基于“函數(shù)主題”教學(xué)的《冪函數(shù)》教學(xué)思考

福建省三明市永安市第一中學(xué) 徐來(lái)艷 賴(lài)紹生

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“課程標(biāo)準(zhǔn)”）實(shí)施建議中明確指出教師“不僅關(guān)注每一節(jié)的教學(xué)目標(biāo)，更要關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標(biāo)，明晰這些目標(biāo)對(duì)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻(xiàn)”。課程標(biāo)準(zhǔn)還提出“整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)和階段性發(fā)展”。貫徹落實(shí)新課改的主陣地——課堂教學(xué)是發(fā)展高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在。本文通過(guò)對(duì)《冪函數(shù)》教學(xué)的思考，與老師們探討如何進(jìn)行主題教學(xué)，從而啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，凸顯知識(shí)間的聯(lián)系。

一、問(wèn)題的提出

高中數(shù)學(xué)從知識(shí)上看盡管內(nèi)容豐富，但本質(zhì)上是一個(gè)互相聯(lián)系的整體，不同知識(shí)、不同單元之間都有著實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。在高中必修第一冊(cè)中，函數(shù)主題是最重要的主題。本文選自人教社2019 版《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)人教版》第三章第三節(jié)，是函數(shù)的概念性質(zhì)后的第一個(gè)基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)，既是之前函數(shù)知識(shí)的延續(xù)也是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用?！吧稀迸c整個(gè)學(xué)期教學(xué)目標(biāo)相連，“下”與課時(shí)教學(xué)任務(wù)相接。作為“函數(shù)主題”教學(xué)里的第一個(gè)基本初等函數(shù)教學(xué)，對(duì)于學(xué)生基本初等函數(shù)知識(shí)的整體建構(gòu)起了非常重要的作用。一方面要深度分析函數(shù)性質(zhì)內(nèi)涵，通過(guò)具體冪函數(shù)把函數(shù)的性質(zhì)外顯，另一方面要探索基于核心素養(yǎng)的“主題教學(xué)”落實(shí)策略，從而探究出如何在課堂上讓核心素養(yǎng)落地、生長(zhǎng)和發(fā)展的規(guī)律。

二、圍繞“函數(shù)主題”探索教學(xué)策略

必修第一冊(cè)中“函數(shù)主題”教學(xué)是整冊(cè)書(shū)的重要主線(xiàn)，應(yīng)積極探索以函數(shù)概念、知識(shí)為主題的教學(xué)內(nèi)容、建立函數(shù)思想方法為主題的教學(xué)目標(biāo)。在這個(gè)指導(dǎo)思想下，本文嘗試教學(xué)緊扣知識(shí)本質(zhì)、細(xì)化教學(xué)目標(biāo)、恰當(dāng)探究活動(dòng)設(shè)置，讓知識(shí)在活動(dòng)探究中生成，讓方法在交流中形成，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中滲透并養(yǎng)成。本文嘗試通過(guò)課堂教學(xué)實(shí)踐逐步形成函數(shù)主題教學(xué)的一般模式：“看—想—說(shuō)—寫(xiě)”?！翱础奔磳W(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察世界，“想”即學(xué)用數(shù)學(xué)的思維分析世界，“說(shuō)、寫(xiě)”即用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述世界。通過(guò)開(kāi)展主題教學(xué)，關(guān)注知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法之間的融會(huì)貫通，從而啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，把握知識(shí)之間的邏輯線(xiàn)索，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

三、課堂展示

1.情境創(chuàng)設(shè)探尋規(guī)律。

客觀(guān)世界中有著各種各樣的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，例如天宮二號(hào)在發(fā)射過(guò)程中，離發(fā)射點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化而變化；我國(guó)高鐵營(yíng)運(yùn)歷程逐年增加，已突破2 萬(wàn)公里……。所有這類(lèi)問(wèn)題都表現(xiàn)為變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在數(shù)學(xué)中，這類(lèi)關(guān)系常常用函數(shù)模型來(lái)描述，并且通過(guò)研究函數(shù)模型來(lái)把握相關(guān)的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律。函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線(xiàn)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本工具。本章課本從三個(gè)具體實(shí)例引發(fā)大家的思考。這三個(gè)問(wèn)題貫穿整個(gè)單元的教學(xué)，突出函數(shù)主題核心知識(shí)，揭示函數(shù)本質(zhì)規(guī)律，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察。

創(chuàng)設(shè)情境引入新課：

國(guó)慶剛過(guò)，我們來(lái)一起欣賞一下各地的國(guó)慶煙花秀吧！（課件展示）

設(shè)計(jì)意圖：新課標(biāo)要求課程內(nèi)容要結(jié)合學(xué)生的年齡特征和學(xué)科特點(diǎn)有機(jī)融入社會(huì)主義核心價(jià)值觀(guān)，培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感和實(shí)踐能力。這就要求數(shù)學(xué)課堂需要挖掘其育人價(jià)值，實(shí)現(xiàn)課堂“教”“育”。本節(jié)課通過(guò)國(guó)慶煙花秀的播放，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀(guān)察世界，觀(guān)察分析煙花綻放形成的軌跡，引出函數(shù)圖像性質(zhì)的學(xué)習(xí)，同時(shí)借此機(jī)會(huì)培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，鼓勵(lì)學(xué)生將來(lái)通過(guò)所學(xué)積極投入到祖國(guó)需要的各行各業(yè)，為祖國(guó)的建設(shè)獻(xiàn)出自己的力量。

問(wèn)題情境探尋規(guī)律：

閱讀課本（《2019 人教版普通高中教科書(shū)》P89）五個(gè)問(wèn)題。

思考1：以上問(wèn)題中函數(shù)的解析式有什么共同特征？能否找到一般形式？

設(shè)計(jì)意圖：充分利用教材，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)閱讀，并能夠用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看問(wèn)題。同時(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題需要通過(guò)聯(lián)想，把問(wèn)題與它相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)化歸。由于學(xué)生自主進(jìn)行類(lèi)比、聯(lián)想、化歸的能力較弱，因此教師的適當(dāng)啟發(fā)引導(dǎo)就非常重要。指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本，教師引導(dǎo)幫助學(xué)生更深地認(rèn)識(shí)和把握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察世界。通過(guò)情境引入，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，引發(fā)學(xué)生思考，為本節(jié)內(nèi)容做好鋪墊。

2.探索新知揭示本質(zhì)。

冪函數(shù)定義：閱讀課本P89，并在課本標(biāo)注出冪函數(shù)概念。形如：y=x（aa∈R），其中x是自變量，a是常數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生常常不重視，沒(méi)有深入理解概念本質(zhì)與內(nèi)涵，教師要指導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮課本的價(jià)值，課本是標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)規(guī)范自己的語(yǔ)言表達(dá)和習(xí)慣。

探究活動(dòng)一：冪函數(shù)的圖像

讓學(xué)生利用所學(xué)過(guò)的方法通過(guò)小組合作探究的形式，探索冪函數(shù)圖像，最后讓學(xué)生匯報(bào)探究成果并展示。

思考2：結(jié)合以往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，如何研究?jī)绾瘮?shù)？從哪些角度入手？

思考3：如何畫(huà)出一個(gè)函數(shù)的圖像？（分組討論，合作交流）

教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)圖像，如：定義域、奇偶性；

學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)和方法嘗試作出五個(gè)具體冪函數(shù)的圖像，觀(guān)察圖像，體會(huì)冪函數(shù)圖像的變化規(guī)律。

設(shè)計(jì)意圖：

冪函數(shù)的定義來(lái)自于實(shí)踐，它是一種基本初等函數(shù)，與接下來(lái)要學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)一樣是一種“形式定義”，引導(dǎo)學(xué)生注意概念辨析，并指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維來(lái)分析。

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像畫(huà)法和性質(zhì)學(xué)習(xí)，因此在冪函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)時(shí)指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類(lèi)比、聯(lián)想的方法，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)其他基本初等函數(shù)的有關(guān)知識(shí)有著非常重要的意義。

3.小組合作探索本質(zhì)。

探究活動(dòng)二：冪函數(shù)的性質(zhì)

思考4：觀(guān)察函數(shù)圖象并結(jié)合函數(shù)的解析式，y=x-1，分組討論探究歸納冪函數(shù)的性質(zhì)以及在第一象限的圖象變化規(guī)律，將你們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論討論交流，寫(xiě)在表格內(nèi)：

解析式 y=x … y=x-1定義域值域奇偶性單調(diào)性過(guò)定點(diǎn)

設(shè)計(jì)意圖：教師在教學(xué)時(shí)，課堂教學(xué)目標(biāo)中以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向，依據(jù)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的要求教師選擇和組織學(xué)習(xí)素材，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境和任務(wù)驅(qū)動(dòng)等方式，將學(xué)生分組。分組探究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和交流中形成理性思維，在數(shù)學(xué)觀(guān)察中學(xué)習(xí)，在數(shù)學(xué)交流中成長(zhǎng)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。小組成員各抒己見(jiàn)，通過(guò)互相討論相互學(xué)習(xí)進(jìn)而歸納出冪函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題，從而用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題。

4.范例分析應(yīng)用新知。

類(lèi)型一、冪函數(shù)的概念

典例1（1）已知冪函數(shù)f（x）=xa的圖像過(guò)點(diǎn)（），則式子4a的值為（ ）

（2）已知函數(shù)f（x）=（3-m）x2m-5是冪函數(shù)，則

思考5：求解析式的方法有哪些？怎么選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/p>

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在概念學(xué)習(xí)之后，需要時(shí)間將概念內(nèi)化，所以在概念教學(xué)中就要求“慢工出細(xì)活”，通過(guò)概念應(yīng)用，給學(xué)生緩沖的時(shí)間，采用啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，用自己的語(yǔ)言進(jìn)行辨析，幫助學(xué)生內(nèi)化概念，引導(dǎo)學(xué)生鞏固冪函數(shù)的概念，同時(shí)幫助學(xué)生建構(gòu)求函數(shù)解析式的一般方法。

類(lèi)型二、冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用

典例2（1）如圖的曲線(xiàn)是冪函數(shù)y=xn在第一象限內(nèi)的圖象，已知n分別取四個(gè)值，相應(yīng)的曲線(xiàn)C1，C2，C3，C4對(duì)應(yīng)n依次為（ ）

思考6：冪函數(shù)圖象在第一象限規(guī)律如何？（在第一象限作直線(xiàn)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列）

類(lèi)型三、利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小

典例3已知?jiǎng)t（ ）

A.b

C.b

思考7：兩個(gè)數(shù)比大小的方法有哪些？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，形成數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)。學(xué)生在積極探索思考冪函數(shù)圖象性質(zhì)規(guī)律的過(guò)程中，培養(yǎng)和滲透數(shù)形結(jié)合思想，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

類(lèi)型四、函數(shù)圖象的應(yīng)用

典例4畫(huà)出函數(shù)的圖象，并判斷函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)單調(diào)性。

典例5 利用圖象判斷方程解的個(gè)數(shù)

思考8：對(duì)未知函數(shù)該如何畫(huà)出大致圖象？（描點(diǎn)法？平移法？變換法？……如何選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/p>

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)知識(shí)的遷移與應(yīng)用。教師指導(dǎo)學(xué)生在函數(shù)單元的學(xué)習(xí)中，養(yǎng)成畫(huà)圖用圖的良好習(xí)慣，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成積極思考的思維習(xí)慣，形成數(shù)學(xué)思想方法，不斷總結(jié)提升，并學(xué)會(huì)用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。通過(guò)題型的歸類(lèi)，為后續(xù)整個(gè)函數(shù)單元學(xué)習(xí)進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)。

5.歸納小結(jié)、鞏固新知。

學(xué)生總結(jié)：

從知識(shí)上本節(jié)課學(xué)習(xí)了冪函數(shù)的概念及五個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)；同時(shí)學(xué)習(xí)了冪函數(shù)圖象及其性質(zhì)，以及簡(jiǎn)單應(yīng)用；從數(shù)學(xué)思想方法上本節(jié)課主要有數(shù)形結(jié)合、歸納、類(lèi)比等。

教師補(bǔ)充：

本節(jié)課同學(xué)們通過(guò)自主學(xué)習(xí)、合作交流，探究?jī)绾瘮?shù)圖象與性質(zhì)應(yīng)用的規(guī)律和方法；通過(guò)學(xué)習(xí)，提高了探索實(shí)踐與合作交流的能力，歸納冪函數(shù)的圖象性質(zhì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)；同學(xué)們積極參與、大膽探索、敢于質(zhì)疑的科學(xué)精神，在今后的學(xué)習(xí)生活中都是寶貴的財(cái)富。

6.課后作業(yè)、學(xué)以致用。

必做題：課本習(xí)題3.4 綜合運(yùn)用1、3

探究題：

用你喜歡的形式寫(xiě)成數(shù)學(xué)小論文，班級(jí)交流討論。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課本作業(yè)鞏固所學(xué)新知識(shí)；通過(guò)對(duì)新函數(shù)的圖象性質(zhì)的探究與發(fā)現(xiàn)，鞏固學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)科學(xué)探索精神。

四、課后反思與評(píng)價(jià)

1.關(guān)注學(xué)情，合理設(shè)置學(xué)生活動(dòng)。

我們的課堂希望大部分學(xué)生都能有所收獲，而不是讓課堂成為優(yōu)等生的舞臺(tái)。因此適當(dāng)?shù)靥剿鲗?duì)學(xué)生的發(fā)展是有幫助的，讓同學(xué)匯報(bào)探究結(jié)果能很好地激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，但對(duì)于學(xué)習(xí)能力較弱的同學(xué)可能沒(méi)辦法完成，這堂課處理成探究課對(duì)學(xué)生的觀(guān)察力、總結(jié)能力都有著較高的要求，對(duì)一些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)就顯得有些力不從心，本節(jié)課的探究活動(dòng)相對(duì)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生通過(guò)小組討論積極思考合作探究，讓學(xué)習(xí)能力相對(duì)弱一些的同學(xué)也能找到成功的體驗(yàn)，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)積極性與學(xué)習(xí)效率。

2.關(guān)注課堂動(dòng)態(tài)，及時(shí)調(diào)整課堂節(jié)奏。

數(shù)學(xué)課堂是個(gè)動(dòng)態(tài)的課堂，我們面對(duì)的是不同的學(xué)生，學(xué)生的思想不是一成不變的，因此就要求教師有著良好的應(yīng)變能力，當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生我們意料之外的行為時(shí)，要及時(shí)處理，同時(shí)調(diào)整接下來(lái)的步驟，而不能不管不顧仍按部就班。

在引入課題前，適當(dāng)介紹函數(shù)的發(fā)展，這樣設(shè)計(jì)可以吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但不能過(guò)多渲染，否則會(huì)把數(shù)學(xué)課堂變成文學(xué)課堂。小組交流與合作探究是本節(jié)課知識(shí)發(fā)現(xiàn)與形成的重要部分，教師用了大量的時(shí)間和精力引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究與歸納，冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。學(xué)生對(duì)冪函數(shù)在第一象限的圖像規(guī)律的得出存在困難，教師通過(guò)引導(dǎo)思考，創(chuàng)設(shè)合理探究活動(dòng)，符合學(xué)生的思維發(fā)展特點(diǎn)，降低了難度。

在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)學(xué)生不僅從數(shù)學(xué)知識(shí)，還從數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想方面談到了自己的收獲，教師適時(shí)點(diǎn)評(píng)，可以引出下節(jié)課應(yīng)用知識(shí)，同時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生思考該如何應(yīng)用所學(xué)知識(shí)與方法探索發(fā)現(xiàn)新函數(shù)的圖像性質(zhì)，寫(xiě)成小論文的形式，是數(shù)學(xué)寫(xiě)作的嘗試與探索，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探索精神有著積極的意義。

3.關(guān)注學(xué)生，實(shí)現(xiàn)高效課堂。

本節(jié)課采用小組合作的教學(xué)模式，探究韻味濃厚。從問(wèn)題的提出到問(wèn)題的解決學(xué)生積極參與深度學(xué)習(xí)與交流，探究結(jié)果讓學(xué)生上臺(tái)暢所欲言，把探究的方法與同學(xué)共享，教師適時(shí)的進(jìn)行分析與總結(jié)。

同時(shí)注意到課堂不應(yīng)該只是枯燥的學(xué)習(xí)和計(jì)算，讓學(xué)生進(jìn)行發(fā)言，一方面，可以提高學(xué)生的語(yǔ)言組織能力，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心；另一方面，學(xué)生通過(guò)發(fā)言和總結(jié)可以進(jìn)行數(shù)學(xué)方法和解題經(jīng)驗(yàn)的交流，讓學(xué)生不僅學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，同時(shí)學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維來(lái)分析時(shí)間，更要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)世界。

教師是課程與教材的主導(dǎo)者、使用者、創(chuàng)新者，要深刻領(lǐng)會(huì)新課程理念，把握好新教材，遵循學(xué)生學(xué)習(xí)的一般規(guī)律。根據(jù)課程實(shí)施的水平目標(biāo)，新教材確立了若干個(gè)教學(xué)主題，教師教學(xué)時(shí)以主題為線(xiàn)索，開(kāi)發(fā)和重組相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行連續(xù)課時(shí)單元教學(xué)的教學(xué)方式，體現(xiàn)學(xué)習(xí)領(lǐng)域水平目標(biāo)達(dá)成的針對(duì)性、知識(shí)技能教學(xué)的連貫性和生本化、生活化等特性，將平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)置于具體的生活情境之中，對(duì)學(xué)生知識(shí)技能的意義建構(gòu)非常有意義，重視學(xué)生技能的綜合運(yùn)用的實(shí)踐體驗(yàn)，提高學(xué)生理解和運(yùn)用知識(shí)和技能的能力和意識(shí)。