DC-DC 變換器的反饋線性化反步滑模控制

張 民，韋正怡，周明珠，王鳳蓮，曹益暢，丁新平

（1.青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，山東 青島 266520；2.南京信息工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210044）

0 引言

電力電子變換器具有高效率、高功率密度等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于光伏發(fā)電、航天和工業(yè)制造等領(lǐng)域[1].作為一種典型的非線性開關(guān)切換系統(tǒng)，將傳統(tǒng)的線性控制方法應(yīng)用于這類變換器中往往具有一定的局限性，研究非線性控制方法在電力電子變換器中的應(yīng)用是今后變換器控制技術(shù)的研究趨勢(shì)[2].

基于反饋線性化的非線性控制方法得到廣泛關(guān)注[3-4]，文獻(xiàn)[5]～文獻(xiàn)[6]將反饋線性化控制方法應(yīng)用于DC-DC 開關(guān)變換器控制中，通過研究發(fā)現(xiàn)其具有良好的調(diào)節(jié)性能.但結(jié)合現(xiàn)有的研究成果可以發(fā)現(xiàn)，狀態(tài)反饋線性化在使用過程中對(duì)被控對(duì)象的精確建模考慮了部分假設(shè)條件，并未考慮實(shí)際中存在的不確定性問題，所以其魯棒性有一定局限性.

滑模變結(jié)構(gòu)控制作為一種先進(jìn)的控制方法，具有強(qiáng)魯棒性[7]，在電力電子變換器控制方面也得到了大量的應(yīng)用[8-9].因此，研究人員嘗試將兩種方法進(jìn)行結(jié)合.文獻(xiàn)[10]提出一種精確反饋線性化滑?？刂品椒?，并以Boost 變換器為研究對(duì)象，進(jìn)行仿真與實(shí)驗(yàn)研究，驗(yàn)證了精確反饋線性化滑模變結(jié)構(gòu)控制具有的強(qiáng)魯棒性以及抗擾動(dòng)性.文獻(xiàn)[11]提出一種基于反饋線性化的有源電力濾波器準(zhǔn)滑?？刂撇呗?，解決了有源電力濾波器在采用滑模控制時(shí)出現(xiàn)的抖振現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果表明該控制方法具有較優(yōu)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能.文獻(xiàn)[12]利用反饋線性化滑模控制技術(shù)實(shí)現(xiàn)了單相有源電力濾波器（APF，Active Power Fliter）補(bǔ)償電流的精確控制.從對(duì)比研究結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，反饋線性化滑?？刂萍夹g(shù)具有突出的動(dòng)態(tài)性能，此外，還降低了單相APF 電流總諧波失真率.

反步法采用逆序遞推方法進(jìn)行控制律的設(shè)計(jì)[13]，在進(jìn)行每一步設(shè)計(jì)時(shí)，其將狀態(tài)坐標(biāo)的變化以及某些不確定參數(shù)的函數(shù)關(guān)系與設(shè)定的Lyapunov函數(shù)、虛擬控制量聯(lián)系起來，并通過逐步的算法修改過程設(shè)計(jì)最終的控制律，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的全局調(diào)節(jié)與控制.將反步法與滑?？刂葡嘟Y(jié)合，通過反步法有助于滑模面的設(shè)計(jì)，從而削弱系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，進(jìn)一步保證系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能[14].

近年來，反饋線性化、反步法以及反步滑?？刂频认冗M(jìn)技術(shù)已經(jīng)不斷被應(yīng)用于各種類型的電力電子變換器中，但針對(duì)反步法、反饋線性化與滑?？刂萍夹g(shù)之間的相互融合卻少有研究.因此，將反饋線性化、反步法，以及滑?？刂萍夹g(shù)進(jìn)行結(jié)合，并選擇Boost 變換器為控制對(duì)象，探索基于反饋精確線性化的反步滑?？刂萍夹g(shù)在電力電子變換器控制中的應(yīng)用，并通過仿真與實(shí)驗(yàn)研究分析該方法在變換器控制系統(tǒng)魯棒性與抗擾動(dòng)性方面的性能優(yōu)勢(shì).

1 Boost 變換器數(shù)學(xué)模型

Boost 變換器隨著開關(guān)管的導(dǎo)通和關(guān)斷在不同狀態(tài)之間切換見圖1.圖中，L1為變換器的輸入電感、D1為輸出二極管、C1為輸出電容、S為功率開關(guān)管以及R為負(fù)載電阻，Ug與uC分別為直流輸入電壓及變換器輸出電壓，iL為變換器輸入電流.開關(guān)函數(shù)定義為

式中，S為功率開關(guān)（1、0 分別表示導(dǎo)通與關(guān)斷）；T為開關(guān)周期；D為占空比；n、n+1 分別表示第n、n+1 個(gè)開關(guān)周期.

圖1 Boost 變換器原理圖Fig.1 schematic of Boost converter

選取 Boost 變換器狀態(tài)變量為X=[x1,x2]=[iL,uC]，輸入變量為u，輸出變量為h(x)=x2-uoref，根據(jù)微分幾何法可以得到Boost 變換器的單輸入、單輸出仿射非線性系統(tǒng)表達(dá)式為

式中，X為狀態(tài)變量；u為控制變量；uoref為輸出電壓參考值.

其中

式中，L為輸入電感，μH；C為輸出電容，μF；R為負(fù)載電阻，Ω.

2 Boost 變換器反饋線性化

2.1 反饋線性化條件驗(yàn)證

對(duì)于式（2）的仿射非線性系統(tǒng)，一般需要滿足以下條件才可以進(jìn)行反饋精確線性化[3].

式中，

按照精確反饋線性化的條件對(duì)Boost 變換器的仿射非線性模型進(jìn)行反饋線性化條件驗(yàn)證.

首先Boost 變換器為二維系統(tǒng)，因此，根據(jù)判斷條件2 可知，對(duì)于向量場(chǎng)集合φ={g(X)}是對(duì)合的，滿足狀態(tài)反饋精確線性化條件（2）.此外，根據(jù)式（2）可以求得Boost 變換器向量場(chǎng)f(X)對(duì)g(X)的李括號(hào)為

所以，可得到狀態(tài)反饋精確線性化驗(yàn)證條件矩陣為

根據(jù)式（5）可知，[g(X)adfg(X)]的秩為2，等于系統(tǒng)的維數(shù).因此，滿足狀態(tài)反饋精確線性化驗(yàn)證條件（1）.綜上所述，滿足狀態(tài)反饋精確線性化條件，所以Boost 變換器系統(tǒng)可以進(jìn)行狀態(tài)反饋精確線性化，從而實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋精確線性化控制.

2.2 坐標(biāo)變換及布魯諾夫斯基標(biāo)準(zhǔn)型

依據(jù)狀態(tài)反饋精確線性化判定條件及式（2）定義的輸出函數(shù)，可計(jì)算系統(tǒng)的關(guān)系度為

式中，Lgh(X)為輸出函數(shù)h(X)對(duì)向量場(chǎng)g(X)的李導(dǎo)數(shù).

由式（6）可知，在X≠0 處系統(tǒng)的關(guān)系度r=1≠n.因此，根據(jù)狀態(tài)反饋精確線性化坐標(biāo)變換要求，式（2）所定義的輸出函數(shù)h(X)無法通過坐標(biāo)變換進(jìn)行狀態(tài)反饋精確線性化.所以，必須重新構(gòu)造一個(gè)新的輸出函數(shù)ω(X)，從而滿足系統(tǒng)關(guān)系度r等于系統(tǒng)維數(shù)n的坐標(biāo)變換要求.此外，新構(gòu)造的輸出函數(shù)ω(X)必須滿足

將式（2）代入式（7），可得

求解式（8）可以得到1 個(gè)滿足要求的解為

由計(jì)算出的ω(X)可得到向量場(chǎng)對(duì)應(yīng)李導(dǎo)數(shù)為

由式（10）可知，在X≠0 時(shí)，所求的新輸出函數(shù)ω(X)使得系統(tǒng)的關(guān)系度r=2=n，滿足系統(tǒng)關(guān)系度等于系統(tǒng)維數(shù)的要求.因此，可以利用輸出函數(shù)ω(X)進(jìn)行狀態(tài)反饋精確線性化坐標(biāo)變換.

定義坐標(biāo)變換為

經(jīng)坐標(biāo)變換后，取其布魯諾夫斯基標(biāo)準(zhǔn)型為

式中，z1，z2為經(jīng)坐標(biāo)變換后系統(tǒng)新的狀態(tài)變量；v為系統(tǒng)新的控制量.按照反饋精確線性化理論可得原系統(tǒng)控制量u與新的控制量v的關(guān)系為

3 反步滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

經(jīng)過上述精確反饋線性化后，原非線性系統(tǒng)被轉(zhuǎn)換為能控型線性系統(tǒng).為了實(shí)現(xiàn)輸出電壓uo跟蹤參考電壓uoref，在Boost 變換器達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，可以得到電感電流參考值為

在進(jìn)行反步滑模控制器設(shè)計(jì)時(shí)，需要定義新的跟蹤誤差為

反步法將1 個(gè)嚴(yán)格滿足反饋要求的非線性系統(tǒng)劃分為n維子系統(tǒng)，采用逆推的方法為每一個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)1 個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，并通過設(shè)置虛擬控制量，逐步修改函數(shù)算法，調(diào)整控制量，最終實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定[14]，從而保證系統(tǒng)穩(wěn)、動(dòng)態(tài)性能.

下面采用反步法設(shè)計(jì)Boost 變換器系統(tǒng)的滑模控制器.由于Boost 變換器是1 個(gè)二維系統(tǒng)，所以需要采用兩次反步法.

（1）定義Lyapunov 函數(shù)為

對(duì)式（18）求導(dǎo)，并結(jié)合式（17）可以得到

設(shè)置x1子系統(tǒng)的虛擬控制量為

式中，c1控制常數(shù)，c1＞0.

從而可以得到

由式（19）、式（21）可得

（2）定義Lyapunov 函數(shù)為

對(duì)式（23）求導(dǎo)，可得

對(duì)式（20）求導(dǎo)，并利用式（14）、式（15）可得

將式（25）代入式（24）可得

根據(jù)滑?？刂评碚撆c反步法，設(shè)計(jì)反步滑模控制器[14]，根據(jù)式（20）可知，x1子系統(tǒng)的虛擬控制量w2受輸出跟蹤誤差信號(hào)w1與參考信號(hào)x1ref的影響.所以，根據(jù)控制要求，選取滑模面為

選取滑模趨近律為

式中，η、c2為可調(diào)整的控制系數(shù)，且η＞0；c2＞0.

結(jié)合式（26）、式（27）與式（28）可以得到Boost 變換器基于狀態(tài)反饋線性化的反步滑模控制律為

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理[3]，分析Boost 變換器反步滑模控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性.

將式（30）代入式（26）可得

根據(jù)李雅普諾夫第二法穩(wěn)定性判據(jù)可知[3]：若為負(fù)定或者半負(fù)定時(shí)，對(duì)于任意初始狀態(tài)x(t0) ≠ 0而言，除去x= 0外，對(duì)x≠ 0，不恒等于0.則可以稱原點(diǎn)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的.如果進(jìn)一步，當(dāng)則該系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的.

由式（31）可知，V˙(w)是負(fù)定的，且在(w1,w2)≠(0,0)處，V˙(w)不恒等于0.所以，Boost 變換器反步滑?？刂葡到y(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即由式（14）、式（17）、式（20）與式（30）構(gòu)成的控制系統(tǒng)也是漸近穩(wěn)定的.因此，Boost 變換器的控制系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)參考目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行有效的跟蹤控制.

至此，Boost 變換器的反饋精確線性化反步滑?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)完成.系統(tǒng)的控制原理示意見圖2.

圖2 Boost 變換器控制系統(tǒng)控制原理Fig.2 control principle of Boost converter control system

4 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證反饋線性化反步滑?？刂品椒ǖ恼_性與有效性，利用Simulink 搭建Boost 變換器反饋線性化反步滑?？刂葡到y(tǒng)進(jìn)行仿真，并與PID 控制方法進(jìn)行對(duì)比，系統(tǒng)仿真參數(shù)見表1.表1 中，Uref為參考電壓值，fs為開關(guān)頻率.

表1 系統(tǒng)仿真參數(shù)Tab.1 system simulation parameters

根據(jù)表1，設(shè)計(jì)反饋線性化反步滑模控制參數(shù)c1=2 000，c2=15 000，η=20 000.在設(shè)計(jì)Boost 變換器的PID 控制器參數(shù)時(shí)，采用小信號(hào)建模方法，并利用Bode 圖補(bǔ)償進(jìn)行PID 參數(shù)的校正[15]，并借助Matlab 中sisotool 工具箱得到PID 控制器參數(shù)為

系統(tǒng)仿真分別在起動(dòng)響應(yīng)、輸入電壓切換、輸出負(fù)載切換、參考電壓切換、輸入電感切換幾種情況下進(jìn)行.

（1）系統(tǒng)起動(dòng)響應(yīng)

Boost 變換器的反饋控制起動(dòng)響應(yīng)對(duì)比見圖3.

從圖3 分析可知，在確保控制系統(tǒng)無超調(diào)、無振蕩的條件下，在本文所提出的反饋線性變化反步滑?？刂妻k法（SFLBSMC，F(xiàn)eedback Linearization Backstepping Slidding Mode Control）控制下的Boost變換器的起動(dòng)響應(yīng)效果要優(yōu)于PID 控制，起動(dòng)過程速度快，調(diào)節(jié)時(shí)間為5 ms 左右，而PID 控制方法則需要64 ms 左右起動(dòng).SFLBSMC 控制下的Boost變換器過程無明顯的超調(diào)，而PID 控制下有明顯的超調(diào).同樣在SFLBSMC 控制下，電感電流也很快到達(dá)新的穩(wěn)態(tài)值，動(dòng)態(tài)效果明顯優(yōu)于PID 控制.驗(yàn)證了SFLBSMC 的魯棒性以及超調(diào)小的優(yōu)勢(shì).

圖3 2 種控制方式起動(dòng)響應(yīng)對(duì)比Fig.3 two control methods start response comparison

（2）輸入電壓切換響應(yīng)

系統(tǒng)仿真時(shí)，在0.5 s 時(shí)突加5 V 的電壓擾動(dòng)，并在0.35 s 時(shí)去掉該擾動(dòng).圖4 為SFLBSMC 和PID控制下Boost 變換器輸出電壓和電感電流波形.

圖4 2 種控制方法輸入擾動(dòng)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)比Fig.4 comparison of dynamic response of two control methods under input disturbance

圖4（a）、圖4（b）對(duì)比可知，輸入電壓擾動(dòng)存在時(shí)，在反饋線性化反步滑模控制下，Boost 變換器輸出電壓大約經(jīng)過5 ms 就達(dá)到了設(shè)定的穩(wěn)態(tài)值.而在PID 控制方式下，Boost 變換器經(jīng)過大約70 ms 才達(dá)到設(shè)定的穩(wěn)態(tài)值，而且超調(diào)量也較大.

與此同時(shí)，電感電流在SFLBSMC 控制下的響應(yīng)速度明顯優(yōu)于PID 控制.這也進(jìn)一步驗(yàn)證了反饋線性化反步滑模控制的優(yōu)勢(shì).

（3）參考電壓切換響應(yīng)

通過系統(tǒng)仿真驗(yàn)證參考電壓突變下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，擾動(dòng)量為5 V.仿真結(jié)果見圖5.

圖5 2 種控制方式參考電壓擾動(dòng)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)比波形Fig.5 comparison of dynamic response of two control methods under reference voltage disturbance

從圖5（a）可知，參考電壓發(fā)生變化后，SFLBSMC 控制下，輸出電壓經(jīng)過大約6.5 ms 達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)狀態(tài)，PID 控制需要大約75 ms，控制效果明顯劣于SFLBSMC 控制.

從圖5（b）也可以分析出，SFLBSMC 控制下，電感電流的調(diào)節(jié)時(shí)間明顯優(yōu)于PID 控制.

（4）負(fù)載切換響應(yīng)

為模擬負(fù)載擾動(dòng)，將2 個(gè)不同阻值的電阻并聯(lián)，并利用一個(gè)理想開關(guān)進(jìn)行切換控制.仿真時(shí)分別在0.15 s、0.3 s 將負(fù)載在50 Ω 和40 Ω 間各切換一次.系統(tǒng)的仿真結(jié)果見圖6.

由圖6（a）可以看出，在SFLBSMC 控制下，Boost 變換器的輸出電壓經(jīng)過大約7 ms 就達(dá)到了穩(wěn)態(tài)值，調(diào)節(jié)時(shí)間短、超調(diào)小.而PID 控制則需要經(jīng)過大約70 ms 的時(shí)間才達(dá)到穩(wěn)態(tài)值.SFLBSMC 的調(diào)節(jié)效果明顯優(yōu)于PID 控制.同理，對(duì)于電感電流，由圖6（b）分析可知，SFLBSMC 的控制效果要明顯優(yōu)于PID 控制.

圖6 2 種控制方式負(fù)載擾動(dòng)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)比Fig.6 comparison of dynamic response of two control methods under load disturbance

將4 種不同仿真方式下的2 種控制方式到達(dá)穩(wěn)態(tài)定值的調(diào)節(jié)時(shí)間列于表2，其中仿真1、仿真2、仿真3、仿真4 分別代表起動(dòng)響應(yīng)仿真、輸入電壓切換仿真、參考電壓切換仿真，以及負(fù)載切換仿真.從表2 的數(shù)據(jù)中也可以看出，所設(shè)計(jì)的SFLBSMC控制方法調(diào)節(jié)時(shí)間短，具有較強(qiáng)的魯棒性.

表2 仿真調(diào)節(jié)時(shí)間對(duì)比Tab.2 comparison of simulation adjustment time

（5）輸入電感變化下的魯棒性

為了驗(yàn)證SFLBSMC 的魯棒性，在電感值逐漸變大的情況下，保持兩種控制方式的控制參數(shù)不變，分析2 種控制方法下Boost 變換器的起動(dòng)響應(yīng)過程.

圖7為電感L取1 mH、5 mH、10 mH 時(shí)， Boost變換器起動(dòng)時(shí)輸出電壓波形.由圖 7 可知，在SFLBSMC 控制下，隨著輸入電感值的增大，系統(tǒng)響應(yīng)速度變慢，調(diào)節(jié)時(shí)間變長，并有一定的超調(diào)，但是系統(tǒng)均能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值.此外，響應(yīng)速度、調(diào)節(jié)時(shí)間指標(biāo)均優(yōu)于PID 控制.

圖7 不同電感值下2 種控制方法起動(dòng)響應(yīng)對(duì)比Fig.7 comparison of start-up response of two control methods under different inductance values

通過以上對(duì)比分析可以得出，SFLBSMC 控制的魯棒性要明顯優(yōu)于PID 控制.

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證實(shí)際工作中控制系統(tǒng)的有效性與可行性及前文理論分析的正確性，采用TMS320F28335作為主控芯片搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，見圖8，控制參數(shù)與仿真一致，樣機(jī)實(shí)驗(yàn)參數(shù)與仿真參數(shù)一致，見表1.實(shí)驗(yàn)分別驗(yàn)證SFLBSMC 與PID 控制下Boost 變換器的穩(wěn)態(tài)特性以及輸入電壓切換控制效果.

圖8 樣機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.8 prototype experiment platform

（1）穩(wěn)態(tài)特性

圖9為穩(wěn)態(tài)時(shí)輸入電壓與輸出電壓波形，可以看出，SFLBSMC 控制下電壓輸出紋波較小，沒有出現(xiàn)較嚴(yán)重的毛刺現(xiàn)象.

圖9 2 種控制方式下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)波形Fig.9 steady-state response waveform under two control modes

（2）輸入電壓切換特性

圖10（a）、圖10（b）為在輸入電壓切換下，2種控制方式的實(shí)驗(yàn)對(duì)比波形，電壓幅值變化量為5 V.

從圖10 可以看出，當(dāng)輸入電壓由20 V 切換至25 V 時(shí)， PID 控制下，Boost 變換器輸出電壓到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間約為40 ms，而在SFLBSMC 控制下，輸出到達(dá)穩(wěn)態(tài)值只需大約10 ms，調(diào)節(jié)時(shí)間遠(yuǎn)短于PID 控制，且調(diào)節(jié)過程較為平緩，沒有出現(xiàn)較大的振蕩.從圖10（c）、圖10（d）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)輸入電壓由25 V 切換至20 V 時(shí)，PID 控制調(diào)節(jié)時(shí)間大約為25 ms，而SFLBSMC 控制大約為6 ms，調(diào)節(jié)過程快速、平緩.

圖10 2 種控制方式下輸入電壓切換響應(yīng)波形Fig.10 input voltage switching response waveform under two control modes

通過試驗(yàn)對(duì)比分析，SFLBSMC 控制的魯棒性優(yōu)于PID 控制，同時(shí)也驗(yàn)證了前文理論分析的正確性.

表3為2 種輸入電壓切換實(shí)驗(yàn)條件下，2 種控制方法到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的調(diào)節(jié)時(shí)間.由表 3 可知，SFLBSMC 控制調(diào)節(jié)時(shí)間明顯短于PID 控制.

表3 試驗(yàn)調(diào)節(jié)時(shí)間對(duì)比Tab.3 comparison of test adjustment time

5 結(jié)論

將反饋線性化、反步法以及滑模控制技術(shù)進(jìn)行結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種反饋線性化反步滑?？刂品椒ǎ⒁訠oost 變換器為控制對(duì)象，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性.通過仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提出的控制方法具有以下特點(diǎn).

（1）反饋線性化反步滑模控制方法由于結(jié)合了多種方法的優(yōu)點(diǎn)，具有較強(qiáng)的魯棒性，面對(duì)擾動(dòng)能夠快速到達(dá)設(shè)定的穩(wěn)態(tài)值，調(diào)節(jié)時(shí)間短.

（2）所設(shè)計(jì)的方法較為簡單，便于實(shí)現(xiàn).