解答銳角三角函數(shù)問題容易犯的錯(cuò)誤

高安 夏宇

在求解銳角三角函數(shù)問題時(shí)，有的同學(xué)由于對(duì)銳角三角函數(shù)的概念理解不清，或運(yùn)用銳角三角函數(shù)定義時(shí)忽略了直角三角形這個(gè)前提條件，或在解題時(shí)考慮問題不全面，忽視了要進(jìn)行分類討論，從而走入了解題的誤區(qū).為了避免同學(xué)們也犯相同的錯(cuò)誤，現(xiàn)對(duì)解三角函數(shù)問題中的常見錯(cuò)誤進(jìn)行歸納并分析.

一、對(duì)銳角三角函數(shù)概念理解不清

銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量，以比值為因變量的函數(shù).它的概念是在直角三角形中相對(duì)其銳角而定義的，其本質(zhì)是兩條線段長度的比.因此銳角三角函數(shù)只是一個(gè)比值（數(shù)值），它的值與角的大小有關(guān)，與三角形邊的長度無關(guān).很多同學(xué)由于對(duì)該概念的本質(zhì)沒有理解透徹，誤把“無關(guān)”當(dāng)“有關(guān)”.

例1在 Rt△ABC 中，各邊的長度都擴(kuò)大3倍，那么銳角 A 的三角函數(shù)值（）.

A.都擴(kuò)大3倍 B.都擴(kuò)大4倍

C.不能確定 D.沒有變化

錯(cuò)解：A.

錯(cuò)因分析：三角函數(shù)的值是直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值，三角形三邊都擴(kuò)大3倍后的三角形與原三角形相似，所以直角邊與斜邊，直角邊與直角邊的比值不變.產(chǎn)生錯(cuò)解的原因就在于沒有真正理解三角函數(shù)的概念.

正解：D.

點(diǎn)撥：銳角三角函數(shù)反映的是直角三角形相應(yīng)兩邊的比值的特性，當(dāng)一個(gè)銳角大小不變時(shí)，其函數(shù)值是固定的.

二、忽視運(yùn)用銳角三角函數(shù)定義的前提

解決任何問題都必須具備一定的條件背景，解答銳角三角函數(shù)問題的前提就是必須在直角三角形中.只要題目條件中沒有直角條件的，要么證出直角，要么添加輔助線構(gòu)造直角，然后再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解.有的同學(xué)沒有構(gòu)造直角三角形求解銳角三角函數(shù)問題的意識(shí)和習(xí)慣，直接運(yùn)用三角函數(shù)的定義解題就會(huì)出錯(cuò).

例2在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的對(duì)邊為 a，b，c，且 a：b：c =3：4：5.試證明sin A + sinB =75.

錯(cuò)解：設(shè) a =3k，b =4k，c =5k ，則 sin A = a c =3k 5k =35，sin B = b c =4k 5k =45.所以 sin A + sin B =35+45=75.

錯(cuò)因分析：本題中沒有說明∠C =90?，而直接應(yīng)用正弦、余弦函數(shù)的定義是錯(cuò)誤的，應(yīng)先說明△ABC 為直角三角形，且∠C =90?后才能用定義解題.

正解：設(shè) a =3k，b =4k，c =5k（k >0），因?yàn)?a2+ b 2=（3k）2 +（4k）2=25k2= c 2，所以△ABC 是以 c 為斜邊的直角三角形.所以sin A = a c =3k 5k =35，sin B = b c =4k 5k =45.所以 sin A + sin B =35+45=75.

例3在等腰三角形 ABC 中，AB = AC =5， BC =6.求 sinB 、cosB 、tanB .

錯(cuò)解：∵ a =6，b =5，c =5，∴ sinB = b c =55= 1，cosB= a c =65， tanB= b a =56.

錯(cuò)因分析：錯(cuò)解忽視了用邊比表示銳角的正弦、余弦和正切的前提是在直角三角形中，顯然△ABC 不是直角三角形，故上述解法錯(cuò)誤.正確解法應(yīng)把∠B 放到直角三角形中求解函數(shù)值.

正解：如圖1，過 A 作 AD ⊥ BC 于 D ，則BD =3，

∵ AB =5，∴ AD= =4，

∴sinB= = ，A

點(diǎn)撥：銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的.銳角三角函數(shù)與銳角在的直角三角形有關(guān)，而與銳角作為內(nèi)角所在的三角形無關(guān)，因此必須先構(gòu)造直角三角形，再求值.

三、考慮問題不全面導(dǎo)致漏解

銳角三角函數(shù)的定義揭示了直角三角形中的銳角與三邊之間的關(guān)系，因此，我們會(huì)遇到一些邊、角、點(diǎn)、形等條件不明確，存在多解情況的問題.這個(gè)時(shí)候就需要采取分類討論的方法，以保證解題的完整性與準(zhǔn)確性.如果同學(xué)們思考不細(xì)致，思維不嚴(yán)謹(jǐn)，就會(huì)出現(xiàn)漏解的情況.

例4在ΔABC 中，AB =12 ，AC =13，cos ∠B =22，則 BC 邊長為（）.

A.7 B.17 C.8或17 D.7或17

錯(cuò)解：作 AD ⊥ BC 于點(diǎn) D ，如圖2，∵ cos ∠B =22，∴∠B =45°，∵ AB =122，∴ AD = BD =12，又∵ AC =13，∴ CD =5，∴ BC = BD + CD =12+5= 17，故選B.

錯(cuò)因分析：錯(cuò)解認(rèn)為高 AD 一定在三角形的內(nèi)部.其實(shí)△ABC 不一定是銳角三角形，應(yīng)分兩種情況：（1）高 AD 在△ABC 內(nèi)部;（2）高 AD 在△ABC 外部.錯(cuò)解忽視了第二種情況.

正解：∵ cos ∠B =22，∴∠B =45°，當(dāng)ΔABC 為鈍角三角形時(shí)，如圖3，∵ AB =122，∠B =45°，∴ AD = BD =12，∵ AC =13，∴由勾股定理得 CD =5，∴ BC = BD - CD =12-5=7;當(dāng)ΔABC 為銳角三角形時(shí)，如圖2， BC = BD + CD =12+5= 17，故選D.

例5 Rt△ABC 的兩條邊分別是6和8，求其最小角的正弦值.

錯(cuò)解：因?yàn)?和8是直角三角形的兩邊，所以斜邊是10，所以最小角的正弦值是6 10，也就是35.

錯(cuò)因分析：已知條件中并沒有告訴6和8是兩條直角邊，所以本題應(yīng)分兩種情況：（1）6和8是兩條直角邊，（2）6是直角邊，8是斜邊.錯(cuò)解忽視了第二種情況.

正解：當(dāng)6和8是直角邊時(shí)，斜邊是10，所以最小角的正弦值;

當(dāng)6是直角邊，8是斜邊時(shí)，另一直角邊是=2，最短邊是2 ，所以最小角的正弦值為 = .

綜上可知，最小角的正弦值為或 .

點(diǎn)撥：對(duì)于沒有明確三角形高的位置的問題，要注意對(duì)高的位置進(jìn)行分類討論;在直角三角形中沒有說明已知的邊是直角邊或斜邊的情況下，要分這兩邊是直角邊及所給的長邊是斜邊兩種情況來討論.

解答銳角三角函數(shù)問題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤除了以上幾種情況外，可能還會(huì)出現(xiàn)其他的情況.希望同學(xué)們正確理解三角函數(shù)的概念，把握運(yùn)用三角形函數(shù)定義的前提條件以及可能存在的多種情況，避免出現(xiàn)解題錯(cuò)誤.