提煉基本模型，建構(gòu)解題方法

[摘要]在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，探究答案只是第一步，提高解題素養(yǎng)才是最終目的.多角度聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)，以基本模型為突破口，能快速越過(guò)解題障礙，找到正確的解題方向，建構(gòu)系統(tǒng)的解題方法.

[關(guān)鍵詞]線段;模型;思想方法

在呈現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，教師應(yīng)重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，尋求結(jié)果，解決問(wèn)題的過(guò)程[1].因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注解決問(wèn)題的過(guò)程，注重知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累和基本模型的應(yīng)用.課程內(nèi)容也包括蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.這就要求學(xué)生在掌握相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，還要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想并歸類數(shù)學(xué)方法.文章以一道中考幾何復(fù)習(xí)題為例，探究如何提煉基本模型，尋找解題思路，建構(gòu)系統(tǒng)的解題方法.

原題呈現(xiàn)

原題如圖1所示，沿折痕AE折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)D落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處.若AB=6，AD=8，求CE的長(zhǎng).

分析本題以折疊為背景求線段的長(zhǎng)度，條件清晰明了，涵蓋三角形、矩形、折疊的有關(guān)性質(zhì)，涉及全等三角形、垂直、勾股定理、線段中垂線、相似三角形等核心知識(shí)，能用多種方法求解，既能給學(xué)生提供廣闊的思維空間，又能提高學(xué)生的解題素養(yǎng).

在幾何題中如何求線段的長(zhǎng)度呢？顯然，由于線段DE=EF且DE+EC=DC=AB=6，所以線段CE的長(zhǎng)可由DE或EF的長(zhǎng)來(lái)轉(zhuǎn)化.下面分別從“形”和“數(shù)”兩方面探究解題思路：

“形”，即模型法，首先從直觀出發(fā)，找出與所求線段相關(guān)的基本圖形，如△CEF，△ADE，△AEF和△AEC，然后運(yùn)用幾何模型架起一座溝通已知線段與所求線段的橋梁，最后建立等量關(guān)系求解;

“數(shù)”，即代數(shù)法，深挖題目條件反映的代數(shù)方法，可從建立方程、運(yùn)用線段長(zhǎng)度公式、利用兩線段的比例關(guān)系等方面來(lái)分析.

解法探究

1.勾股定理，直接入題

思路1通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，在含有所求線段的圖形中，△CEF最小，于是提取此直角三角形.由條件易知CE+EF=6，CF=2，可運(yùn)用勾股定理建立CE，EF與CF之間的數(shù)量關(guān)系，再通過(guò)設(shè)未知數(shù)建立方程求解.

小結(jié)勾股定理是直角三角形中求邊的長(zhǎng)的第一選擇，也是學(xué)生最熟悉的方法，具有簡(jiǎn)單直接、快速入題的效果.若已知直角三角形中任意兩條邊的長(zhǎng)或一條邊的長(zhǎng)與另兩條邊的數(shù)量關(guān)系，可優(yōu)先考慮勾股定理.

2.借助比例，快速解答

思路2分析△CEF中三條邊的關(guān)系可知CF=2，CE與EF的長(zhǎng)未知，可嘗試建立已知邊長(zhǎng)與未知邊長(zhǎng)的比例式.聯(lián)想與△CEF相關(guān)聯(lián)的圖形，于是可建立相似模型，利用相似三角形來(lái)求解.

小結(jié)相似法是初中數(shù)學(xué)中求線段長(zhǎng)度的必勝法寶，能與多個(gè)知識(shí)點(diǎn)發(fā)生聯(lián)系，應(yīng)用范圍較廣，且模型千變?nèi)f化.題中出現(xiàn)多個(gè)直角三角形，提示有相似的可能.鎖定目標(biāo)圖形△CEF，發(fā)現(xiàn)公共角模型和三垂直模型，且△CAD和△ABC的三邊長(zhǎng)已知，于是相似方法可行，如解法2和解法3，這兩種解法簡(jiǎn)便易懂，計(jì)算量小.關(guān)注“折疊”這一條件，便會(huì)聯(lián)想到等腰三角形DEF，通過(guò)構(gòu)造隱形圓，將兩個(gè)相等底角轉(zhuǎn)化為圓周角，進(jìn)而作輔助線，構(gòu)造相似“X模型”和“A型”模型，求出線段DE和CE的比例，如解法4.解法4巧妙地結(jié)合圓，構(gòu)造二次相似，兩次轉(zhuǎn)化兩條線段的比例.此法新穎有趣，猶如柳暗花明又一村，令人耳目一新.此解法由于涵蓋線段中垂線、三角形、相似、圓等多個(gè)知識(shí)，因而輔助線較為復(fù)雜，思維跳躍性高，所以能想到此法的學(xué)生較少，顯得彌足珍貴.

思路3幾何模型同“思路2”，代數(shù)方法另辟蹊徑.由Rt△CEF中兩條邊的比例聯(lián)想銳角三角函數(shù)，通過(guò)同角或等角的三角函數(shù)建立等式，從而求解.

小結(jié)銳角三角函數(shù)法與相似法有異曲同工之妙，都是通過(guò)建立三角形兩條邊的關(guān)系來(lái)求解，從本質(zhì)上看是一樣的.不同之處在于，相似法關(guān)注圖形的變化，適用于所有圖形;三角函數(shù)法側(cè)重角的兩邊比例，只能在直角三角形中運(yùn)用.在直角三角形的兩邊比例問(wèn)題中，數(shù)形結(jié)合，相得益彰.

3.出現(xiàn)垂直，面積搭橋

思路4基于目標(biāo)線段所在的圖形進(jìn)行分析，△CEF，△AEF，△AEC，△ADE和△ACD中出現(xiàn)了多個(gè)垂直關(guān)系，則CE，DE，EF均可作為某個(gè)三角形的底邊或高，于是可嘗試從面積入手，分別建立△ACD，△AEC和△CEF的等面積模型.

小結(jié)從位置關(guān)系看，DE和EF都能看作三角形的高，因此聯(lián)想到面積法.用分割法將△ACD分為兩個(gè)等高的三角形，先求出高，再求出CE的長(zhǎng)，如解法7.用兩種方法表示出△AEC或△CEF的面積，構(gòu)造方程求出CE的長(zhǎng)，如解法8和解法9.思路4提示我們：出現(xiàn)垂直，面積搭橋.

4.特殊線段，坐標(biāo)轉(zhuǎn)化

思路5轉(zhuǎn)換思維，從線段DE或EC本身思考，可結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)法求線段的長(zhǎng)度，于是可構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系模型，將線段CE置于豎直方向，利用兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)差值來(lái)求CE的長(zhǎng).

小結(jié)解法10把矩形、三角形、折疊的有關(guān)性質(zhì)與直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)及點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的橫向跨越;運(yùn)用代數(shù)方法求解幾何問(wèn)題，能簡(jiǎn)化思維過(guò)程，并將復(fù)雜的幾何問(wèn)題抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將數(shù)形結(jié)合思想發(fā)揮得淋漓盡致.解法10不僅讓學(xué)生大開(kāi)眼界，而且讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)方法的奇妙無(wú)窮.解法10巧借矩形的直角構(gòu)造了平面直角坐標(biāo)系，利用豎直方向線段的長(zhǎng)可由兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)差值來(lái)求解，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)E的坐標(biāo)，并通過(guò)直線AG的解析式和中點(diǎn)G的坐標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.解法10思路巧妙，對(duì)學(xué)生的能力要求較高.另外，在平面直角坐標(biāo)系中，解法10還可以推出任意位置線段的長(zhǎng)，

解題反思

1.拓展知識(shí)層面，啟發(fā)解題思路

初中數(shù)學(xué)知識(shí)分為三大體系九大類：數(shù)與代數(shù)（數(shù)與式，方程與不等式，函數(shù)），空間與圖形（圖形的認(rèn)識(shí)，三角形的全等與相似，平行四邊形，銳角三角函數(shù)，圓），統(tǒng)計(jì)與概率.幾何綜合題考查的知識(shí)面較廣，只有廣泛聯(lián)系各個(gè)知識(shí)點(diǎn)才能啟發(fā)解題思維，實(shí)現(xiàn)一題多解.例如本文題目，通過(guò)深挖題目?jī)?nèi)涵，分析求邊的長(zhǎng)的各種方法，聯(lián)系三角形、矩形、圖形折疊、圓、一次函數(shù)、三角函數(shù)、相似等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)一題十解，不但豐富了學(xué)生的解題方法，提升了學(xué)生的解題素養(yǎng)，而且激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，拓寬了學(xué)生的解題視野.

2.提煉基本模型，尋找解法突破

模型法是解決幾何綜合題的捷徑，它能化繁為簡(jiǎn)，快速找到解題突破口.教師應(yīng)讓學(xué)生在熟練掌握系統(tǒng)知識(shí)的基礎(chǔ)上，從復(fù)雜的幾何圖形中發(fā)現(xiàn)基本模型，總結(jié)常見(jiàn)模型，滲透模型理念，以提升他們的綜合分析能力.同時(shí)，要讓學(xué)生深入理解模型應(yīng)用的本質(zhì)，體會(huì)其所反映的數(shù)學(xué)原理.本文首先由直角三角形模型聯(lián)想勾股定理和方程思想;然后通過(guò)相似三角形模型建立比例，或三角函數(shù)建立方程，并利用圓構(gòu)造二次相似模型;接著提煉多個(gè)三角形的高的模型，聯(lián)想面積法;最后突破常規(guī)，創(chuàng)設(shè)直角坐標(biāo)系模型，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，利用函數(shù)方法求解.解決本題的關(guān)鍵是提煉基本模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法.幾何模型能開(kāi)啟學(xué)生的思維大門(mén)，并提供解題突破口，具有點(diǎn)石成金的作用.

3.建構(gòu)解題方法，反思總結(jié)提升

解完試題后，學(xué)習(xí)過(guò)程還沒(méi)有結(jié)束，還需要總結(jié)升華，形成一套解題方法體系.總結(jié)時(shí)可以從知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法等方面進(jìn)行提煉，歸納出一類題的解法，從而建構(gòu)出一般的解題方法，并適當(dāng)進(jìn)行延伸拓展，補(bǔ)充其他方法，形成完備的方法體系.本文根據(jù)所求線段的特點(diǎn)分為四種思路：第一種，將所求線段看成特殊的直角三角形的一邊，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解，此法簡(jiǎn)單、直接;第二種，將所求線段看成一般三角形一邊的長(zhǎng)，由于不能直接求，所以借助兩邊比例求解，常用的方法是相似和三角函數(shù)，此法常規(guī)、簡(jiǎn)便;第三種，將所求線段看成一般三角形的底邊或高，用面積法，運(yùn)用此法的前提是有垂直條件;第四種，將所求線段看成兩點(diǎn)之間的距離，在平面直角坐標(biāo)系中，運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離來(lái)求.上述思路可總結(jié)為：直接法、間接法、特殊位置法、兩點(diǎn)距離法.其中，第一種方法和第三種方法是特殊方法，第二種方法和第四種方法是通用方法.除此之外，求線段的長(zhǎng)的方法還有等量代換法和割補(bǔ)法等.通過(guò)反思總結(jié)，學(xué)生能掌握模型思想、方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想等思想，且在思維的廣度和深度上都有收獲.

探尋解題之道是數(shù)學(xué)永恒的話題.在解題中發(fā)現(xiàn)模型之美，方能開(kāi)出思想方法之花.因此，不斷積累，反思提升，悟其本質(zhì)才是真知灼見(jiàn).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]李芳.注重題目變通，提升思考能力——對(duì)一道課本習(xí)題的多方位探究[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2017（z1）：76-78.