基于模糊二叉樹改進(jìn)的自由現(xiàn)金流估價模型

韓曉晨，付佳君，趙 聰

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125105；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 會計研究院，遼寧 阜新 123000）

0 引言

20 世紀(jì)70 年代，約翰·考克斯和斯蒂芬·羅斯通過研究推導(dǎo)期權(quán)定價公式，闡述了風(fēng)險中性理論.該理論所表現(xiàn)的衍生證券定價微分方程中未涉及關(guān)于投資者風(fēng)險態(tài)度的變量，特別是期望收益率變量[1].風(fēng)險中性理論的思想主要在于構(gòu)建風(fēng)險中性環(huán)境，無論投資者個人的風(fēng)險偏好程度是否相同以及期望收益率水平差異大小，均使用風(fēng)險中性偏好以及無風(fēng)險利率變量進(jìn)行替換處理[2].李偉[3]等把模糊理論與傳統(tǒng)二叉樹模型進(jìn)行結(jié)合，研究了不確定條件下期權(quán)定價問題.鄭征[4]等將復(fù)合實物期權(quán)理論引入初創(chuàng)企業(yè)價值研究，優(yōu)化傳統(tǒng)估值方法.BARANOVA M P[5]等基于改進(jìn)的Modigliani-Miller 模型對能源企業(yè)進(jìn)行價值評估分析.曲心怡[6]將宏微觀環(huán)境和商業(yè)模式等因素引入到傳統(tǒng)自由現(xiàn)金流（FCFF，F(xiàn)ree Cash Flow for the Firm）模型中，對在線教育行業(yè)進(jìn)行適用性評估.雖然學(xué)者們關(guān)于價值評估問題做了一定研究，但有關(guān)改進(jìn)零售企業(yè)價值評估模型的研究較少.將模糊二叉樹期權(quán)定價引入到FCFF 模型中，將自由現(xiàn)金流進(jìn)行動態(tài)化處理，并應(yīng)用于武商集團(tuán)這一零售企業(yè)，以確定改進(jìn)模型能夠提升零售企業(yè)價值評估的準(zhǔn)確性.

1 傳統(tǒng)價值評估模型分析

1.1 FCFF 模型分析

目前在對企業(yè)進(jìn)行價值評估時應(yīng)用最普遍、理論上最完善的模型是現(xiàn)金流折現(xiàn)模型，該模型體現(xiàn)增量現(xiàn)金流原則以及時間價值原則[7-8]，企業(yè)價值通過預(yù)測期價值和后續(xù)期價值進(jìn)行評估為

式中，V0為企業(yè)價值，元；Ft、Fn+1分別為第t年和第n+1 年的企業(yè)自由現(xiàn)金流，元；W為加權(quán)平均資本，元；gn為第n年后長期增長率.

公司自由現(xiàn)金流等于息前稅后利潤加上折舊攤銷費(fèi)用，減去資本支出與營運(yùn)資金增加額.

式（2）、式（3）中，Ke為權(quán)益資本成本，元；Kd為債務(wù)資本成本，元；E為權(quán)益市場價值，元；D為債務(wù)市場價值，元；tcit為所得稅率；Rm為市場收益率；Rf為無風(fēng)險利率；β為企業(yè)的系統(tǒng)風(fēng)險系數(shù).

盡管自由現(xiàn)金流評估法考慮了貨幣的時間價值，但是該方法依然是靜態(tài)價值評估方法，忽視了自由現(xiàn)金流和折現(xiàn)率的動態(tài)變化.

1.2 二叉樹期權(quán)定價模型分析

二叉樹模型是一種動態(tài)模型，其構(gòu)建基礎(chǔ)是標(biāo)的資產(chǎn)會根據(jù)時間離散情況展開價值運(yùn)動，并且描述標(biāo)的資產(chǎn)的價值變動情況[9].該模型原理圖見圖1.

圖1 單期二項式定價模型原理Fig.1 schematic of single-phase binomial pricing model

二叉樹期權(quán)定價模型中，S0為股票現(xiàn)行價格，Su為股票上行價，Sd為股票下行價，在下一期，資產(chǎn)的價值可能是Suu、Sud、Sdd，觀察期內(nèi)，股價上升與下降的概率與變動幅度不會變化.對企業(yè)價值評估時需要考慮市場環(huán)境、消費(fèi)者需求傾向等影響較大的不確定性因素[10-11]，因此需要對評估模型進(jìn)一步修正.

2 基于模糊二叉樹改進(jìn)的FCFF 模型

充分考慮評估中的多種不確定性情況，將FCFF 設(shè)置成為動態(tài)現(xiàn)金流，假定企業(yè)營業(yè)收入波動是模糊數(shù).使用拋物型模糊數(shù)表現(xiàn)企業(yè)營業(yè)收入變動的上升和下降過程，同時獲取風(fēng)險中性概率，將其設(shè)定為一個模糊區(qū)間，從而有效評估出企業(yè)價值上升和下降的范圍.投資者可以借助模糊二叉樹模型尋找出能夠接受的置信區(qū)間，因而擁有合適的模糊價格范圍，依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)選擇恰當(dāng)?shù)耐顿Y策略.

根據(jù)二叉樹期權(quán)定價理論，在風(fēng)險中性假設(shè)的前提下，建立營業(yè)收入二叉樹模型，確定上行乘數(shù)u與下行乘數(shù)d，并對其進(jìn)行模糊區(qū)間的設(shè)定，因而能夠充分考慮到零售業(yè)的不確定性，此外，還能估算出企業(yè)價值當(dāng)前變動及未來發(fā)展的整體范圍.單期二叉樹原理的變動情況見圖2.

圖2 單期二叉樹原理變動Fig.2 variation of single-phase binary tree principle

2.1 L-R 模糊數(shù)和拋物型模糊數(shù)

若M為L-R 型模糊數(shù)，其隸屬函數(shù)為

式（4）中，L、R是參考函數(shù)，L是左枝，R是右枝；α、β表現(xiàn)的是左展形和右展形；為模糊數(shù)M中變量x取值范圍的臨界值.

拋物線模糊數(shù)是L-R 模糊數(shù)的一種特殊形式，梯形模糊數(shù)、三角模糊數(shù)是n次拋物型模糊數(shù)的特殊形式[3].

由于在股價波動率的估計中存在大量的不確定性，傳統(tǒng)二叉樹模型具有一定的局限性，更適合的解決辦法是假設(shè)波動率是有上下限范圍的賦權(quán)區(qū)間，在這個區(qū)間里波動率不同其可靠程度也不同，因此上行乘數(shù)和下行乘數(shù)同樣是有范圍的賦權(quán)區(qū)間，為了能夠直觀地表現(xiàn)出資產(chǎn)、收益等要素的變動情況，研究假設(shè)u和d都是拋物型模糊數(shù).

2.2 模糊二叉樹模型設(shè)定

根據(jù)傳統(tǒng)FCFF 模型可知，其不足之處在于設(shè)定未來的營業(yè)收入是持續(xù)增長的狀態(tài)，并未考慮到市場因素等帶來的風(fēng)險問題.在風(fēng)險中性假設(shè)的前提下，構(gòu)建模糊二叉樹模型，對于企業(yè)的上行乘數(shù)和下行乘數(shù)進(jìn)行模糊設(shè)定，找出波動范圍，從而確定企業(yè)的整體發(fā)展情況.

在營業(yè)收入的預(yù)測過程中，基期的營業(yè)收入為S0，未來變動情況見圖3，圖中（max，min）表示在最大值最小值之間的波動范圍.

圖3 收入的二叉樹Fig.3 binary tree of income

在進(jìn)行自由現(xiàn)金流折現(xiàn)模型指標(biāo)預(yù)測時，大多采用收入百分比法，所以對企業(yè)息前稅后利潤、折舊攤銷、資本支出、營運(yùn)資金，及自由現(xiàn)金流的預(yù)測采用營業(yè)收入的上行乘數(shù)、下行乘數(shù)，以及上漲和下跌概率的數(shù)值.企業(yè)價值評估公式為

式中，Vn為企業(yè)第n年末評估價值，元；V(n+1,u)為第n+1 年上行價值，元；V(n+1,d)為第n+1 年下行價值，元；C表示當(dāng)年現(xiàn)金流，元.

改進(jìn)后的模型充分考慮了營業(yè)收入存在下降的可能性，評估出來的結(jié)果更加精準(zhǔn)可靠.

2.3 模糊概率設(shè)定

根據(jù)風(fēng)險中性理論，市場收益率為無風(fēng)險利率，可以推出

式中，Pu為上升概率；Pd為下降概率.

設(shè)u、d為拋物型模糊數(shù)，即

其α截集分別為

將式（6）中的u、d用其α截集表示，通過推導(dǎo)得出

通過解式（7）、式（8）得出Pu和Pd的α截集，即為風(fēng)險中性概率的區(qū)間.

α=0 時，

α=1 時，

也就是說，α為0 時，可以取到u與d的極大值和極小值；α為1 時，取到u與d為中間值，若u2=u3，則成為傳統(tǒng)二叉樹模型.與此同時，還可以根據(jù)u和d的變動情況，預(yù)測出相應(yīng)的概率波動范圍.

2.4 模糊波動率設(shè)定

在對具體企業(yè)進(jìn)行評估時，可以利用σ的設(shè)定來化解模糊性，以得到相對準(zhǔn)確的企業(yè)價值的波動范圍，為企業(yè)項目投融資、并購以及未來發(fā)展提供可靠性依據(jù).化解模糊化方法的思路是找到一個與模糊數(shù)距離最小的實數(shù)，作為未來企業(yè)發(fā)展過程中營業(yè)收入波動率σ的參照值，定義波動率模糊數(shù)σ與實數(shù)x之間的距離為

以距離最小化為目標(biāo)得目標(biāo)函數(shù)為

對式（9）求一階偏導(dǎo)并令其等于0，再進(jìn)行模糊化后，得到

當(dāng)n=1 時，σ為梯型模糊數(shù)，此時

可以將σ1至σ4之間的距離等分，便于確定σ在一定變動規(guī)律下企業(yè)價值的變動.還可以對企業(yè)價值波動范圍進(jìn)行預(yù)測，企業(yè)可以選取其可接受的置信度，對不同時段的波動率進(jìn)行計算，通過差值、加權(quán)值等方法對波動范圍進(jìn)行預(yù)測和分析，更加準(zhǔn)確地衡量企業(yè)的發(fā)展?jié)摿?，確定企業(yè)價值.

3 模型在武商集團(tuán)價值評估中的應(yīng)用

3.1 數(shù)據(jù)來源

武商集團(tuán)主要從事購物中心和超市零售業(yè)務(wù)，2019 年企業(yè)總資產(chǎn)235.95 億元，凈資產(chǎn)95.10 億元.從國泰安數(shù)據(jù)庫獲取武商集團(tuán)2010-2019 年公開的財務(wù)數(shù)據(jù)，并查閱該企業(yè)的財務(wù)年度報告，以及通過瀏覽國家統(tǒng)計局等相關(guān)網(wǎng)站與查閱統(tǒng)計公報等方式，獲取零售行業(yè)和社會發(fā)展的市場指標(biāo)及行業(yè)數(shù)據(jù).

3.2 價值評估

（1）預(yù)測未來增長率及折現(xiàn)率

通過對宏觀市場環(huán)境與武商集團(tuán)的分析，預(yù)計在2024 年武商集團(tuán)達(dá)到中國零售業(yè)宏觀發(fā)展水平，進(jìn)入可持續(xù)發(fā)展?fàn)顟B(tài)，設(shè)定未來持續(xù)增長率為2019年全國社會消費(fèi)品零售增長率[12].設(shè)定武商集團(tuán)實際的未來增長率可能會在行業(yè)宏觀增長率8.0%左右出現(xiàn)一定幅度的變動，其變動區(qū)間為6.0%～10.0%.

選取β為國泰安數(shù)據(jù)庫中武商集團(tuán)2019 年的beta 值0.855；Rf為國家發(fā)放5 年期國債利率4.27%，債務(wù)資本成本Kd為籌資所借債務(wù)的利率，取中國人民銀行5 年期貸款利率為4.75%；所得稅率tcit為25%；Rm取2019 年深證市場年回報率6.89%.企業(yè)2019 年權(quán)益的市場價值為102.12 億元，債務(wù)的市場價值為140.85 億元.運(yùn)用加權(quán)資本成本的計算公式，最終得出武商集團(tuán) 2019 年預(yù)測折現(xiàn)率為11.98%.

（2）預(yù)測現(xiàn)金流模糊參數(shù)

計算2010-2019 年，武商集團(tuán)的營業(yè)收入增長率的標(biāo)準(zhǔn)差σF為0.109，近2 年的標(biāo)準(zhǔn)差σi為0.100，作為臨界值，表明未來營業(yè)收入的波動率會以當(dāng)前的水平為基礎(chǔ)，逐漸向參照值進(jìn)行靠攏，并圍繞參照值進(jìn)行上下浮動；其差額0.009 作為偏離的水平，預(yù)測出σ兩端的極值分別為0.100 和0.118.計算得最終的營業(yè)收入波動率σ的模糊數(shù)集為

根據(jù)二叉樹模型公式確定出

α=0 時，u和d取極值，因此概率Pu和Pd也取極值，其區(qū)間為

α=1 時，u和d為中間值，因此概率Pu和Pd也都取中間值，其區(qū)間分別為

（3）評估過程

運(yùn)用公式求出2024 年的營業(yè)收入，從而確定息前稅后利潤、折舊攤銷、資本支出，以及營運(yùn)資金增加額等數(shù)值，預(yù)測出企業(yè)自由現(xiàn)金流.再進(jìn)行2024 年企業(yè)價值以及其他各個節(jié)點的企業(yè)價值的計算，應(yīng)用公式為

式（11）～式（12）中，V2024、V2023分別為2024年、2023 年的企業(yè)價值，V(2024,u)、V(2024,d)分別為2024年上行與下行的企業(yè)價值.

以此類推，可求得2024 年、2023 年、2022 年、2021 年，及2020 年各節(jié)點的企業(yè)價值，從如下集中情況對企業(yè)價值進(jìn)行評估.

（a）u、d取極值

① 當(dāng)α=0，上行乘數(shù)與下行乘數(shù)取最小值時，u1=1.105，d1=0.905，運(yùn)用式（11）、式（12），將各時段現(xiàn)金流進(jìn)行折現(xiàn)，計算出1u條件下的初始企業(yè)價值.此外，以過去3 年所有者權(quán)益增長率的平均值來預(yù)測企業(yè)清算價值，2019 年的企業(yè)所有者權(quán)益值為95.10 億元，近3 年平均增長率為16.26%.對各節(jié)點的企業(yè)價值進(jìn)行調(diào)整，將低于預(yù)期所有者權(quán)益的企業(yè)價值的數(shù)值進(jìn)行替換，得出最終的企業(yè)價值.結(jié)果見表1.

表1 u1 條件下二叉樹各節(jié)點價值（單位：億元）Tab.1 value of each node of binary tree under u1 condition (unit:108yuan)

由表1 可知，武商集團(tuán)2019 年的企業(yè)初始價值為215.65 億元，在1u條件下，若不考慮企業(yè)的清算價值，且企業(yè)發(fā)展一直良好，2024 年，企業(yè)價值將上升到415.74 億元，若受市場風(fēng)險等因素影響過大，最終結(jié)果將下降為153.20 億元，下降幅度較大，極有可能導(dǎo)致武商集團(tuán)無法承擔(dān)企業(yè)的債務(wù)情況及運(yùn)營成本，面臨企業(yè)經(jīng)營不善、虧損，甚至倒閉的風(fēng)險.在1u條件下最終評估價值為216.01 億元，到2024 年，若發(fā)展一直良好，則價值將上升到415.74 億元，若呈現(xiàn)持續(xù)的下降趨勢，則最終結(jié)果將為201.98 億元.在企業(yè)持續(xù)經(jīng)營的前提下進(jìn)行價值評估，武商集團(tuán)具有較好的發(fā)展?jié)摿?，但是仍然要做好?yīng)對市場風(fēng)險的管理計劃.

②當(dāng)α=0，上行乘數(shù)與下行乘數(shù)取最大值時，u4=1.125，d4=0.889，計算武商集團(tuán)初始企業(yè)價值與最終價值，結(jié)果見表2.

表2 u4 條件下二叉樹各節(jié)點價值（單位：億元）Tab.2 value of each node of binary tree under u4 condition (unit:108yuan)

由表2 可知，2019 年的企業(yè)初始價值為215.87億元，在u4條件下，到2024 年價值將上升到455.15億元或者下降為140.13 億元.在4u條件下武商集團(tuán)最終評估價值為216.72 億元，到2024 年，若持續(xù)上升，則價值將達(dá)到455.15 億元，但是若企業(yè)持續(xù)性下降，則最終清算價值將為201.98 億元.

（b）u、d取中間值

由于文章篇幅原因，u2條件下、u3條件下企業(yè)初始價值與最終價值具體數(shù)值不再列示.

當(dāng)α=1，上行乘數(shù)與下行乘數(shù)取中間的較小值時，u2=1.112，d2=0.899，2019 年的企業(yè)初始價值為216.06億元.到2024 年價值將上升到432.16 億元或下降為148.19億元.集團(tuán)最終評估價值為216.57億元，到2024年，若持續(xù)上升，則價值將達(dá)到432.16 億元，但是若企業(yè)持續(xù)性下降，則最終結(jié)果將為201.98 億元.

當(dāng)α=1，上行乘數(shù)與下行乘數(shù)取中間的較大值時，u3=1.1 19，d3=0.8 94，2019 年的企業(yè)初始價值為215.67 億元，且以此持續(xù)到2024 年企業(yè)價值將上升到441.76 億元或下降為144.11 億元.最終評估價值為216.35 億元，到2024 年，價值將達(dá)到441.76 億元或下降為201.98 億元.說明在u3條件下武商集團(tuán)依然要注重自身經(jīng)營，以免出現(xiàn)被清算的情況.

（4）評估結(jié)果有效性分析

2019 年武商集團(tuán)發(fā)行7.69 億股，收盤價為13.28 元/股.而企業(yè)凈債務(wù)值為120.30 億元，評估的企業(yè)價值減去債務(wù)值的差額為企業(yè)的股權(quán)價值，可以通過與2019 年的收盤價格進(jìn)行比較，從而確定其合理性.

表3 評估結(jié)果合理性比較Tab.3 rationality comparison of evaluation results

增長率g為6.0%時，評估結(jié)果誤差的絕對值分別為54.63%、53.76%、53.45%、52.86%和53.67%，均高于20%，說明該增長率下對武商集團(tuán)的企業(yè)價值評估結(jié)果過低；增長率g為10.0%時，評估結(jié)果誤差極大，說明該增長率下對武商集團(tuán)的企業(yè)價值評估結(jié)果過高. 增長率g為8.0%時，評估結(jié)果誤差在合理范圍內(nèi)，因此最終選取零售行業(yè)宏觀增長率8.0%作為武商集團(tuán)企業(yè)價值評估的后續(xù)增長率，最終評估企業(yè)價值為216.42 億元.通過比較可以看出，誤差最小的為增長率最高的u4條件，這主要是由于改進(jìn)模型考慮到企業(yè)未來發(fā)展的不確定性，使得價格越高的模型越靠近于收盤價格.

3.3 模型對比分析

傳統(tǒng)FCFF 模型設(shè)定未來的營業(yè)收入是持續(xù)增長的狀態(tài)，而企業(yè)在經(jīng)營過程中面臨著各種風(fēng)險，行業(yè)整體大環(huán)境變差或者企業(yè)自身經(jīng)營出現(xiàn)問題等都會影響企業(yè)的收入狀況.改進(jìn)后的FCFF 模型對企業(yè)的上行乘數(shù)和下行乘數(shù)進(jìn)行模糊設(shè)定，能夠計算在不同條件下企業(yè)價值存在的波動情況.運(yùn)用模糊二叉樹期權(quán)定價改進(jìn)后的FCFF 模型對武商集團(tuán)進(jìn)行企業(yè)價值評估，證明改進(jìn)的模型能夠修正傳統(tǒng)模型在企業(yè)價值評估過程中出現(xiàn)的虛高，評估結(jié)果更加科學(xué)有效.

4 結(jié)論

在分析傳統(tǒng)的FCFF 估價模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合模糊二叉樹模型對其進(jìn)行改進(jìn)，并應(yīng)用到武商集團(tuán)進(jìn)行具體的零售企業(yè)價值評估研究，主要結(jié)論如下.

（1）對傳統(tǒng)自由現(xiàn)金流折現(xiàn)模型進(jìn)行改進(jìn)，建立了基于模糊二叉樹改進(jìn)的FCFF 估價模型，該模型充分考慮了被評估企業(yè)的不確定性因素，在合理的波動區(qū)間進(jìn)行估價，拓展了模型應(yīng)用條件，提高了模型估價的準(zhǔn)確性.

（2）運(yùn)用改進(jìn)的FCFF 模型，對武商集團(tuán)進(jìn)行企業(yè)價值評估，根據(jù)零售行業(yè)總體發(fā)展情況設(shè)定不同的企業(yè)未來增長率，確定出相關(guān)參數(shù)的模糊數(shù)集，測算出武商集團(tuán)的企業(yè)價值為216.42 億元，價值整體變動范圍為216.01 億元至216.73 億元.對評估結(jié)果進(jìn)行有效性分析，進(jìn)一步證實改進(jìn)的FCFF估價模型評估結(jié)果具有較強(qiáng)的科學(xué)性與真實性，對零售企業(yè)進(jìn)行準(zhǔn)確的價值評估具有借鑒意義.