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    Cahn-Hilliard-Oono方程Xα解的存在性

    2022-07-04 04:13:22蒲志林任運(yùn)平
    關(guān)鍵詞:內(nèi)積有界范數(shù)

    黃 梅, 蒲志林, 任運(yùn)平

    (四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

    1 研究背景介紹

    本文研究如下的方程的初邊值問(wèn)題:

    (1)

    K(u)=-△u+f(u),

    (2)

    u(0,x)=u0,x∈Ω,

    (3)

    (4)

    (5)

    方程(1)主要描述物理和化學(xué)中二元體的相分離,最初是以自由能的形式提及的[1],隨后在熱動(dòng)力學(xué)原理基礎(chǔ)上推出了偏微分方程的形式[2].在方程(1)中,若β=0,即為常見(jiàn)的Cahn-Hilliard方程(簡(jiǎn)稱(chēng)C-H方程).文獻(xiàn)[3]利用扇形算子理論得到了C-H方程局部Xα解和全局Xα解;文獻(xiàn)[4]研究C-H方程任意解軌道的變化情況,證明了在長(zhǎng)時(shí)間后時(shí)入流形的一個(gè)很小的鄰域中.該方程解的漸進(jìn)性態(tài)也有大量的研究,例如文獻(xiàn)[5-7]證明了在一定條件下方程在H2和H3空間上存在全局吸引子.

    ut+β(u-m)=△(-k△u+F′(u)),

    (6)

    (7)

    特別地,一般考慮它的正則形式

    (8)

    本文研究C-H-O方程解的存在性問(wèn)題.首先,利用文獻(xiàn)[3]的討論方法,證明了C-H-O方程局部解的存在性.然后,在局部解存在的前提下,借鑒文獻(xiàn)[3,12]中的整體解的存在性定理,證明了整體解的存在性,即任意給定u0∈L2(Ω),C-H-O方程的初邊值問(wèn)題的解u,滿足‖▽u‖2是有界的,從而可以推出整體解存在.最后,考慮更一般形式的C-H-O方程

    ut+g(u)=△(-△u+f(u)),

    u=u(t,x)∈R×Ω,u(0,x)=u0,

    其中

    討論它在Neumann邊界條件下H2范數(shù)是有界的.

    2 預(yù)備知識(shí)

    (9)

    其中

    A:D(A)?X→X

    是扇形正算子,分?jǐn)?shù)冪算子

    A:X→X

    定義為

    Ae-Atvdt,

    (10)

    定義2.1[3](局部Xα解) 設(shè)X是一個(gè)Banach空間,α∈[0,1)且u0∈Xα.若存在τ>0和函數(shù)u∈(C(0,τ),Xα)滿足:

    1) u(0)=u0;

    2) u∈C1((0,τ),X);

    3) ?t∈(0,τ),u(t)∈D(A);

    4) ?t∈(0,τ),u滿足方程(9),

    則u稱(chēng)為方程(9)的局部Xα解.

    定理2.1[3](局部Xα解的存在性) 對(duì)每個(gè)u0∈Xα,存在方程(9)的唯一Xα解u=u(t,u0),它是定義在最大存在區(qū)間[0,τu0)上的,或者τu0=+∞,或者如果τu0<+∞,則

    ‖u(t,u0)‖Xα=+∞.

    定義2.2[3](全局Xα解) 函數(shù)u=u(t)稱(chēng)為全局Xα解,如果它滿足定義2.1且τ=+∞.

    關(guān)于方程解的漸進(jìn)性態(tài)的研究中,全局Xα解的存在性是非常重要的.文獻(xiàn)[7]引入了如下假設(shè)條件.

    假設(shè)條件H1) 存在一個(gè)Banach空間Y,使得D(A)?Y;

    2) 存在一個(gè)局部有界函數(shù)

    C:[0,+∞)→[0,+∞);

    3) 存在一個(gè)非減函數(shù)

    g:[0,+∞)→[0,+∞);

    4) 存在某個(gè)數(shù)θ∈[0,1),

    使得?u0∈Xα,滿足:

    ‖u(t,u0)‖Y≤C(‖u0‖Xα),
    t∈(0,τu0),

    (11)

    ‖F(xiàn)(u(t,u0)‖X≤
    g(‖u(t,u0‖Y)(1+‖u(t,u0)‖θXα),
    t∈(0,τu0).

    (12)

    利用該假設(shè)得到下面的重要定理.

    定理2.2[3](全局Xα解的存在性) 如果假設(shè)條件H成立,則方程(9)存在全局Xα解.

    為了利用范數(shù)不等式關(guān)系,本文將用到如下關(guān)于等價(jià)范數(shù)的結(jié)果.

    引理2.1[13]對(duì)?η>0,

    3 主要結(jié)果

    從而有

    f′(s)≥-λ,

    (13)

    |f′(s)|≤k1(1+|s|2p-2),

    (14)

    |f″(s)|≤k2(1+|s|2p-3).

    (15)

    根據(jù)文獻(xiàn)[14]有

    ‖△f(u)‖≤‖f′(u)‖L∞(Ω)‖△u‖+

    ‖f″(u)‖

    (16)

    ‖△f(u)‖≤k3((1+‖u‖2p-2L∞(Ω))‖△u‖+

    (1+‖u‖2p-3

    (17)

    假設(shè)

    ‖u0‖L∞(Ω)≤m,

    (18)

    其中m是一個(gè)給定的大于0的常數(shù).

    先對(duì)(1)式在Ω上作積分,利用格林公式可得

    因此,

    〈u(t)〉=e-βt〈u0〉,t≥0,

    從而

    |〈u(t)〉|≤|〈u0〉|≤m, t≥0.

    (19)

    由此可知C-H-O方程不滿足質(zhì)量守恒,但是在初值有界的條件下解也是有界的,這對(duì)后面的空間范數(shù)不等式的估計(jì)起著重要的作用.

    令算子

    A=△2+ρI,ρ>0,

    其定義域?yàn)?/p>

    (20)

    〈Aφ,φ〉L2(Ω)=‖△u‖2+ρ‖φ‖2.

    (21)

    (22)

    △f-βI:Xα(Ω)→L2(Ω)

    ‖(△f-βI)(φ)-(△f-βI)(ψ)‖≤
    ‖[f′(φ)△φ-f′(ψ)△ψ]+
    [f″(φ)|▽?duì)諀2-f″(ψ)|▽?duì)讄2]‖≤
    CU‖φ-ψ‖Xα,
    φ,ψ∈U?Xα.

    更進(jìn)一步,在局部解存在的基礎(chǔ)上研究方程(1)~(4)對(duì)時(shí)間上的全局先驗(yàn)估計(jì),討論全局解的存在性.這個(gè)過(guò)程需要對(duì)H1(Ω)空間上的范數(shù)進(jìn)行估計(jì),從而導(dǎo)出滿足文獻(xiàn)[7]中全局解存在性定理的不等式,則有下面的理論.

    定理3.1在假設(shè)條件(13)~(16)下,任意給定u0∈L2(Ω),初邊值問(wèn)題(1)~(4)的解u,滿足‖▽u‖2是有界的.

    證明將u與(1)式作內(nèi)積,且由(13)式可得

    可適當(dāng)選取c1,c2,c3>0使得

    (23)

    又由于

    c2‖u‖2+c3,

    (24)

    由Gronwall引理可知,‖u‖2是有界的,即?M1>0,

    ‖u‖2≤M1.

    (25)

    根據(jù)(18)~(22)式可知

    (26)

    -(△f(u),△u)≤c5(‖△u‖2+

    (27)

    (28)

    H3(Ω)?H2(Ω)?L2(Ω),

    (29)

    將(29)式代入(28)式且由(25)式得

    -(△f(u),△u)≤M1+‖▽△u‖2.

    (30)

    將(1)式與△u作內(nèi)積,結(jié)合格林公式和(30)式得

    (31)

    ?M2>0, ‖▽u‖2≤M2.

    (32)

    證明第一步 討論‖△u‖2的范數(shù)估計(jì).

    將方程(9)與[K(u)]t作內(nèi)積,一方面

    (33)

    另一方面,

    ‖▽udx+

    (34)

    聯(lián)立方程(33)和(34),由(18)式可得

    (35)

    ‖u

    (36)

    把(36)式帶入(35)式得

    (37)

    ‖▽[K(u(t))]‖2-‖▽[K(u(0))]‖2≤
    β‖▽u(0)‖2+λ‖△u(0)‖2+
    λ2‖▽u(t)‖2,

    ‖▽[K(u(t))]‖2≤β‖▽u(0)‖2+

    λ‖△u(0)‖2+λ2M2+

    ‖▽[K(u(0))]‖2.

    (38)

    (39)

    最后把(38)式帶入(39)式有

    (40)

    第二步 討論滿足假設(shè)條件H中(12)式.

    將方程(9)改寫(xiě)為

    ut=-(△2u+ρu)+△(f(u))+(ρ-β)u,

    x∈Ω?Rn,

    其中ρ>0且有

    0<ρ≤Reσ(A)=Reσ(A2+ρI).

    由空間嵌入(22)式,在H2空間上有下列先驗(yàn)估計(jì)

    ‖△f(u(t))+(ρ-β)u‖≤

    ‖f′(u(t))‖L∞(Ω)‖△u‖+

    ‖f″(u(t))‖

    ‖(ρ-β)u(t)‖≤

    ‖f′(u(t))‖L∞(Ω)‖u‖H2(Ω)+

    c6‖f″(u(t))‖

    ‖(ρ-β)u(t)‖≤

    h1(‖u(t)‖H2(Ω)),

    (41)

    4 推廣

    考慮C-H-O方程更一般的形式,將原方程中的βu用一般的多項(xiàng)式函數(shù)代替,即考慮下面的初邊值問(wèn)題[13]:

    (42)

    K(u)=-△u+f(u),

    (43)

    (44)

    u(0,x)=u0,x∈Ω,

    (45)

    ‖u(t)‖L∞(Ω)≤‖u(0)‖L∞(Ω),

    (46)

    (47)

    g′(s)≥-λ0,

    (48)

    下面討論它的解u的范數(shù)估計(jì)情況.

    證明第一步 將(42)式與ut作內(nèi)積

    ‖u
    dx,

    (49)

    再讓(42)式與[K(u)]t作內(nèi)積.一方面,

    (50)

    另一方面,

    ‖▽udx-

    (51)

    聯(lián)立(50)和(51)式,由(48)和(13)式得

    (52)

    將(49)式代入(52)式得

    (53)

    ‖▽[K(u(t))]‖2≤(λ2+λ0)‖▽u(t)‖2+

    λ‖△u(0)‖2+‖▽[K(u(0))]‖2.

    (54)

    第二步 證明‖△u(t)‖2有界.

    將(42)式與u作內(nèi)積,注意到

    g(u)·u≥b2q-1u2q-c,

    其中c是不依賴(lài)于空間時(shí)間的常數(shù).故可得

    2λ‖▽u‖2+c,

    進(jìn)一步可得

    其中c7,c′和c″是大于0的數(shù).再由插值不等式

    ‖u‖

    可得

    c′‖u‖2+c″,

    ‖u‖2≤M0.

    (55)

    (56)

    由(30)和(48)式以及H?lder不等式得

    (57)

    ‖▽u‖2≤M3.

    (58)

    (59)

    最后將(54)式和(4)式帶入(59)式,再由空間嵌入關(guān)系L2(Ω)?L1(Ω)有

    (60)

    由引理2.1可知,‖u‖H2(Ω)是有界的.定理證畢.

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