奇異譜分析在GPS坐標(biāo)時(shí)間序列去噪中的應(yīng)用

張擁軍

（鄭州市市政工程勘測設(shè)計(jì)研究院，河南 鄭州 450046）

0 引言

針對海量的GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列進(jìn)行分析是目前研究的熱點(diǎn)之一，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的研究。但GPS坐標(biāo)時(shí)間序列中不可避免地會(huì)產(chǎn)生噪聲，而噪聲可能會(huì)與GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列中的信號產(chǎn)生混疊，淹沒有用的信號，因此將GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列中的噪聲進(jìn)行剔除具有重要的意義。為了剔除GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列中的噪聲，不同學(xué)者采用了多種不同的模型進(jìn)行了研究。魯鐵定等人采用改進(jìn)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸鈱PS 高程時(shí)間序列中的噪聲進(jìn)行剔除研究；黃聲亨等人采用小波方法對坐標(biāo)時(shí)間序列數(shù)據(jù)中的噪聲進(jìn)行剔除；馬俊等人采用小波包系數(shù)信息熵法去除GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列中的有色噪聲；焦雄風(fēng)等人采用抗差卡爾曼濾波（Kalman 濾波）算法對GPS 監(jiān)測數(shù)據(jù)去噪。上述方法各有優(yōu)、缺點(diǎn)及適應(yīng)的數(shù)據(jù)，該文采用奇異譜分析方法（Singular Spectrum Analysis，SSA）對GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列噪聲進(jìn)行剔除。SSA 方法是主成分分析方法的一種特殊場景，是對一維的時(shí)間序列進(jìn)行分析的主成分分析方法。SSA 方法不受正弦波假定的約束，無須先驗(yàn)信息，具有穩(wěn)定識別和強(qiáng)化周期信號的優(yōu)點(diǎn)，能夠較好地從時(shí)間序列中提取信號，目前已被廣泛應(yīng)用于大地測量領(lǐng)域。

1 SSA 方法與其他方法原理及精度比較指標(biāo)

1.1 SSA 方法原理

設(shè)GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列為,,,… , x；x為GPS 時(shí)間序列中的觀測值；為時(shí)間序列長度，且＞2；選用合適的窗口長度，為一個(gè)實(shí)數(shù)，且＜/2，從而構(gòu)造出滯后矩陣，其矩陣形式如公式（1）所示。

式中：x為,,,… , x中的第個(gè)實(shí)數(shù)值，其他類同。根據(jù)公式（1）可知，滯后矩陣副對角線值相等，然后計(jì)算滯后矩陣，構(gòu)造自協(xié)方差矩陣，自協(xié)方差矩陣=，其矩陣如公式（2）所示。

式中：c 為實(shí)數(shù)值，其他類同。

由于自協(xié)方差矩陣等于滯后矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣相乘，即=，可知為×的矩陣，因此 c為實(shí)數(shù)值，其他類同。然后利用奇異值分解分別求出自協(xié)方差矩陣的特征值 λ與對應(yīng)的特征向量E。再計(jì)算滯后矩陣在特征向量的投影 a，如公式（3）所示。

式中：為窗口長度，是一個(gè)正整數(shù)；為1～中的數(shù)，為滯后矩陣中的數(shù)； λ為自協(xié)方差矩陣的特征值，通過奇異值分解得到；E為自協(xié)方差矩陣特征值對應(yīng)的特征向量；E為特征向量E中的一項(xiàng)；a 為滯后矩陣在特征向量上的投影。

奇異譜分析的重建則是由時(shí)間主成分和時(shí)間主分量來重建，重建后的值為ix，具體形式如公式（4）所示。

1.2 小波方法

小波方法的基本原理是利用多個(gè)小波基去逼近信號或可積函數(shù)。對任意信號或可積函數(shù)（），它的小波變換為該信號與小波函數(shù), ()的內(nèi)積，如公式（6）所示。

因此通過選擇合適的小波函數(shù)，就能獲取信號頻域與時(shí)域的局部信息。小波去噪主要分為3 個(gè)步驟：1） 選擇合適的小波函數(shù)，確定其分解層次，并分別計(jì)算其分解系數(shù)。2）對每個(gè)分解層次選擇恰當(dāng)?shù)拈撝?，處理其高頻系數(shù)，即剔除高頻部分的噪聲成分。3） 將處理后的高頻系數(shù)與低頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)后的信號就是去噪后信號。

1.3 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥?/h3>

經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓‥mpirical Mode Decomposition，EMD）是黃鍔提出的自適應(yīng)局部時(shí)頻分析方法。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馐菍⑷我庖痪S時(shí)間序列分解為不同尺度的固有模態(tài)函數(shù)，固有模態(tài)函數(shù)必須同時(shí)滿足以下2 個(gè)條件：1） 局部極值點(diǎn)和過零點(diǎn)的數(shù)目必須相等或最多相差1 個(gè)。2） 在任意時(shí)刻，局部最大值與最小值的包絡(luò)平均為0。

經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸膺^程如下：首先，確定時(shí)間序列的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，并用3 次樣條插值法擬合極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，分別得到其上、下包絡(luò)線。其次，對上、下包絡(luò)線進(jìn)行均值處理，得到均值曲線。再次，用時(shí)間序列減去其均值曲線，若滿足給定閾值要求，則得到本征函數(shù)。若不滿足則重復(fù)上述過程。最后，用時(shí)間序列減去所有本征函數(shù)，當(dāng)殘差序列不超過2 個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馔瓿伞?/p>

1.4 評價(jià)指標(biāo)

為更加精確地評價(jià)奇異譜分析去噪的有效性與優(yōu)越性，該文采用了3 個(gè)評價(jià)指標(biāo)對上述3 種方法，即SSA 方法、小波方法和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥ㄟM(jìn)行定量的比較分析。評價(jià)指標(biāo)分別為噪聲序列的均方根值；去噪后信號殘差序列的均方根值；去噪后的信號與模擬信號的相關(guān)系數(shù)。

2 模擬試驗(yàn)分析

為驗(yàn)證SSA 去噪效果的有效性與優(yōu)越性，模擬1 組具有不同周期的正弦波時(shí)間序列數(shù)據(jù)，然后加入噪聲，其數(shù)據(jù)模擬模型y如公式（7）所示。設(shè)y由u與e構(gòu)成，其中u由周期分別為1200 s、500 s 和200 s 的3 種正弦波信號構(gòu)成，即u=sin（2π/1200）+sin（2π/500）+sin（2π/200），e為服從正態(tài)分布（0，0.5）的噪聲。

設(shè)模擬數(shù)據(jù)的數(shù)量為3 000 個(gè)，時(shí)間間隔單位為s。為驗(yàn)證SSA 方法的穩(wěn)健性，該文又分別將小波方法（db8 小波基）、經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥ǎ‥MD）與SSA 方法進(jìn)行了比較，其結(jié)果如圖1 所示。

圖1中各行子圖從上至下的含義如下：第一行為模擬數(shù)據(jù)；第二行為加入（0，0.52）噪聲后的模擬數(shù)據(jù)；第三行是采用3 種方法去噪后的數(shù)據(jù)；第四行是采用3 種方法去噪后數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)的差值；第五行是3 種方法去噪后模擬數(shù)據(jù)與加噪后模擬數(shù)據(jù)的差值。

圖1 3 種濾波方法的模擬試驗(yàn)結(jié)果

通過對比可以看出，3 種方法均能有效地去除模擬數(shù)據(jù)中的噪聲，其形態(tài)整體相似，說明SSA 方法具有良好的去噪能力。為了說明SSA 方法的優(yōu)越性，該文又分別將值、值與相關(guān)系數(shù)這3 種指標(biāo)進(jìn)行比較，比較結(jié)果見表1。

表1 3 種方法去噪效果對比

從表1 中噪聲部分的值與相關(guān)系數(shù)可以看出，其值大小基本相當(dāng)，說明去除的噪聲部分相同，模擬數(shù)據(jù)與去噪后的數(shù)據(jù)強(qiáng)相關(guān)，再次說明3 種方法都有效地剔除了噪聲。但3 種方法的值有較大差異，其中SSA 方法模擬數(shù)據(jù)與去噪后的數(shù)據(jù)相差相對較小，而小波方法與EMD 方法則相差較大，說明后2 種方法在去噪過程中剔除了模擬的正弦波信號。因此通過綜合對比可知，采用SSA 方法去噪更有優(yōu)越性。

3 試?yán)治?/h2>

該試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用GPS 基準(zhǔn)站ZIMM 站的GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列，該站有較長時(shí)間跨度的時(shí)間坐標(biāo)序列，該文選用跨度為1999—2011 年共12 a 的數(shù)據(jù)，ZIMM 站坐標(biāo)時(shí)間序列包括趨勢項(xiàng)、周期信號以及噪聲，較適于驗(yàn)證奇異譜分析方法去噪的效果。為了方便比較，該文對ZIMM 站坐標(biāo)時(shí)間序列進(jìn)行了預(yù)處理。首先，去除ZIMM 站坐標(biāo)時(shí)間序列的趨勢項(xiàng)及周期項(xiàng)。其次，采用3 倍中誤差方法剔除ZIMM 站坐標(biāo)時(shí)間序列中的中誤差。再次，對剔除粗差后的坐標(biāo)時(shí)間序列進(jìn)行線性插值，得到處理后的坐標(biāo)時(shí)間序列。最后，采用奇異譜分析方法（SSA 方法）進(jìn)行去噪，其結(jié)果如圖2 所示。

根據(jù)圖2 可知，奇異譜分析方法能夠有效地去除噪聲，并能有效地保留GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列中的趨勢項(xiàng)及周期項(xiàng)，且圖2（b）的噪聲序列比較平穩(wěn)，說明奇異譜分析能夠有效地剔除噪聲。為了進(jìn)一步說明奇異譜分析方法去噪的效果，該文又對其進(jìn)行功率譜分析，其結(jié)果如圖3 所示。

圖2 GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列去噪前后的對比及殘差序列

根據(jù)圖3 可知，在低頻域，GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列基本保持不變，其存在年周期信號與半年周期信號，且信號的波峰較為一致，說明奇異譜分析方法較好地保留了其趨勢項(xiàng)與周期項(xiàng)。而在高頻域，去噪后的坐標(biāo)時(shí)間序列其功率譜密度明顯低于未去噪的坐標(biāo)時(shí)間序列，該現(xiàn)象說明奇異譜分析方法剔除的是GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列中的噪聲。

圖3 GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列去噪前后的功率譜對比

4 結(jié)論

奇異譜分析是一種高效的時(shí)間序列分析方法，該方法是對一維時(shí)間序列進(jìn)行分析的方法，能夠較好地從坐標(biāo)時(shí)間序列中提取信息。該文通過模擬數(shù)據(jù)分析，驗(yàn)證了和小波方法與經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥ㄏ啾?，該方法去噪效果更好，能夠在最大程度地保留坐?biāo)時(shí)間序列中有用的信號。該文還通過GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列實(shí)測數(shù)據(jù)分析，表明該方法能夠有效地剔除GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列中的噪聲，且去噪后的坐標(biāo)時(shí)間序列更加穩(wěn)定和平滑。