平面問題轉(zhuǎn)軸公式適用性的討論1)

李 敏 李依倫 陳偉民 ,,2)

*(北京航空航天大學航空科學與工程學院，北京 100191)

?(巴黎-薩克雷大學，土壤、結(jié)構(gòu)與材料力學實驗室，法國巴黎 91190)

**(中國科學院力學研究所，北京100190)

??(中國科學院大學工程科學學院，北京 100049)

1 問題的由來

應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析是材料力學課程（包括后續(xù)固體力學類課程）的重要內(nèi)容之一，其中廣為熟知也是占據(jù)絕大部分教材篇幅的教學內(nèi)容，是平面問題的應(yīng)力與應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式推導和應(yīng)用。

在材料力學課程體系中，應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析是強度理論的基礎(chǔ)，其核心是找尋復(fù)雜應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)的特征參量，即獲取具有代表性、數(shù)量最少的表征參數(shù)描述復(fù)雜應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)。為了展示分析思路，采用平面問題的模型無論在圖形繪制清晰性還是推導過程簡潔性方面都是不錯的選擇，當然，工程中也有大量實際問題滿足平面問題的特征。

在固體力學領(lǐng)域，所有的教師都熟知平面問題分為平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題，也有工程形象化稱謂——前者為薄板問題，后者為水壩問題，兩種平面問題的示意圖如圖1所示。

圖1 平面問題示意圖

平面應(yīng)力狀態(tài)

平面應(yīng)變狀態(tài)

在筆者多年的上課、答疑與聽課過程中，該部分容易引發(fā)學生疑惑的部分出現(xiàn)在轉(zhuǎn)軸公式的典型應(yīng)用，例如利用純剪狀態(tài)（圖2）推導各向同性材料彈性模量E、剪切模量G與泊松比μ的關(guān)系，這幾乎是所有材料力學教材中都會出現(xiàn)的例題[1-4]，該問題的證明過程一般都會同時使用應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式與廣義胡克定律

圖2 純剪狀態(tài)與應(yīng)力應(yīng)變分析

因此

其中值得探究的問題是：圖2所示的純剪狀態(tài)很明顯是平面應(yīng)力狀態(tài)，但推導過程中使用了平面應(yīng)變狀態(tài)的應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式（式（3）），由平面應(yīng)變狀態(tài)獲得的應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式是否可用于平面應(yīng)力問題？與之對應(yīng)的問題是由平面應(yīng)力狀態(tài)獲得的應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式是否可用于平面應(yīng)變問題？

除此之外，在材料力學教學實驗與工程結(jié)構(gòu)變形實測中，使用應(yīng)變花測量物體表面的應(yīng)變狀態(tài)是電測法的常見模式。被測對象中處于平面應(yīng)力狀態(tài)的不是少數(shù)，特別是航空航天結(jié)構(gòu)基本全是薄板，但是應(yīng)變花的理論基礎(chǔ)是平面應(yīng)變狀態(tài)獲取的應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式。

這個問題之所以容易引發(fā)學生疑惑，主要原因在于教師講解平面問題兩種轉(zhuǎn)軸公式之前，都會著重論述平面應(yīng)力狀態(tài)與平面應(yīng)變狀態(tài)是完全不同的兩種狀態(tài)，往往還會使用式（1）與式（2）結(jié)合圖1進行比較，而后期使用轉(zhuǎn)軸公式時卻基本沒有闡述“跨域”使用的原因。

2 問題的解釋

理論上，轉(zhuǎn)軸公式是應(yīng)力（應(yīng)變）分量在不同坐標系下的轉(zhuǎn)換關(guān)系（彈性力學表述），或者某一點不同方位應(yīng)力（應(yīng)變）的表征（材料力學表述），這種轉(zhuǎn)換關(guān)系或表征并不依賴于具體的應(yīng)力（應(yīng)變）狀態(tài)。盡管轉(zhuǎn)換關(guān)系總是成立的，但轉(zhuǎn)換關(guān)系的具體表達式（例如轉(zhuǎn)換矩陣中的系數(shù)）是否依賴于應(yīng)力（應(yīng)變）狀態(tài)？換言之，處于平面應(yīng)力（應(yīng)變）狀態(tài)下不同方位的應(yīng)變（應(yīng)力）之間一定有關(guān)聯(lián)，但這種關(guān)系是否滿足平面應(yīng)變（應(yīng)力）狀態(tài)下得到的應(yīng)變（應(yīng)力）轉(zhuǎn)軸公式？這是本文希望澄清的問題。

2.1 從平面應(yīng)力到平面應(yīng)變

首先說明由平面應(yīng)力狀態(tài)獲得的應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式，是否適用于平面應(yīng)變狀態(tài)。

對于平面應(yīng)變狀態(tài)，由其應(yīng)變特征（式（2））以及廣義胡克定律（考慮到材料力學教學內(nèi)容，以下討論中使用各向同性材料的廣義胡克定理，不涉及各向異性材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系轉(zhuǎn)換）

可知σz=μ(σx+σy) ，τyz=τzx=0 ，一般情況下，其微體的應(yīng)力狀態(tài)如圖3所示，類似圖像經(jīng)常出現(xiàn)在求解主應(yīng)力的例題與習題中，唯一的差異是σz并不是任意取值，其與σx和σy保持特定的關(guān)系。但這種差異并不影響針對該微體的平衡分析方法：在任一平行于z軸剖面（圖3（b）中α面）獲取的部分微體力平衡分析中，z向的力平衡自動滿足，且不參與x–y面內(nèi)的力平衡分析，即σz是否為零與應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式的推導過程無關(guān)。所以結(jié)論很清晰：由平面應(yīng)力狀態(tài)下推導的應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式可以用于平面應(yīng)變狀態(tài)，公式形式無需修改。

圖3 平面應(yīng)變狀態(tài)的微體應(yīng)力分析示意圖

2.2 從平面應(yīng)變到平面應(yīng)力

其次，證明由平面應(yīng)變狀態(tài)獲得的應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式是否可用于平面應(yīng)力狀態(tài)。

比較平面應(yīng)力微體與平面應(yīng)變微體，面內(nèi)應(yīng)變的差異在于σz對εx與εy的影響，平面應(yīng)變問題中

同理

對于平面應(yīng)力問題

關(guān)于應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式的適用范圍，材料力學經(jīng)典教材均有以下或類似的描述：“應(yīng)變分析建立在幾何關(guān)系的基礎(chǔ)上，因此所得各結(jié)論適用于任何小變形問題，而與材料的力學性能無關(guān)”[3]，換言之，材料彈性模量和泊松比的具體數(shù)值并不影響轉(zhuǎn)軸公式的具體形式，所以由平面應(yīng)變狀態(tài)下推導的應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式應(yīng)該可以用于平面應(yīng)力狀態(tài)。

也許部分讀者認為以上的論述不夠嚴密，這里給出一個推導過程，在平面應(yīng)力狀態(tài)下根據(jù)廣義胡克定律與平面應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式（采用材料力學正負號模式）

使用廣義胡克定律，對于以下應(yīng)變進行代換（應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式的應(yīng)變組合形式）

所以

由以上推導可知，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，面內(nèi)任意一點不同方位的應(yīng)變表達形式與平面應(yīng)變狀態(tài)下的表達形式完全一致。

事實上，基于平面應(yīng)變狀態(tài)推導應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式，國內(nèi)經(jīng)典教材有不同的描述，例如劉鴻文教授主編的教材[1]中明確指出：“這里所指的平面應(yīng)變狀態(tài)，其實是平面應(yīng)力所對應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)。它與彈性力學中習慣上所說的平面應(yīng)變并不完全相同，因為彈性力學中的平面應(yīng)變要求εz=γyz=γzx=0 ”；而單輝祖教授主編的教材[3]中對于所研究的平面應(yīng)變狀態(tài)定義為：“當構(gòu)件內(nèi)一點處的變形均發(fā)生在同一平面時，則稱該點處于平面應(yīng)變狀態(tài)”，該描述與彈性力學的平面應(yīng)變定義一致。筆者認為，劉鴻文教授采用平面應(yīng)力狀態(tài)推導應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式也是不錯的方法，因為材料力學教材中涉及到的平面問題（例題與習題）均為平面應(yīng)力問題，如果應(yīng)力應(yīng)變的轉(zhuǎn)軸公式均基于平面應(yīng)力狀態(tài)，學生在學習時不會有適用范圍的疑惑。當然，如果應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式基于平面應(yīng)力狀態(tài)導出，在彈性力學標準的平面應(yīng)變狀態(tài)下，其形式的一致性仍然可用上述方法證明，在平面應(yīng)變狀態(tài)下根據(jù)廣義胡克定律與應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式（前面已經(jīng)證明應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式可用于平面應(yīng)變狀態(tài)）

即二者的表達形式完全一致。

2.3 從平面問題到空間問題

更進一步的問題是：對于所有復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，平面轉(zhuǎn)軸公式是否可用？當然，這里的轉(zhuǎn)動還是限定于繞z軸，即剖面平行于z軸的應(yīng)力應(yīng)變表達。對于圖4中平行于z軸的任意剖面，其外法線與x軸夾角為α，研究該方位的正應(yīng)力與切應(yīng)力。

圖4 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)微體與平行于z軸任意剖面應(yīng)力分析示意圖（局部放大）

以α面正應(yīng)力σα為例，在α面外法矢方向的力平衡中（圖4(b)），z方向的應(yīng)力所組成的內(nèi)力不參與，包括z面的σz、x面的τxz與y面的τyz；另外z面正向與z面負向的τzx和τzy所組成的內(nèi)力相互抵消也不出現(xiàn)在力平衡方程中，以上的情況對于面內(nèi)切應(yīng)力ταt完全相同。以上分析表明該方向平衡方程的形式與平面應(yīng)力模型完全一致，所以，平面應(yīng)力狀態(tài)下推出的應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式可表征任意應(yīng)力狀態(tài)下平行于面外軸線剖面上的應(yīng)力。

如果授課教師已經(jīng)講述過應(yīng)力張量（應(yīng)變張量）的坐標分量變換公式

對于平行于z軸的任意剖面，αx=cosα，αy=sinα，αz=0 ，tx=?sinα，ty=cosα，tz=0 ，rx=ry=0 ，rz=1 ，代入可以獲得與平面應(yīng)力狀態(tài)完全一致的轉(zhuǎn)軸公式，例如σα表達式為（應(yīng)力張量轉(zhuǎn)換使用彈性力學的正負號規(guī)則，所以表達式中切應(yīng)力前符號為正）

按照完全類似的方式，同樣可以說明應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式的適用性，這里不再贅述。

3 小結(jié)

轉(zhuǎn)軸公式表征不同方位物理量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，理論上，無論基于力平衡的應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換，還是基于小變形下幾何關(guān)系的應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換，均與材料性能無關(guān)，也與應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)無關(guān)。為了推導過程的簡潔與分析圖像的清晰，材料力學教材使用平面應(yīng)力（應(yīng)變）狀態(tài)推導應(yīng)力（應(yīng)變）轉(zhuǎn)軸公式是十分自然的，但是這種轉(zhuǎn)換關(guān)系的具體形式，例如基于平面應(yīng)力（應(yīng)變）狀態(tài)下的應(yīng)力（應(yīng)變）轉(zhuǎn)軸公式，能否涵蓋所有應(yīng)力（應(yīng)變）狀態(tài)，特別是材料力學教材中例題與習題經(jīng)常出現(xiàn)的應(yīng)力（應(yīng)變）狀態(tài)，這是本文討論的問題。

本文針對繞z軸的轉(zhuǎn)動情況，通過簡單的轉(zhuǎn)換分析，說明：

（1）由平面應(yīng)力狀態(tài)獲得的應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式可用于平面應(yīng)變狀態(tài)（也適用于一般性的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)）；

（2）由平面應(yīng)變狀態(tài)獲得的應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式可用于平面應(yīng)力狀態(tài)（也適用于一般性的復(fù)雜應(yīng)變狀態(tài)）。

另外，對于涉及到該問題的教學有兩點建議：

（1）如果考慮到本科學生的力學理論基礎(chǔ)（特別是非力學專業(yè)本科學生），可以使用劉鴻文主編教材[1]的模式，即應(yīng)力與應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式均基于平面應(yīng)力狀態(tài)推導，避免在公式使用過程中引入適用性問題；

（2）如果教學中僅出現(xiàn)純剪狀態(tài)的分析，使用應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以說明純剪狀態(tài)既是平面應(yīng)力狀態(tài)，也是平面應(yīng)變狀態(tài)，也可避免有關(guān)公式適用性討論。