離散時間區(qū)間Ⅱ型模糊雙線性系統(tǒng)的事件驅(qū)動控制

劉治沼，李 琳，喬田田，李江榮*，何遠(yuǎn)洋

（1. 西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西西安 710127；2. 延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

近年來，T-S 模糊模型被認(rèn)為是研究復(fù)雜非線性系統(tǒng)最有效的控制方法之一［1］，大量研究成果已被應(yīng)用到許多領(lǐng)域，相應(yīng)的模糊控制理論分析與綜合也引起了廣大學(xué)者的興趣，得到了一系列的研究成果［2-6］。

T-S 模糊雙線性系統(tǒng)是一類特殊的非線性系統(tǒng)，能優(yōu)于T-S 模糊線性系統(tǒng)對帶有狀態(tài)和輸入耦合項的非線性系統(tǒng)進(jìn)行建模。LI 等給出了T-S 模糊雙線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法和不確定T-S 模糊雙線性系統(tǒng)的魯棒H 穩(wěn)定條件［7-8］。文獻(xiàn)［9-10］分別研究了模糊雙線性大系統(tǒng)的廣義H2穩(wěn)定問題和模糊雙線性隨機(jī)系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計問題。

眾所周知，非線性系統(tǒng)中普遍含有不確定性參數(shù)或隸屬度函數(shù)是不確定的，對于這樣的系統(tǒng)往往是無法建立T-S模糊模型的或者建立的T-S模糊模型也是有很強(qiáng)的保守性。區(qū)間Ⅱ模糊模型通過改進(jìn)T-S 模糊模型，利用隸屬度函數(shù)的下界函數(shù)和上界函數(shù)來合理的表示和處理系統(tǒng)的不確定性，從而為控制非線性系統(tǒng)給出了新的模型和方法［11］。因此，區(qū)間Ⅱ型模糊控制系統(tǒng)已被證明有更廣泛的應(yīng)用范圍，引起了許多研究者的關(guān)注，得到了一系列的研究成果，其中文獻(xiàn)［12］研究了區(qū)間Ⅱ型模糊系統(tǒng)的H 然觀測器的設(shè)計，文獻(xiàn)［13］研究了帶有混合時滯的區(qū)間Ⅱ型模糊奇異系統(tǒng)的耗散濾波問題。然而以上研究成果都是基于區(qū)間Ⅱ型模糊線性系統(tǒng)的，針對區(qū)間Ⅱ模糊雙線性系統(tǒng)的研究成果相對較少。

事件驅(qū)動控制是一種有效且合理的控制機(jī)制，又稱為非周期性控制或異步控制，是一種能夠在確保控制品質(zhì)的前提下有效降低過程控制單元運(yùn)算和通信負(fù)荷的控制方法。它的信號采樣和控制器運(yùn)算是由一個特定的事件進(jìn)行驅(qū)動，而不是隨時間的流逝而規(guī)律運(yùn)動［5］。

根據(jù)以上的討論，本文將研究離散時間區(qū)間Ⅱ型模糊雙線性系統(tǒng)的事件驅(qū)動控制問題，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，通過設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，得到閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性條件。最后，通過數(shù)值例子驗證所得結(jié)果的正確性。

1 問題提出

1.1 系統(tǒng)描述

考慮一類復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，基于區(qū)間Ⅱ型模糊雙線性系統(tǒng)的模型為

1.2 事件驅(qū)動控制

根據(jù)文獻(xiàn)［5］，假設(shè)事件驅(qū)動的最近的一個輸出量是xtk，下一個傳輸瞬間為

1.3 控制器設(shè)計

為了方便書寫計算，將（9）式簡寫為如下形式：

2 主要結(jié)果

下面給出離散時間區(qū)間Ⅱ型模糊雙線性系統(tǒng)（3）基于控制器（8）的穩(wěn)定性條件。

定理2.1 對于給定的常數(shù)ρ > 0，ε1> 0，δ > 0，如果兩個隸屬函數(shù)滿足(hl- mlwl)> 0且存在正定對稱 矩 陣P，Q1，Q2，Q3，Ξ，控 制 器 增 益 矩 陣Kl(l =1，2，3，…)和矩陣Ωi(i = 1，2，3，…，r)，X?< 0 滿足不等式（11）、（12）和（13），則閉環(huán)系統(tǒng)（10）是漸近穩(wěn)定的。

由（11）式、（12）式和（13）式，可知△V(t) < 0，因此由Lyapunov 穩(wěn)定性理論可知閉環(huán)系統(tǒng)（10）是漸近穩(wěn)定的。

注2.1 考慮到定理2.1 中含有的ΛT(t)PΛ(t)為雙線性項，不能直接用LMI 工具箱直接求解［14］，因此，給出以下定理。

定理2.2 對于給定的 常數(shù)ρ > 0，ε1> 0，δ >0，δi> 0，i = 1，2，3，4，若兩個隸屬函數(shù)滿足(hl-mlwl)> 0 且存在正定對稱矩陣P，Z，Q1，Q2，Q3，Φ，控 制 器 增 益 矩 陣Kl(l = 1，2，…) 和 矩 陣(i =1，2，…，r)，?< 0 滿 足 不 等 式（22）、（23）、（24）和（25），則閉環(huán)系統(tǒng)（10）是漸近穩(wěn)定的。

“*”處元素是指矩陣中與之對稱位置上元素的轉(zhuǎn)置。

“*”處元素是指矩陣中與之對稱位置上元素的轉(zhuǎn)置。

注2.2 令Λ ={(P，Q1，Q2，Q3，Φ，Z，Kl)}滿足（22）~（25）式并且為定理2.2 矩陣不等式的解，由于（25）式的限制可知Λ 不是凸集，不能用LMI 工具箱直接求解。一種被稱為序列線性規(guī)劃矩陣方法（SLPMM）被提出來解決這樣的非凸可行性問題，它可以看作是錐互補(bǔ)線性化（CCL）算法的改進(jìn)版本，SLPMM 算法和CCL 算法相比能產(chǎn)生使目標(biāo)函數(shù)值嚴(yán)格遞減的序列迭代，而且可以全局收斂。

首先，引入足夠小的正標(biāo)量v，并放松（24）式為

把（25）式放松為如下的半正定規(guī)劃：

令ΛV={(P，Q1，Q2，Q3，Φ，Z，Kl)} 滿 足（26）式 和（27）式，并且ΛV為閉集，則可利用SLPMM 算法進(jìn)行求解，SLPMM算法的具體步驟可參考文獻(xiàn)［7］。

3 數(shù)值例子

為了進(jìn)一步闡述上面的結(jié)論，證明定理的可解性，選取以下矩陣：

4 結(jié)論

本文基于離散事件驅(qū)動控制，研究了區(qū)間Ⅱ型模糊雙線性時滯系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定和狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計問題。通過設(shè)計李雅普諾夫泛函，并運(yùn)用矩陣不等式方法，得到使閉環(huán)系統(tǒng)時滯依賴的漸近穩(wěn)定充分性條件和控制器的設(shè)計方法。定理的結(jié)果可以利用SLPMM 求解。通過數(shù)值例子驗證了所得結(jié)論的正確性。