計算梁彎曲變形的一種特殊疊加法1)

雷芳明 顧春龍 趙永剛

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，蘭州 730050)

梁作為工程領(lǐng)域的基本結(jié)構(gòu)單元，其變形特征備受關(guān)注[1-4]。在材料力學(xué)中，對梁的彎曲變形計算通常有兩種方法，一是積分法，二是疊加法[5-6]。積分法是基于梁的撓曲線近似微分方程的積分計算，通過邊界條件和光滑連續(xù)條件確定積分常數(shù)，進而可得梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，但對于彎矩為分段函數(shù)的梁計算比較繁瑣。疊加法則需要記住基本形式靜定梁在幾種常見載荷作用下的最大撓度和轉(zhuǎn)角，通過直接疊加法或分段剛化法可以計算一般梁在特殊截面上的撓度和轉(zhuǎn)角。而對于較為復(fù)雜的情況，比如簡支梁抗彎剛度分段剛化為常數(shù)、所求撓度或轉(zhuǎn)角不在特定截面、主動載荷作用位置發(fā)生變化的情形下，疊加法就比較困難。

本文給出一種基于懸臂梁基本變形的疊加法，該方法在求解簡支梁和外伸梁特定截面的彎曲變形時非常有效。

1 理論分析

材料力學(xué)中給出的在小變形情況下梁發(fā)生彎曲變形時曲率半徑與彎矩的關(guān)系為[5]

其中，ρ為梁彎曲變形時中性層的曲率半徑，M為橫截面上的彎矩，EI為梁的抗彎剛度。從式（1）可見，對于兩個長度相同、抗彎剛度相同的梁，只要各截面上的彎矩相同，彎曲變形時軸線就會具有相同的曲率，即彎曲程度相同，則整個梁的撓曲線形狀亦相同。

梁小撓度彎曲變形時的撓曲線近似微分方程為

其中w為撓度。通過對式（2）積分，并通過位移條件確定相關(guān)積分常數(shù)，可解得梁彎曲變形的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，這種方法即為積分法。

如圖1(a)所示的等截面懸臂梁長為l，自由端B處受集中力F作用，則其彎矩方程為M1(x)=F(x?l) ，將其代入式（2）積分兩次，并通過邊界條件w1(0)=0 和確定積分常數(shù)，可得其撓曲線方程為

圖1 懸臂梁在右端受集中力作用

圖2所示為長l的等截面簡支梁，在左端受集中力偶Me=Fl作用，該簡支梁的彎矩方程為M2(x)= ，這個彎矩方程與圖1(a)所述受集中載荷作用懸臂梁的彎矩方程完全相同。根據(jù)前面的分析，由于上述兩種梁剛度相同，彎矩方程亦相同，則它們的撓曲線具有相同的形狀?？梢酝ㄟ^把一種支撐條件下的撓曲線方程剛性移動和轉(zhuǎn)動得到另一種支撐條件下的撓曲線方程。比如將圖1(a)所示懸臂梁的撓曲線方程進行一個轉(zhuǎn)動和剛性移動，即疊加一個線性函數(shù)

式中，線性項Cx代表撓曲線的轉(zhuǎn)動，常數(shù)D代表撓曲線的剛性平移。令式（4）滿足簡支梁的邊界條件w(0)=w(l)=0 ，可得（在這里只有繞A點的轉(zhuǎn)動，沒有剛性平移，如圖1(b)所示），將C和D代入式（4），得到經(jīng)過轉(zhuǎn)動的懸臂梁的撓曲線方程為

而這正是由積分法得出的圖2所示簡支梁撓曲線方程的解析解[6]。

圖2 簡支梁在左端受集中力偶作用

由上述分析可知，在求解一個梁彎曲變形問題時，可以先計算具有相同彎矩方程的其他基本形式靜定梁的變形（其基本變形一般已知），再通過剛性轉(zhuǎn)動和平移求得所關(guān)注截面的撓度和轉(zhuǎn)角。在下面的應(yīng)用舉例中，以靜定懸臂梁為基本單元，通過懸臂梁的組合疊加出簡支梁或者外伸梁（對應(yīng)的梁段必須具有相同的彎矩方程，組合處滿足位移連續(xù)條件），再通過把懸臂梁組合結(jié)構(gòu)的撓曲線剛性轉(zhuǎn)動和平移使其滿足原結(jié)構(gòu)的位移邊界條件，進而計算出所關(guān)注的某個截面的轉(zhuǎn)角和撓度。這種方法被稱為“特殊疊加法”，該方法在計算簡支梁和外伸梁的變形時尤為方便。

2 特殊疊加法的應(yīng)用

2.1 簡支梁非中點的變形計算

圖3所示簡支梁，在C處受集中力F作用，求D處的撓度和轉(zhuǎn)角。首先求得A和B處支座反力分別為FA=F/3 ，F(xiàn)B=2F/3 ，然后選取在D處固定兩個懸臂梁，將兩端的約束力作為外載荷作用在懸臂梁上，原主動載荷不變，則懸臂梁組合結(jié)構(gòu)和原來的簡支梁具有相同的彎矩方程，其撓曲線A′DB′如圖4所示，兩端撓度可由疊加法中梁在簡單載荷作用下的變形表[6]查到或簡單計算出，即

圖3 簡支梁受集中力作用

圖4 等效懸臂梁示意圖

因為圖3和圖4所示結(jié)構(gòu)具有相同的剛度和彎矩方程，因此它們的撓曲線也有相同的形狀。將圖4中撓曲線兩端的撓度移動為零（即將圖中所示直線A′B′平移至與AB重合，相應(yīng)的撓曲線也隨之剛性移轉(zhuǎn)），就得到了圖3所示原簡支梁的撓曲線。圖3所示結(jié)構(gòu)D處的撓度和轉(zhuǎn)角亦可由圖4中的撓曲線剛性移轉(zhuǎn)而得到，分別為

這與教科書中基于積分法得出的結(jié)果完全一致[6]。

2.2 階梯變截面梁的計算

圖5所示階梯變截面簡支梁，抗彎剛度分別為2EI和EI，中點C處承受集中力F的作用，求中點的撓度和轉(zhuǎn)角。首先求得兩端的約束力均為F/2 ，然后在中點C處固定兩個懸臂梁（與原簡支梁具有相同的剛度和彎矩方程，因此亦具有相同的撓曲線形狀），其撓曲線如圖6所示，兩端撓度為

同理，把其撓曲線兩端的撓度移轉(zhuǎn)為零（即將圖6中所示直線A′B′平移至與AB重合，相應(yīng)的撓曲線也隨之剛性移轉(zhuǎn)），便得到圖5所示原變截面簡支梁的撓曲線，圖5所示結(jié)構(gòu)C處的撓度和轉(zhuǎn)角亦可由圖6中的撓曲線剛性移轉(zhuǎn)而得到，分別為

圖5 變剛度簡支梁示意圖

圖6 等效懸臂梁示意圖

支座A和B處的轉(zhuǎn)角可由θA=θA′+θC和θB=θB′+θC求得。

通過上面的兩個計算實例分析，可以看出簡支梁需要計算哪個截面的撓度和轉(zhuǎn)角，只需把它變成固定端為該截面的兩個等彎矩的懸臂梁，為了保持光滑連續(xù)性條件，這兩個懸臂梁為同一個固定端（就是欲求位移的截面處）。同時將原來兩端的支座反力作為外載荷作用于懸臂梁（以確保具有相同的彎矩方程）。再通過傳統(tǒng)的疊加法計算兩個懸臂梁兩端的變形，最后通過剛性移轉(zhuǎn)使得問題滿足原結(jié)構(gòu)的邊界條件，便可計算出該截面的撓度和轉(zhuǎn)角。

2.3 外伸梁的變形計算

圖7所示外伸梁，CD段受均布載荷q作用，求D處的撓度和轉(zhuǎn)角。首先求得A處支座反力FA=0 ，然后在支座B處固定兩個具有相同彎矩方程的懸臂梁，如圖8所示，因為圖7所示外伸梁與圖8所示等效懸臂梁結(jié)構(gòu)具有相同的剛度和彎矩方程，因此二者亦具有相同的撓曲線形狀。等效懸臂梁結(jié)構(gòu)的撓曲線為圖8中的A′BD′，則兩端撓度分別為

圖7 受均布載荷作用外伸梁示意圖

圖8 等效懸臂梁示意圖

D處的轉(zhuǎn)角為

為了讓等效懸臂梁的撓曲線滿足外伸梁的邊界條件，將直線A′B繞B點旋轉(zhuǎn)至與AB重合（相應(yīng)的撓曲線A′BD′也隨之剛性轉(zhuǎn)動，這樣A點便滿足了外伸梁的邊界條件），從而便得到了圖7所示受均布載荷作用外伸梁的撓曲線。則圖7中D處的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

經(jīng)積分法檢驗，結(jié)果正確。

通過外伸梁變形的計算實例分析，可以看出外伸梁需要在靠近外伸端的支座處將其變成兩個與原結(jié)構(gòu)等彎矩的懸臂梁。為了保持光滑連續(xù)性條件，這兩個懸臂梁為同一個固定端（該固定端為靠近外伸端的支座處，如本例中為B處）。同時將另一端的支座反力作為外載荷作用于所對應(yīng)的懸臂梁（以確保具有相同的彎矩方程），再通過傳統(tǒng)的疊加法計算兩個懸臂梁兩端的變形，最后通過剛性轉(zhuǎn)動使得滿足原問題的邊界條件，從而得到原問題的撓曲線形狀和所求截面的彎曲變形。

3 結(jié)束語

本文基于梁的彎曲變形理論，給出一種求解簡支梁和外伸梁彎曲變形的“特殊疊加法”。該方法以懸臂梁的彎曲變形為基礎(chǔ)，將簡支梁或外伸梁分解為兩個懸臂梁的基本變形，再根據(jù)光滑連續(xù)性條件，將左右兩個懸臂梁組裝成簡支梁或外伸梁，然后通過對撓曲線的轉(zhuǎn)動和平移，從而計算出某個截面的彎曲變形。該方法是對材料力學(xué)彎曲變形疊加法的進一步延拓和補充，對求解某些較為復(fù)雜的彎曲變形問題非常有效和便捷，同時該方法還可進一步用于求解彎曲超靜定問題。