初中函數(shù)單元教學(xué)應(yīng)把握好三個(gè)關(guān)鍵詞

劉 藝， 趙思林

(內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 四川 內(nèi)江 641100)

0 引言

著名數(shù)學(xué)家克萊因有一句名言：“函數(shù)是數(shù)學(xué)的靈魂．”整體地把握中學(xué)數(shù)學(xué)課程是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念之一[1]．這就意味著，不能整體地把握函數(shù)就不能把握數(shù)學(xué)的靈魂．函數(shù)概念從萌芽到發(fā)展成熟經(jīng)歷了數(shù)百年的時(shí)間．函數(shù)概念的萌芽可能源于14世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W萊斯姆使用圖形表示依時(shí)間t而變的x；17世紀(jì)伽利略、笛卡爾等發(fā)現(xiàn)了一個(gè)變量對(duì)于另一變量的“依賴關(guān)系”；牛頓、萊布尼茲“把函數(shù)當(dāng)作曲線”；1718年約翰·貝努利“把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫‘x的函數(shù)’”(注意：不嚴(yán)密)；歐拉認(rèn)為“一個(gè)變量的解析式叫函數(shù)[2]”(注意：不嚴(yán)密)，并給出了函數(shù)符號(hào)f(x)；1822年傅里葉發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可以用一條曲線，或一個(gè)或多個(gè)式子表示；1837年狄利克雷指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的值x，y都有一個(gè)確定的值，那么y叫作x的函數(shù)．”[2]現(xiàn)行初中、高中教材的函數(shù)定義基本接近狄利克雷這個(gè)定義．不難看到，歷史上不少數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)也經(jīng)歷了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從不太準(zhǔn)確到準(zhǔn)確、從不太嚴(yán)密到嚴(yán)密的過(guò)程，他們提出了各種各樣函數(shù)概念的觀點(diǎn)，如“變量”說(shuō)、“圖像”說(shuō)、“解析式”說(shuō)、“依賴關(guān)系”說(shuō)、“單值對(duì)應(yīng)”說(shuō)、“映射”說(shuō)、“關(guān)系”說(shuō)，等等．?dāng)?shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)認(rèn)識(shí)的曲折過(guò)程給我們的啟示是，理想的初中函數(shù)教學(xué)不能是短時(shí)間完成“計(jì)件”任務(wù)的“快餐”式教學(xué)，應(yīng)是整體性規(guī)劃、模塊化設(shè)計(jì)、分階段落實(shí)并且時(shí)間跨度比較長(zhǎng)的單元教學(xué)．單元教學(xué)包括單元教學(xué)設(shè)計(jì)、單元教學(xué)實(shí)施和單元教學(xué)評(píng)價(jià)．

1 問(wèn)題的提出

初中函數(shù)知識(shí)作為7—9年級(jí)“數(shù)與代數(shù)”的核心內(nèi)容，是初中數(shù)學(xué)難教、難學(xué)的內(nèi)容之一，對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)具有重要的“腳手架”作用，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要意義．因此，對(duì)初中函數(shù)知識(shí)的教學(xué)研究一直是初中教學(xué)研究的熱點(diǎn)．研究表明，數(shù)學(xué)單元教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的簡(jiǎn)約有效的方法[3]．?dāng)?shù)學(xué)單元教學(xué)是以整體教學(xué)觀和系統(tǒng)論為教學(xué)指導(dǎo)，將關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的知識(shí)、技能和經(jīng)驗(yàn)整合為模塊實(shí)施的教學(xué)活動(dòng)[3]．

一些教師對(duì)初中函數(shù)單元教學(xué)作了研究并取得成果．如，斯海霞等[4]以大概念為錨點(diǎn)，提出了單元教學(xué)的設(shè)計(jì)路線，并以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為目標(biāo)，做了初中函數(shù)單元教學(xué)設(shè)計(jì)．此教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)初中函數(shù)單元教學(xué)具有啟發(fā)性，但其提出的單元教學(xué)路徑比較繁瑣，且僅以一次函數(shù)為例給出了教學(xué)設(shè)計(jì)．丁福珍[5]采用整體教學(xué)策略，將三類函數(shù)模型復(fù)習(xí)整合成兩個(gè)課時(shí)，其中第1課時(shí)構(gòu)建了三類函數(shù)(一次函數(shù)(含正比例函數(shù)，以下不再說(shuō)明)、二次函數(shù)、反比例函數(shù))的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并歸納出研究三類函數(shù)的基本方法幾乎都是按照“情境—問(wèn)題—定義—圖像—性質(zhì)—應(yīng)用”來(lái)展開(kāi)的，這個(gè)基本方法對(duì)學(xué)習(xí)和研究高中、大學(xué)階段的其他函數(shù)也是適合的，這里提煉出來(lái)的“研究函數(shù)的基本方法”對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)無(wú)疑具有方法論價(jià)值．但多數(shù)研究者在對(duì)初中函數(shù)教學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，沒(méi)有系統(tǒng)考慮與高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接，并且沒(méi)有把銳角三角函數(shù)(sinA,cosA,tanA)納入其中．對(duì)一線教師的訪談發(fā)現(xiàn)，不把銳角三角函數(shù)納入其中有以下原因：一是初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)(sinA,cosA,tanA)實(shí)質(zhì)上是映射(即使用角度制表示的角度集合到比值集合的單值對(duì)應(yīng))，而不是高中講的函數(shù)(實(shí)數(shù)集的非空子集到實(shí)數(shù)集的非空子集的單值對(duì)應(yīng))；二是初中階段的三角函數(shù)的研究方法是按照“情境—問(wèn)題—定義—應(yīng)用”展開(kāi)的，在初中由于不學(xué)習(xí)弧度制就沒(méi)法研究三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，這就與上述研究初中三類函數(shù)模型的基本方法不完全一致，會(huì)讓學(xué)生甚至是教師感到困惑，因此考慮到初中學(xué)生的認(rèn)知能力，對(duì)三角函數(shù)的教學(xué)只宜做降低難度或淡化處理，這樣做也體現(xiàn)了“教育數(shù)學(xué)”的理念；三是初中學(xué)的銳角三角函數(shù)的定義主要用于解三角形，其次是為高中系統(tǒng)學(xué)習(xí)解三角形、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)等打基礎(chǔ)．

理解變量的概念是理解函數(shù)概念的前提．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“函數(shù)與變量的關(guān)系”的認(rèn)識(shí)比較模糊．如，有研究者用類似于“3x+2是x的函數(shù)嗎？當(dāng)x取m-2時(shí)，3x+2是m的函數(shù)嗎？”的問(wèn)題測(cè)試學(xué)生，測(cè)試結(jié)果顯示，因?qū)W生缺乏“變量”意識(shí)和存在對(duì)函數(shù)概念的不正確理解等問(wèn)題，致使此題得分率僅為0.31[6]．此案例讓我們揣測(cè)，學(xué)生也難以回答“x是函數(shù)嗎？”“x是x的函數(shù)嗎？”等問(wèn)題；為什么多數(shù)學(xué)生不把代數(shù)式3x+2看成函數(shù)呢，究其原因，可能是因?yàn)檫@里只有一個(gè)變量x而沒(méi)有y，也可能是學(xué)生看不到或想不到在這里隱含了一個(gè)(單值的)對(duì)應(yīng)關(guān)系：x→3x+2．盡管學(xué)生刷了大量的函數(shù)題目，但他們?nèi)匀浑y以把一個(gè)字母或代數(shù)式看作一個(gè)變化的量或函數(shù)，從而就沒(méi)有辦法理解函數(shù)的本質(zhì)，也就難以養(yǎng)成函數(shù)的“三會(huì)”素養(yǎng)(即會(huì)用函數(shù)的眼光看待和表征問(wèn)題，會(huì)用函數(shù)的思想方法去分析、探索和解決問(wèn)題，會(huì)用函數(shù)的語(yǔ)言和符號(hào)簡(jiǎn)潔規(guī)范地表達(dá)問(wèn)題)．

訪談發(fā)現(xiàn)，初中數(shù)學(xué)教師在對(duì)初中函數(shù)單元教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，容易出現(xiàn)函數(shù)集中教學(xué)的“前期”缺乏“滲透”和在函數(shù)主要知識(shí)集中教學(xué)的“后期”(或初三復(fù)習(xí)時(shí))的“銜接”不力等問(wèn)題．因此，理想的初中函數(shù)單元教學(xué)實(shí)施應(yīng)分為三個(gè)階段：第一階段要“滲透”變量、對(duì)應(yīng)、關(guān)系等函數(shù)的基礎(chǔ)概念；第二階段要“提煉”函數(shù)的核心知識(shí)(如三要素、幾類函數(shù)模型及性質(zhì))、函數(shù)思想方法、研究函數(shù)的基本方法以及用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題的基本方法；第三階段要“銜接”高中數(shù)學(xué)知識(shí)．

2 初中函數(shù)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的主要步驟與“三階段”的說(shuō)明

初中函數(shù)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的主要步驟有四步：第一步，選取教學(xué)內(nèi)容和組織子單元；第二步，確立函數(shù)素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)；第三步，教學(xué)實(shí)施的“三階段”：滲透、提煉、銜接；第四步，設(shè)計(jì)教學(xué)評(píng)價(jià)．

2.1 第一步：選取教學(xué)內(nèi)容和組織子單元

在核心素養(yǎng)的視角下，明確教學(xué)內(nèi)容(含課時(shí)安排)，將關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的知識(shí)、技能和經(jīng)驗(yàn)組織為一個(gè)單元．單元教學(xué)內(nèi)容的選取和組織須琢磨教材，明確該內(nèi)容在初中階段的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系．斯海霞等[4]對(duì)國(guó)內(nèi)目前使用的五版初中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)單元的編排進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)人教版的編排最為科學(xué)系統(tǒng)，符合數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯與學(xué)生的認(rèn)知邏輯．因此，本文采用人教版教材的知識(shí)邏輯框架來(lái)設(shè)計(jì)，具體章節(jié)和內(nèi)容的設(shè)計(jì)作了一些調(diào)整，意在做到整體性規(guī)劃、模塊化設(shè)計(jì)、分階段落實(shí)初中函數(shù)單元教學(xué)．

初中函數(shù)單元可組織5個(gè)子單元：

①函數(shù)的三要素(八年級(jí)下冊(cè)，3學(xué)時(shí))；

②三類函數(shù)模型(八年級(jí)下冊(cè)的一次函數(shù)4學(xué)時(shí)、九年級(jí)上冊(cè)的二次函數(shù)5學(xué)時(shí)、九年級(jí)下冊(cè)的反比例函數(shù)3學(xué)時(shí))，函數(shù)的三要素及三類函數(shù)模型單元復(fù)習(xí)(3學(xué)時(shí))；

③銳角三角函數(shù)(九年級(jí)下冊(cè)5學(xué)時(shí))，本文不作重點(diǎn)研究；

④函數(shù)思想方法與應(yīng)用(初三總復(fù)習(xí)，4學(xué)時(shí))；

⑤與高中數(shù)學(xué)知識(shí)銜接(初二章節(jié)復(fù)習(xí)或初三總復(fù)習(xí)，1學(xué)時(shí))．

完成全部教學(xué)任務(wù)約花28學(xué)時(shí),比非單元教學(xué)所需學(xué)時(shí)更少,并且增加了“函數(shù)的背景(含函數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史)”“函數(shù)思想方法與應(yīng)用”“初中函數(shù)與高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接”等重要內(nèi)容.因此，實(shí)施單元教學(xué)是比較節(jié)省時(shí)間的，不僅有利于聚焦核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，而且有利于“雙減”政策的落實(shí)，以達(dá)到減負(fù)提質(zhì)的效果．

2.2 第二步：確立初中函數(shù)素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)

基于學(xué)情并依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》，確立初中函數(shù)素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)，見(jiàn)表1．

表1 初中函數(shù)素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)

2.3 第三步：設(shè)計(jì)教學(xué)實(shí)施的“三階段”：滲透、提煉、銜接

初中函數(shù)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的大工程在于單元教學(xué)內(nèi)容的整體設(shè)計(jì)，即教學(xué)實(shí)施階段應(yīng)“教什么”“如何教”的設(shè)計(jì)．因此，本文重點(diǎn)闡述初中函數(shù)單元教學(xué)設(shè)計(jì)中教學(xué)實(shí)施的三個(gè)關(guān)鍵階段應(yīng)“教什么”“如何教”．其中，把“如何教”提煉為三個(gè)關(guān)鍵詞：“滲透”“提煉”和“銜接”，它們也是緊密聯(lián)系的三個(gè)教學(xué)階段(見(jiàn)圖1)．第一階段是“滲透”變量、對(duì)應(yīng)、關(guān)系、變化等函數(shù)的基礎(chǔ)概念；第二階段是“提煉”函數(shù)核心知識(shí)、函數(shù)思想方法、用函數(shù)思想解決問(wèn)題的方法；第三階段是“銜接”高中數(shù)學(xué)知識(shí)．在這里，“滲透”是基礎(chǔ)，“提煉”是關(guān)鍵，“銜接”是升華．

圖1 初中函數(shù)單元教學(xué)實(shí)施的三階段及內(nèi)容

2.3.1 第一階段：滲透

此階段是函數(shù)教學(xué)的啟蒙階段，意在培養(yǎng)函數(shù)意識(shí)，搭好后續(xù)學(xué)習(xí)的“腳手架”，主要任務(wù)是“滲透”變量、對(duì)應(yīng)、關(guān)系、變化等函數(shù)基礎(chǔ)概念．函數(shù)概念的滲透始于初一年級(jí)(甚至可以更早)，如“字母表示數(shù)”“解析式(包括整式、分式、根式等)”“正比例關(guān)系的概念”“反比例關(guān)系的概念”等，都是滲透“變量思想”“對(duì)應(yīng)思想”“關(guān)系思想”“變化思想”的知識(shí)載體．顯然，變量、解析式都是認(rèn)識(shí)與理解函數(shù)的重要“腳手架”，但需讓學(xué)生知道，取值不唯一的解析式都不是函數(shù)．也就是說(shuō)，一個(gè)變量的解析式不一定是函數(shù)．但基于學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，如果學(xué)生能夠“把一個(gè)變量的解析式看作函數(shù)(歐拉)”[2]，如學(xué)生認(rèn)識(shí)到“x是函數(shù)”“3x+2是x的函數(shù)”，那么學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)就算初步入門(mén)了．對(duì)一線教師訪談發(fā)現(xiàn)，不少教師在這些內(nèi)容的教學(xué)中缺乏滲透“變量思想”“對(duì)應(yīng)思想”“關(guān)系思想”和“變化思想”的意識(shí)．因此，在全面系統(tǒng)學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)之前，重視滲透“變量”“對(duì)應(yīng)”“關(guān)系”等函數(shù)的基礎(chǔ)概念是非常必要的．

2.3.2 第二階段：提煉

提煉是函數(shù)概念形成、函數(shù)性質(zhì)獲取、函數(shù)思想方法內(nèi)化、函數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的心理加工機(jī)制．本文中的提煉含有抽象、概括、心理加工和圖式建構(gòu)之意，因此提煉也可理解為是對(duì)抽象、概括、心理加工和圖式建構(gòu)的統(tǒng)稱．提煉作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心心理機(jī)制，包括概念抽象機(jī)制、法則概括機(jī)制、認(rèn)知加工機(jī)制、數(shù)學(xué)圖式建構(gòu)機(jī)制和數(shù)學(xué)問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)獲取機(jī)制等．初中函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程是在若干個(gè)子過(guò)程中提煉數(shù)學(xué)信息的過(guò)程，這些子過(guò)程包括函數(shù)概念的形成過(guò)程、函數(shù)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、函數(shù)思想方法的內(nèi)化過(guò)程、函數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過(guò)程．具體來(lái)說(shuō)，初中函數(shù)主要是在八年級(jí)下冊(cè)(人教版)開(kāi)始系統(tǒng)學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)的關(guān)鍵詞是“提煉”，主要包括函數(shù)定義的提煉(函數(shù)定義內(nèi)蘊(yùn)函數(shù)的三要素)、四類函數(shù)模型的提煉、三類函數(shù)的性質(zhì)的提煉、函數(shù)思想方法的提煉、用函數(shù)思想方法解決問(wèn)題的一般方法的提煉等內(nèi)容．

(1)函數(shù)定義的提煉.

在引入函數(shù)定義之前，教師可以先介紹函數(shù)發(fā)展的簡(jiǎn)史，特別是要介紹數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)不斷深化的認(rèn)識(shí)過(guò)程與觀念(概念)創(chuàng)新，其意圖是讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)創(chuàng)新文化的教育，以達(dá)到以文育人、以文樹(shù)人、以文化人的教育目的．函數(shù)定義的提煉可根據(jù)多元表征理論，讓學(xué)生多維度去感知情境、分析問(wèn)題、逐步提煉出定義．提煉函數(shù)定義的方法很多，如，從數(shù)學(xué)史中引出函數(shù)概念和符號(hào)；從三類有理函數(shù)模型的具體問(wèn)題情境中引出函數(shù)概念；借助于解析式、圖像、表格等方式去發(fā)現(xiàn)和揭示兩個(gè)變量的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而提煉出函數(shù)定義，并由此掌握函數(shù)的三種表示方法．

學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)定義最大的難點(diǎn)在于理解什么是單值對(duì)應(yīng)，即“對(duì)于自變量的每一個(gè)值，因變量都有唯一確定的值(函數(shù)值)與之對(duì)應(yīng)”．突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)的方法很多，如，可利用教材或自編的3至5個(gè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生抽象出兩個(gè)變量(比如x和y)，然后建立y與x的等量關(guān)系，接著分析和判斷x到y(tǒng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為單值對(duì)應(yīng)，最后得到結(jié)論；讓學(xué)生理解“3x是x的函數(shù)”，這里的對(duì)應(yīng)關(guān)系是“x→3x”；讓學(xué)生理解“1-5t是t的函數(shù)”；此外，也可利用反例強(qiáng)化理論，讓學(xué)生知道，形如

等取值不唯一的解析式都不是函數(shù)．

函數(shù)的定義內(nèi)蘊(yùn)函數(shù)的三要素．在初中，函數(shù)的三要素是指函數(shù)的自變量x的取值范圍、函數(shù)值y的取值范圍、對(duì)應(yīng)關(guān)系；在高中則是指函數(shù)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系．在初中主要是研究函數(shù)的自變量x的取值范圍(即定義域)，給出x的值去求函數(shù)y的值(即求函數(shù)值)．在初中階段，學(xué)生全面理解函數(shù)的三要素是困難的，教師可側(cè)重于理解自變量x的取值范圍和函數(shù)值的概念，并會(huì)求自變量的取值范圍、會(huì)求函數(shù)值．

(2)函數(shù)模型的提煉.

函數(shù)模型是函數(shù)的“模特”，是研究函數(shù)的重要載體．函數(shù)模型集定義(解析式)、圖像、性質(zhì)與應(yīng)用于一體．初中學(xué)習(xí)的函數(shù)模型主要有三類有理函數(shù)和銳角三角函數(shù)，其關(guān)系見(jiàn)圖2．研究三類有理函數(shù)的基本步驟是：實(shí)際問(wèn)題—函數(shù)定義—圖像—性質(zhì)—應(yīng)用．讓學(xué)生順便了解，高中將要學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)模型也是按照這些步驟展開(kāi)的．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)普遍遵循特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，教學(xué)一般先講正比例函數(shù)(特殊的一次函數(shù))，然后將它推廣或類比得到一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)；二次函數(shù)還可由一次函數(shù)推廣和類比得到．銳角三角函數(shù)作為一個(gè)獨(dú)立的子單元在三類有理函數(shù)單元結(jié)束之后才學(xué)習(xí)，其研究方法按照“情境—問(wèn)題—定義—應(yīng)用”展開(kāi)．

圖2 函數(shù)模型關(guān)系

(3)函數(shù)思想方法的提煉.

在解決問(wèn)題過(guò)程中感悟函數(shù)思想、變量思想、單值對(duì)應(yīng)思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．利用函數(shù)知識(shí)解決的問(wèn)題主要有兩類，第一類是解決涉及代數(shù)式(解析式)、方程、不等式等的綜合問(wèn)題，包括結(jié)合函數(shù)圖像與性質(zhì)解二元一次方程組、一元二次方程根的分布問(wèn)題；拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題；求不等式解集；函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題等，從而使學(xué)生建立起“以函數(shù)為綱”的體現(xiàn)整體性、聯(lián)系性的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)[7]；第二類是具有實(shí)際意義的情境性問(wèn)題，這類問(wèn)題主要是讓學(xué)生通過(guò)建立函數(shù)模型(構(gòu)造函數(shù))解決問(wèn)題，并體會(huì)函數(shù)思想方法的應(yīng)用價(jià)值．由于函數(shù)圖像是研究函數(shù)和解決問(wèn)題的重要工具，需重視教學(xué)方法與信息技術(shù)的融合，幫助學(xué)生熟練地掌握畫(huà)函數(shù)圖像這一重要技能，養(yǎng)成畫(huà)函數(shù)圖像、用函數(shù)圖像分析問(wèn)題的習(xí)慣，在數(shù)形互化中體悟函數(shù)思想．

(4)解決問(wèn)題之一般方法的提煉.

解決問(wèn)題過(guò)程中提煉運(yùn)用函數(shù)思想解決問(wèn)題的一般方法：引入變量(設(shè)字母)—建函數(shù)關(guān)系—畫(huà)函數(shù)圖像—探函數(shù)性質(zhì)—解決問(wèn)題，簡(jiǎn)記為“設(shè)—建—畫(huà)—探—解”．可以安排在初三總復(fù)習(xí)時(shí)進(jìn)行．

例1已知方程x2+mx+2m-1=0的一個(gè)根小于2，一個(gè)根大于2，求m的值的范圍．

分析1若用求根公式求解，則需要先解答兩個(gè)含根式的不等式，然后求出它們的交集，即解不等式組

這對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常困難的．

某市50名骨干教師在3分鐘之內(nèi)，僅有6人(占12%)想到了運(yùn)用函數(shù)的思想方法來(lái)解決．其他大多數(shù)老師是在嘗試?yán)门袆e式、或列不等式組、或韋達(dá)定理等方法“失敗”之后，才“被動(dòng)”想到下面的函數(shù)思想方法．

分析2可有效培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)的“三會(huì)”素養(yǎng)，即會(huì)用函數(shù)的眼光去看待問(wèn)題和表征問(wèn)題，會(huì)用函數(shù)的思維去思考、探索、分析并解決問(wèn)題，會(huì)用函數(shù)的語(yǔ)言去描述問(wèn)題和表達(dá)問(wèn)題．這可提高學(xué)生用函數(shù)思想方法解決問(wèn)題的能力，并深刻體會(huì)函數(shù)思想方法的價(jià)值．

2.3.3 第三階段：銜接

做好初中函數(shù)知識(shí)與高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接，對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)具有重要意義．初中函數(shù)知識(shí)是學(xué)習(xí)高中的函數(shù)知識(shí)、平面解析幾何中的直線方程(如直線的斜截式方程)和圓錐曲線(雙曲線、拋物線)的重要基礎(chǔ)．現(xiàn)在的初中學(xué)生畢業(yè)后絕大多數(shù)都要進(jìn)入高中(含職業(yè)高中)學(xué)習(xí)．重視初、高中數(shù)學(xué)的銜接是初中教師的基本職責(zé)．但訪談發(fā)現(xiàn)，由于很多老師對(duì)高中相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)不太熟悉，導(dǎo)致在初中、高中函數(shù)知識(shí)的銜接教學(xué)不力．此階段在于把初中學(xué)習(xí)的函數(shù)知識(shí)變成學(xué)習(xí)高中函數(shù)知識(shí)、直線方程、雙曲線、拋物線等知識(shí)的堅(jiān)固的“腳手架”．因此，教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)理念是立足于初中函數(shù)知識(shí)、著眼于高中的相應(yīng)知識(shí)，即加強(qiáng)與高中函數(shù)(含三角函數(shù))、拋物線、雙曲線等的銜接．

銜接1：函數(shù)符號(hào)的銜接．在上面的例1之分析2中，“當(dāng)x=2時(shí)，y<0”，即有“22+2m+2m-1<0”，問(wèn)學(xué)生有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的辦法表示這個(gè)過(guò)程呢？這里，可啟發(fā)學(xué)生，今后可用“f(2)<0，即22+2m+2m-1<0”來(lái)表示這個(gè)過(guò)程．這樣引入函數(shù)的符號(hào)f(x)，既自然，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)單美．教師進(jìn)一步說(shuō)明，初中“用y表示x的函數(shù)”不方便、不簡(jiǎn)潔，這可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高中函數(shù)知識(shí)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)．由此，教師可簡(jiǎn)略地、順便地介紹高中和大學(xué)主要用f(x)表示x的函數(shù)，因此有y=f(x)．符號(hào)f可看作是x到y(tǒng)的單值對(duì)應(yīng)，或者看作是關(guān)于x的一個(gè)算法，可以用解析式、圖像、表格等方式表征[8]．

銜接2：函數(shù)三要素的銜接．高中函數(shù)的三要素為定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系．定義域?yàn)楹瘮?shù)自變量x的取值范圍，值域?yàn)楹瘮?shù)y的取值范圍．初中、高中函數(shù)定義中的對(duì)應(yīng)關(guān)系均是指“對(duì)于自變量的每一個(gè)值，因變量都有一個(gè)唯一確定的值(函數(shù)值)與之對(duì)應(yīng)”．

銜接3：研究函數(shù)的基本方法的銜接．高中函數(shù)的研究方法與初中函數(shù)研究方法一致，可提煉為：函數(shù)的定義—畫(huà)函數(shù)圖像—探函數(shù)性質(zhì)—函數(shù)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用．

銜接4：一次函數(shù)與直線方程的銜接．一次函數(shù)是直線方程的一種形式，即直線的斜截式方程．對(duì)于斜截式方程，直線方程中斜率可以是0，但一次函數(shù)的斜率不能為0．一次函數(shù)中兩個(gè)參數(shù)k，b的幾何意義是學(xué)習(xí)高中直線方程的基礎(chǔ)，可作簡(jiǎn)單介紹．

銜接5：二次函數(shù)與拋物線的銜接．二次函數(shù)的圖像是拋物線，而拋物線的解析式不一定是二次函數(shù)，如x=y2．

銜接7：與高中解三角形知識(shí)的銜接．利用初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)，可直接推導(dǎo)出三角形的面積公式、正弦定理和余弦定理．高中將學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)的定義，可視為是初中銳角三角函數(shù)定義的推廣．

這些與高中知識(shí)可銜接的內(nèi)容應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況做選擇，不可能都講．

2.4 第四步：設(shè)計(jì)教學(xué)評(píng)價(jià)

單元的評(píng)價(jià)任務(wù)設(shè)計(jì)是落實(shí)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的重要路徑[9]．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)既是個(gè)體在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)理解、應(yīng)用、思維、發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)等活動(dòng)中反復(fù)修煉、自主生成的過(guò)程，也是個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)不斷積累、反省、反證的自我體驗(yàn)過(guò)程[10]．學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)需要做到學(xué)習(xí)策略、數(shù)學(xué)思維的自組織與他組織相統(tǒng)一．自組織強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)和獨(dú)立思考，他組織強(qiáng)調(diào)學(xué)生與教師、同學(xué)、學(xué)習(xí)小組之間的合作、互動(dòng)及經(jīng)驗(yàn)分享．學(xué)生獲得函數(shù)素養(yǎng)的本質(zhì)是個(gè)體通過(guò)生理系統(tǒng)、心理系統(tǒng)、知識(shí)系統(tǒng)、教學(xué)系統(tǒng)、環(huán)境系統(tǒng)五大系統(tǒng)的互動(dòng)與組織而獲得函數(shù)“三會(huì)”素養(yǎng)的過(guò)程[11]．因此，初中函數(shù)單元教學(xué)應(yīng)扎實(shí)“四基”、培養(yǎng)“四能”，在獲得函數(shù)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和函數(shù)的思維經(jīng)驗(yàn)、積累用函數(shù)思想方法分析和解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)函數(shù)經(jīng)驗(yàn)的不斷反思、反省、反證等思維方式培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)“三會(huì)”素養(yǎng)．即，“四基”落腳點(diǎn)在于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的獲得，它側(cè)重于數(shù)學(xué)信息的輸入與內(nèi)化；“四能”落腳點(diǎn)在于解決問(wèn)題，它側(cè)重于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的輸出與外化；而“三會(huì)”素養(yǎng)則是在個(gè)人的“四基”與“四能”基礎(chǔ)上的綜合體現(xiàn)．因此，初中函數(shù)單元教學(xué)的質(zhì)量可以從“四基”“四能”“三會(huì)”等維度編制評(píng)價(jià)量表并進(jìn)行測(cè)評(píng)．

3 教學(xué)建議

通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查與訪談發(fā)現(xiàn)，初中數(shù)學(xué)教師實(shí)施函數(shù)單元教學(xué)的實(shí)際情況不太理想，尤其是教齡較短和職稱較低的教師更不理想．單元教學(xué)設(shè)計(jì)需要教師對(duì)教材進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，是一項(xiàng)創(chuàng)造性工作，對(duì)教師的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)素養(yǎng)有很高要求．因此，有效實(shí)施初中函數(shù)單元教學(xué)的前提是發(fā)展關(guān)于中學(xué)函數(shù)方面的優(yōu)良的MPCK素養(yǎng)(即中學(xué)函數(shù)的學(xué)科教學(xué)知識(shí)素養(yǎng))和教研創(chuàng)新素養(yǎng)[12]．教師需掌握初中函數(shù)與高中密切相關(guān)的函數(shù)知識(shí)(含三角函數(shù))、平面解析幾何(含直線方程、雙曲線、拋物線)和解三角形等知識(shí)，意在通過(guò)與高中相關(guān)知識(shí)的無(wú)縫銜接增強(qiáng)學(xué)生將來(lái)學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的能力．教師可從相關(guān)期刊文獻(xiàn)中獲得單元教學(xué)的理論與教學(xué)案例，增強(qiáng)用單元教學(xué)理論研究與開(kāi)發(fā)中學(xué)數(shù)學(xué)教材、創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)、研究課堂教學(xué)、撰寫(xiě)教研成果的意識(shí)與能力．建議實(shí)行新老教師一對(duì)一的“師徒”制，讓經(jīng)驗(yàn)豐富的中老教師指導(dǎo)新入職教師搞好單元教學(xué)．需要說(shuō)明的是，本文第二部分內(nèi)容與學(xué)時(shí)安排應(yīng)根據(jù)學(xué)情參考或取舍，切忌完全照搬，并需在教學(xué)實(shí)踐中不斷改進(jìn)與完善．