一道高考題的理論計算與數(shù)值模擬

王剛

(邯鄲市教育科學(xué)研究所 河北 邯鄲 056002)

1 理論分析

【題目】如圖1所示，4個電荷量均為q(q>0)的點電荷分別放置于菱形的4個頂點，其坐標分別為(4l，0)、(-4l，0)、(0，y0)和(0，-y0)，其中x軸上的兩個點電荷位置固定，y軸上的兩個點電荷可沿y軸對稱移動(y0≠0)．下列說法正確的是( )

圖1 題圖

A.除無窮遠處之外，菱形外部電場強度處處不為零

B.當(dāng)y0取某值時，可使得菱形內(nèi)部只存在兩個電場強度為零的點

C.當(dāng)y0=8l時，將一帶負電的試探電荷由(4l，5l)移至點(0，-3l)，靜電力做正功

D.當(dāng)y0=4l時，將一帶負電的試探電荷放置在點(l，l)處，其所受到的靜電力方向與x軸正方向成45°傾斜向上

答案:A，C，D.

解析:根據(jù)場強疊加原理可知，除無窮遠處之外，菱形外部電場強度處處不為零，選項A正確.

因為在x軸上的兩個點電荷在O點的合場強為零，在y軸上的兩點電荷，無論y0取什么值，因為關(guān)于原點對稱，則在O點的合場強也為零，在橫軸和縱軸上除原點外若出現(xiàn)合場強為零的點，根據(jù)對稱性可知，一定是關(guān)于原點對稱成對出現(xiàn)的，加上原點，合場強為零的點是奇數(shù)個，不會是2個，選項B錯誤.

如圖2所示，A點(4l，5l)相對于坐標(4l，0)和(0，8l)的位置與B點(0，-3l)相對于坐標(-4l，0)和(0，-8l)的位置相同；A點相對點(-4l，0)的距離較B點相對于點(4l，0)的距離遠，并且A點相對點(0，-8l)的距離較B點相對于點(0，8l)的距離遠，由電勢疊加原理可知，B點電勢高于A點電勢，且?guī)ж撾姷脑囂诫姾稍陔妱莸吞庪妱菽茌^大，故試探電荷由A點移動至B點，電勢能減小，靜電力做正功，選項C正確.

圖2 針對選項C的圖示

若y0=4l，則4個點構(gòu)成正方形，由對稱性可知在坐標為(l，l)的L點處的場強一定沿著過該點與原點連線的方向上.

如圖3所示，在y軸正向和x軸正向上的點電荷在(l，l)處的合場強方向沿L點指向O點，大小為

圖3 針對選項D的圖示

在y軸負向和x軸負向上的點電荷在(l，l)處的合場強方向沿O點指向L點，大小為

綜上可知(l，l)點的場強方向沿L點指向O點，即與x負半軸成45°斜向下，將一帶負電的試探電荷放置在(l，l)處，其所受靜電力方向與x軸正方向成45°傾斜向上，選項D正確．

故正確選項為A，C，D．

2 關(guān)于選項C的進一步理論分析

方法一：如圖4所示B′(0，3l)為B(0，-3l)關(guān)于x軸的對稱點，由對稱性可知兩點處電勢相等．計算可得MB′與AN平行且等長均為5l，B′N與AN亦等長，故四邊形ANB′M為菱形，N和M兩處的點電荷在B′點與A點的電勢相同；根據(jù)距離關(guān)系可判斷得出P和Q兩點的點電荷在A點電勢低于兩者在B′點的電勢，故A點電勢低于B′點電勢，即A點電勢低于B點電勢．將帶負電的試探電荷從A點移動到B點，其電勢能減小，靜電力做正功．

圖4 方法一圖示

方法二：根據(jù)電勢疊加原理計算A，B兩點電勢．首先通過幾何關(guān)系分別計算出4個點電荷到A和B兩點的距離，然后代入點電荷電勢公式

可以得出兩點電勢高低關(guān)系

φA<φB

其中

(到4個點電荷的距離計算順序為NMPQ)

進而判斷電勢能變化和靜電力做功情況．

3 數(shù)值模擬

使用數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件進行數(shù)值模擬可以使上述問題直觀形象化，有助于對4個點電荷激發(fā)的電場分布情況的認識和理解．下面我們采用Matlab(矩陣實驗室)對題目中選項C所涉的電場情境進行具象模擬．

Matlab模擬的具體程序如下：

?[x,y]=meshgrid(-10:0.1:10,-10:0.1:10);

%創(chuàng)建二維網(wǎng)格，范圍是(-4，4)，每隔0.1取一個點．

%計算電勢的負值z，因為電場是電勢負值的梯度．加0.01是為了避免分母0發(fā)散．

[dx,dy]=gradient(z);

%求網(wǎng)格每一個點的梯度．

contour(x,y,z,[0,-2,-4,-6,-8]);

%畫等勢線，最后一個參數(shù)是等勢線的電勢值(負的)，可以根據(jù)需要列出來．

Hold on

quiver(x,y,dx,dy);

%在每一個點作電場矢量．

%(xx,yy)是場線起始點坐標，選在正電荷周圍半徑0.01的一圈．如果想畫負電荷周圍場線的話，起始點要選在繪圖區(qū)域的邊界．

streamline(x,y,dx,dy,xx,yy);

%繪制場線．

模擬結(jié)果如圖5所示，可以看到4個正電荷的等差等勢面就像4個山峰一樣，點電荷均帶正電則越靠近點電荷的等勢線的電勢越高，很容易判斷出A，B兩點的電勢高低．

圖5 數(shù)值模擬結(jié)果

4 結(jié)束語

一般地，除了孤立點電荷、等量同種點電荷、等量異種點電荷、不等量同種點電荷、不等量異種點電荷等常見的情況之外，有限電荷系統(tǒng)的電場和電勢分布特點并非可以直接識別．本題目中的電場和電勢高低的比較，可以使用場強疊加和電勢疊加原理來分析，也可以通過選取中間點的方法進行比較．很明顯，上述均為理論分析，形象性欠缺，并且不能整體把握電場和電勢的空間分布情況．因此我們運用Matlab進行數(shù)值模擬并繪制出電場線和等勢線，方便學(xué)生們直觀地認識電場，對于教師的教學(xué)也是有益的補充．