(yīng)用函數(shù)與方程的思想，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，應(yīng)用其性質(zhì)解題，根據(jù)題目的特點(diǎn)，抓住關(guān)鍵變量和關(guān)系，構(gòu)造方程進(jìn)行求解。在選擇、填空等小題的解答中，數(shù)形結(jié)合思想發(fā)揮了其優(yōu)越的特性，既節(jié)約了解題時(shí)間，還能起到事半功倍的效果。數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，數(shù)形分離萬(wàn)事休。以數(shù)解形式解析幾何問(wèn)題的主線，以形助數(shù)是函數(shù)問(wèn)題的良策。有時(shí)一個(gè)問(wèn)題很大，整體看時(shí)無(wú)從下手，這時(shí)將問(wèn)題分類(lèi)討論，各個(gè)擊破，從而最終解決整個(gè)問(wèn)題，這時(shí)分類(lèi)討論思想的重要體現(xiàn)。見(jiàn)到陌生問(wèn)題先不要著急，將陌生轉(zhuǎn)化為熟知，化繁為簡(jiǎn)，才能使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。轉(zhuǎn)化思想與化歸思想的目的都是將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將陌生問(wèn)題熟悉化，最終將問(wèn)題化為易解決的基本問(wèn)題。在解題前先發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其使用的思想方法，是解題的基本脈絡(luò)。

二、數(shù)學(xué)方法的發(fā)現(xiàn)

在解題中，數(shù)學(xué)方法也很重要。比如在考察三視圖的問(wèn)題時(shí)，要求同學(xué)們的空間想象能力，應(yīng)用正確的數(shù)學(xué)方法，才能把空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，借助三視圖為載體，考察對(duì)空間幾何體的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而考察學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，對(duì)分類(lèi)思想、數(shù)形結(jié)合思想、閱讀能力和推理能力，都有較高的要求。在解答多變?cè)獑?wèn)題時(shí)，很多同學(xué)不知該從何下手，無(wú)處落筆。那么到底該如何解決呢？消元和減元應(yīng)該是首選的數(shù)學(xué)方法。通過(guò)這種方法，能使問(wèn)題方向明確，思路清晰，解法明朗。通過(guò)和積轉(zhuǎn)化法、賦值法、整體變換法，將其中一個(gè)變量看為主元，其他變量看成常數(shù)，這樣就能是問(wèn)題中只有一個(gè)變量為主元，從而將問(wèn)題化難為易。挖掘隱含條件，也可以將題目巧妙的解決出來(lái)。平時(shí)還可以多研究一些競(jìng)賽題，將其重要的和常用的結(jié)論推廣，在一些小題上也可以進(jìn)行秒殺。有些不等式問(wèn)題，從正面入手直接證明，往往會(huì)很棘手，這時(shí)若從他的反面去想，觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征和實(shí)質(zhì)，將題目中要證明的結(jié)論當(dāng)做已知條件，依托數(shù)學(xué)關(guān)系去題目中尋找條件，構(gòu)造一種新的數(shù)學(xué)模型，往往會(huì)找到入手方向，執(zhí)果索因，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題都有很大幫助。

三、解題思維的發(fā)現(xiàn)

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，是素質(zhì)教育的目的之一。解決習(xí)題不僅能幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，還能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。教學(xué)中不僅教給學(xué)生解題的方法，還要啟發(fā)學(xué)生積極的思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。例如在教授橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一課時(shí)，學(xué)生自己總結(jié)橢圓的定義是很不容易的，這時(shí)通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)及多媒體的演示，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形的規(guī)律，進(jìn)而總結(jié)得出定義。畫(huà)圖的過(guò)程中，哪些量一直保持不變？

根據(jù)圖形生成過(guò)程，怎么歸納橢圓的定義？預(yù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)定義的理解不透徹，所以提出兩個(gè)問(wèn)題幫助學(xué)生分析兩個(gè)字母所代表的含義，為下面探尋定義的條件和推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程做鋪墊，便于學(xué)生在圖形的生成過(guò)程中找到等量關(guān)系，總結(jié)歸納出橢圓的定義，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。形成變化中的不變性的正確世界觀，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。得到定義后怎么用方程表示，提出問(wèn)題求曲線方程步驟？如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系？點(diǎn)的坐標(biāo)怎么表示？等量關(guān)系是什么？問(wèn)題層層遞進(jìn)，便于學(xué)生思考時(shí)有方向、有入手點(diǎn)，運(yùn)用舊知生成新知，使知識(shí)之間相互聯(lián)系，前后呼應(yīng)。由例一提供了運(yùn)算方面的支持，使難度降低，突破了難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。將復(fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想。例題一來(lái)源于課后習(xí)題，目的是為了讓學(xué)生熟悉定義的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，而且通過(guò)三個(gè)不同的2a的值，明確a與c大小不同時(shí)得到的圖形是不同的，從而將定義完善。學(xué)生分組討論，有的用定義畫(huà)圖解決，有的推導(dǎo)方程，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。讓學(xué)生區(qū)分焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上時(shí)方程的不同形式。根據(jù)例題二，已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。經(jīng)過(guò)前面的練習(xí)，學(xué)生大多都會(huì)用定義法求出標(biāo)準(zhǔn)方程，再提出問(wèn)題：還有沒(méi)有其他求方程的辦法？給出求方程的另一種常用方法--待定系數(shù)法，學(xué)生討論兩種方法的內(nèi)容和使用條件，總結(jié)規(guī)律。體現(xiàn)一題多解思想。?? 一題多變滿(mǎn)足不同問(wèn)題需求，做到習(xí)題設(shè)置量少、精深、面廣。課堂檢測(cè)判斷下列方程哪個(gè)能表示橢圓？對(duì)學(xué)生提問(wèn)檢測(cè)，如果第一組完成較容易，直接給出第二組練習(xí);如果第一組完成較困難，則直接給出課堂檢測(cè)二求焦點(diǎn)坐標(biāo)，繼續(xù)認(rèn)識(shí)a，b，c.把第二組當(dāng)做例題為學(xué)生詳細(xì)講解。鞏固橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，深化對(duì)方程的理解，由淺入深，難度適中。歸納方法，形成技能。通過(guò)備選習(xí)題： 2010年10月26日，嫦娥二號(hào)衛(wèi)星成功實(shí)現(xiàn)第二次近月制動(dòng)，衛(wèi)星進(jìn)入距月球表面近月點(diǎn)高度約15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)高度約100km，以月球的球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道。已知月球半徑3475km，求衛(wèi)星運(yùn)行的軌跡方程。書(shū)后的習(xí)題改編，求嫦娥二號(hào)衛(wèi)星繞月球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程，這個(gè)改編是為了將題目融入實(shí)際背景，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，提高學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)。與預(yù)習(xí)題前后呼應(yīng)。課后作業(yè)設(shè)計(jì)意圖是對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固練習(xí)，目的是熟練掌握定義和方程，滲透焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，要求全體學(xué)生獨(dú)立完成。預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容，有準(zhǔn)備有針對(duì)有目的上課。

通過(guò)“發(fā)現(xiàn)法”的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生解題能力，將數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，由此及彼，達(dá)到舉一反三的目的，是學(xué)生能夠更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)。2614236B-8787-4A54-A146-DE4403708938