黃 梅, 蒲志林, 任運(yùn)平
(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)
本文研究如下的方程的初邊值問(wèn)題:
(1)
K(u)=-△u+f(u),
(2)
u(0,x)=u0,x∈Ω,
(3)
(4)
(5)
方程(1)主要描述物理和化學(xué)中二元體的相分離,最初是以自由能的形式提及的[1],隨后在熱動(dòng)力學(xué)原理基礎(chǔ)上推出了偏微分方程的形式[2].在方程(1)中,若β=0,即為常見(jiàn)的Cahn-Hilliard方程(簡(jiǎn)稱(chēng)C-H方程).文獻(xiàn)[3]利用扇形算子理論得到了C-H方程局部Xα解和全局Xα解;文獻(xiàn)[4]研究C-H方程任意解軌道的變化情況,證明了在長(zhǎng)時(shí)間后時(shí)入流形的一個(gè)很小的鄰域中.該方程解的漸進(jìn)性態(tài)也有大量的研究,例如文獻(xiàn)[5-7]證明了在一定條件下方程在H2和H3空間上存在全局吸引子.
ut+β(u-m)=△(-k△u+F′(u)),
(6)
(7)
特別地,一般考慮它的正則形式
(8)
本文研究C-H-O方程解的存在性問(wèn)題.首先,利用文獻(xiàn)[3]的討論方法,證明了C-H-O方程局部解的存在性.然后,在局部解存在的前提下,借鑒文獻(xiàn)[3,12]中的整體解的存在性定理,證明了整體解的存在性,即任意給定u0∈L2(Ω),C-H-O方程的初邊值問(wèn)題的解u,滿足‖▽u‖2是有界的,從而可以推出整體解存在.最后,考慮更一般形式的C-H-O方程
ut+g(u)=△(-△u+f(u)),
u=u(t,x)∈R×Ω,u(0,x)=u0,
其中
討論它在Neumann邊界條件下H2范數(shù)是有界的.
(9)
其中
A:D(A)?X→X
是扇形正算子,分?jǐn)?shù)冪算子
A:X→X
定義為
Ae-Atvdt,
(10)
定義2.1[3](局部Xα解) 設(shè)X是一個(gè)Banach空間,α∈[0,1)且u0∈Xα.若存在τ>0和函數(shù)u∈(C(0,τ),Xα)滿足:
1) u(0)=u0;
2) u∈C1((0,τ),X);
3) ?t∈(0,τ),u(t)∈D(A);
4) ?t∈(0,τ),u滿足方程(9),
則u稱(chēng)為方程(9)的局部Xα解.
定理2.1[3](局部Xα解的存在性) 對(duì)每個(gè)u0∈Xα,存在方程(9)的唯一Xα解u=u(t,u0),它是定義在最大存在區(qū)間[0,τu0)上的,或者τu0=+∞,或者如果τu0<+∞,則
‖u(t,u0)‖Xα=+∞.
定義2.2[3](全局Xα解) 函數(shù)u=u(t)稱(chēng)為全局Xα解,如果它滿足定義2.1且τ=+∞.
關(guān)于方程解的漸進(jìn)性態(tài)的研究中,全局Xα解的存在性是非常重要的.文獻(xiàn)[7]引入了如下假設(shè)條件.
假設(shè)條件H1) 存在一個(gè)Banach空間Y,使得D(A)?Y;
2) 存在一個(gè)局部有界函數(shù)
C:[0,+∞)→[0,+∞);
3) 存在一個(gè)非減函數(shù)
g:[0,+∞)→[0,+∞);
4) 存在某個(gè)數(shù)θ∈[0,1),
使得?u0∈Xα,滿足:
‖u(t,u0)‖Y≤C(‖u0‖Xα),
t∈(0,τu0),
(11)
‖F(xiàn)(u(t,u0)‖X≤
g(‖u(t,u0‖Y)(1+‖u(t,u0)‖θXα),
t∈(0,τu0).
(12)
利用該假設(shè)得到下面的重要定理.
定理2.2[3](全局Xα解的存在性) 如果假設(shè)條件H成立,則方程(9)存在全局Xα解.
為了利用范數(shù)不等式關(guān)系,本文將用到如下關(guān)于等價(jià)范數(shù)的結(jié)果.
引理2.1[13]對(duì)?η>0,
從而有
f′(s)≥-λ,
(13)
|f′(s)|≤k1(1+|s|2p-2),
(14)
|f″(s)|≤k2(1+|s|2p-3).
(15)
根據(jù)文獻(xiàn)[14]有
‖△f(u)‖≤‖f′(u)‖L∞(Ω)‖△u‖+
‖f″(u)‖
(16)
‖△f(u)‖≤k3((1+‖u‖2p-2L∞(Ω))‖△u‖+
(1+‖u‖2p-3
(17)
假設(shè)
‖u0‖L∞(Ω)≤m,
(18)
其中m是一個(gè)給定的大于0的常數(shù).
先對(duì)(1)式在Ω上作積分,利用格林公式可得
因此,
〈u(t)〉=e-βt〈u0〉,t≥0,
從而
|〈u(t)〉|≤|〈u0〉|≤m, t≥0.
(19)
由此可知C-H-O方程不滿足質(zhì)量守恒,但是在初值有界的條件下解也是有界的,這對(duì)后面的空間范數(shù)不等式的估計(jì)起著重要的作用.
令算子
A=△2+ρI,ρ>0,
其定義域?yàn)?/p>
(20)
〈Aφ,φ〉L2(Ω)=‖△u‖2+ρ‖φ‖2.
(21)
(22)
△f-βI:Xα(Ω)→L2(Ω)
‖(△f-βI)(φ)-(△f-βI)(ψ)‖≤
‖[f′(φ)△φ-f′(ψ)△ψ]+
[f″(φ)|▽?duì)諀2-f″(ψ)|▽?duì)讄2]‖≤
CU‖φ-ψ‖Xα,
φ,ψ∈U?Xα.
更進(jìn)一步,在局部解存在的基礎(chǔ)上研究方程(1)~(4)對(duì)時(shí)間上的全局先驗(yàn)估計(jì),討論全局解的存在性.這個(gè)過(guò)程需要對(duì)H1(Ω)空間上的范數(shù)進(jìn)行估計(jì),從而導(dǎo)出滿足文獻(xiàn)[7]中全局解存在性定理的不等式,則有下面的理論.
定理3.1在假設(shè)條件(13)~(16)下,任意給定u0∈L2(Ω),初邊值問(wèn)題(1)~(4)的解u,滿足‖▽u‖2是有界的.
證明將u與(1)式作內(nèi)積,且由(13)式可得
可適當(dāng)選取c1,c2,c3>0使得
(23)
又由于
c2‖u‖2+c3,
(24)
由Gronwall引理可知,‖u‖2是有界的,即?M1>0,
‖u‖2≤M1.
(25)
根據(jù)(18)~(22)式可知
(26)
-(△f(u),△u)≤c5(‖△u‖2+
(27)
則
(28)
H3(Ω)?H2(Ω)?L2(Ω),
有
(29)
將(29)式代入(28)式且由(25)式得
-(△f(u),△u)≤M1+‖▽△u‖2.
(30)
將(1)式與△u作內(nèi)積,結(jié)合格林公式和(30)式得
(31)
?M2>0, ‖▽u‖2≤M2.
(32)
證明第一步 討論‖△u‖2的范數(shù)估計(jì).
將方程(9)與[K(u)]t作內(nèi)積,一方面
(33)
另一方面,
‖▽udx+
(34)
聯(lián)立方程(33)和(34),由(18)式可得
(35)
‖u
(36)
把(36)式帶入(35)式得
(37)
‖▽[K(u(t))]‖2-‖▽[K(u(0))]‖2≤
β‖▽u(0)‖2+λ‖△u(0)‖2+
λ2‖▽u(t)‖2,
‖▽[K(u(t))]‖2≤β‖▽u(0)‖2+
λ‖△u(0)‖2+λ2M2+
‖▽[K(u(0))]‖2.
(38)
(39)
最后把(38)式帶入(39)式有
(40)
令
第二步 討論滿足假設(shè)條件H中(12)式.
將方程(9)改寫(xiě)為
ut=-(△2u+ρu)+△(f(u))+(ρ-β)u,
x∈Ω?Rn,
其中ρ>0且有
0<ρ≤Reσ(A)=Reσ(A2+ρI).
由空間嵌入(22)式,在H2空間上有下列先驗(yàn)估計(jì)
‖△f(u(t))+(ρ-β)u‖≤
‖f′(u(t))‖L∞(Ω)‖△u‖+
‖f″(u(t))‖
‖(ρ-β)u(t)‖≤
‖f′(u(t))‖L∞(Ω)‖u‖H2(Ω)+
c6‖f″(u(t))‖
‖(ρ-β)u(t)‖≤
h1(‖u(t)‖H2(Ω)),
(41)
考慮C-H-O方程更一般的形式,將原方程中的βu用一般的多項(xiàng)式函數(shù)代替,即考慮下面的初邊值問(wèn)題[13]:
(42)
K(u)=-△u+f(u),
(43)
(44)
u(0,x)=u0,x∈Ω,
(45)
‖u(t)‖L∞(Ω)≤‖u(0)‖L∞(Ω),
(46)
(47)
g′(s)≥-λ0,
(48)
下面討論它的解u的范數(shù)估計(jì)情況.
證明第一步 將(42)式與ut作內(nèi)積
‖u
dx,
(49)
再讓(42)式與[K(u)]t作內(nèi)積.一方面,
(50)
另一方面,
‖▽udx-
(51)
聯(lián)立(50)和(51)式,由(48)和(13)式得
(52)
將(49)式代入(52)式得
(53)
‖▽[K(u(t))]‖2≤(λ2+λ0)‖▽u(t)‖2+
λ‖△u(0)‖2+‖▽[K(u(0))]‖2.
(54)
第二步 證明‖△u(t)‖2有界.
將(42)式與u作內(nèi)積,注意到
g(u)·u≥b2q-1u2q-c,
其中c是不依賴(lài)于空間時(shí)間的常數(shù).故可得
2λ‖▽u‖2+c,
進(jìn)一步可得
其中c7,c′和c″是大于0的數(shù).再由插值不等式
‖u‖
可得
c′‖u‖2+c″,
‖u‖2≤M0.
(55)
(56)
由(30)和(48)式以及H?lder不等式得
(57)
‖▽u‖2≤M3.
(58)
(59)
最后將(54)式和(4)式帶入(59)式,再由空間嵌入關(guān)系L2(Ω)?L1(Ω)有
(60)
由引理2.1可知,‖u‖H2(Ω)是有界的.定理證畢.