地震動(dòng)空間相干函數(shù)模型中擬合參數(shù)的修正＊

丁海平 張銘哲

1） 中國(guó)江蘇蘇州 215011 蘇州科技大學(xué)

2） 中國(guó)哈爾濱 150080 中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所

引言

產(chǎn)生地震動(dòng)空間變化的原因多且復(fù)雜，與之密切相關(guān)的因素主要有震源性質(zhì)（包括震源深度、斷層的有限尺度和破裂方式）、傳播途徑和場(chǎng)地條件等（Abrahamson，1993；der Kiureghian，1996），而地震動(dòng)的這種空間變化對(duì)生命線(xiàn)工程如大壩、大跨橋梁、高速鐵路、地鐵和地下管線(xiàn)等長(zhǎng)、大結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)有很大影響（Parket al，2009；Chopra，Wang，2010；Biet al，2013；Wuet al，2016；Liet al，2017；Liu，Gao，2018）。目前，研究地震動(dòng)空間變化最常用的方法是相干函數(shù)法，各國(guó)研究人員提出了大量的描述地震動(dòng)空間變化的相干函數(shù)模型（Zerva，2009），這些模型中的相干系數(shù)主要是基于高密度強(qiáng)震觀測(cè)臺(tái)網(wǎng)（臺(tái)陣）的加速度記錄統(tǒng)計(jì)擬合得到（Loh，1985；Harichandran，Vanmarcke，1986；Hao，1989；Abrahamsonet al，1991；屈鐵軍等，1996；劉先明等，2004；李英民等，2013）。相干函數(shù)模型中的兩個(gè)主要參數(shù)為頻率f和臺(tái)站間距離d。統(tǒng)計(jì)獲得的所有相干函數(shù)模型均具有相同的變化規(guī)律，即隨頻率或距離的增大相干函數(shù)逐漸減小。在進(jìn)行相干函數(shù)模型參數(shù)的擬合時(shí)，截止頻率的取值對(duì)地震動(dòng)空間相干函數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果有很大影響（丁海平等，2018），所以，不同相干函數(shù)模型基本給出了相應(yīng)的頻率使用范圍。而由于研究地震動(dòng)空間變化的強(qiáng)震臺(tái)陣間臺(tái)站距離d的變化范圍較?。ㄅ_(tái)站數(shù)量較少，且臺(tái)站間的距離一般集中在數(shù)十米至數(shù)千米之間），因此對(duì)距離d的范圍和不同的間距數(shù)量的選取也影響著相干函數(shù)的擬合結(jié)果（饒威波等， 2018）。例如，對(duì)應(yīng)不同距離d的相干函數(shù)，按照假定的相干函數(shù)數(shù)學(xué)模型可以得到各自的擬合參數(shù)；而對(duì)所有不同距離的相干函數(shù)進(jìn)行擬合，也可以得到一組統(tǒng)一的擬合參數(shù)。但是，根據(jù)某一特定距離的相干函數(shù)得到的擬合（參數(shù)）曲線(xiàn)，與根據(jù)所有不同距離的相干系數(shù)統(tǒng)一回歸得到的該距離的相干函數(shù)擬合（參數(shù)）曲線(xiàn)是不一致的，有時(shí)甚至偏差較大。為了減小該偏差，本文擬提出一種修正方法，即對(duì)由不同距離得到的相干函數(shù)模型中的參數(shù)進(jìn)行二次回歸，得到一組針對(duì)距離的參數(shù)修正表達(dá)式，以期提高相干函數(shù)模型中參數(shù)的擬合精度，并以SMART-1臺(tái)陣（Abrahamsonet al，1987）第5 次和第45 次地震的加速度作為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)該方法的可行性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 地震波和相干函數(shù)模型的選取

SMART-1 臺(tái)陣是我國(guó)臺(tái)灣設(shè)置的大型密集強(qiáng)震觀測(cè)臺(tái)網(wǎng)，由37 個(gè)臺(tái)站組成（圖1），中心臺(tái)站（C00）設(shè)置在三個(gè)同心環(huán)的中心，同心環(huán)半徑分別為200 m，1 000 m 和2 000 m，沿每個(gè)圓環(huán)布置12 個(gè)間隔大致相等的臺(tái)站，每個(gè)臺(tái)站可同時(shí)測(cè)得水平和豎向分量的地震記錄。其中，I01-I12 臺(tái)站位于半徑為200 m 的圓環(huán)上，M01-M12 臺(tái)站位于半徑為1 000 m 的圓環(huán)上，O01-O12 臺(tái)站位于半徑為2 000 m 的圓環(huán)上。

圖1 SMART-1 地震臺(tái)陣布置圖Fig. 1 The layout of SMART-1 accelerograph array

本文選取SMART-1 臺(tái)站的第5 次和第45 次地震記錄的東西向（EW）和南北向（NS）水平加速度作為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。第5 次地震發(fā)生于1981 年01 月29 日，震級(jí)為ML6.3，震中距30 km，震源深度25 km，截取的S 波時(shí)間窗為6—11 s，數(shù)據(jù)采集間隔dt＝0.01 s；第45 次地震發(fā)生于1986 年11 月14 日，震級(jí)為ML7.0，震中距79 km，震源深度7 km，截取的S 波時(shí)間窗為9—29 s，數(shù)據(jù)采集間隔同樣取dt＝0.01 s。SMART-1 臺(tái)陣與兩次地震的相對(duì)位置如圖2 所示。

圖2 兩次地震震中位置示意圖Fig. 2 Schematic diagram of the epicenter location of two earthquakes

基于強(qiáng)震臺(tái)陣觀測(cè)資料對(duì)地震動(dòng)空間變化的研究通常是以隨機(jī)振動(dòng)理論為基礎(chǔ)，采用相干函數(shù)研究空間上任意兩點(diǎn)地震動(dòng)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，其中最常用的是遲滯相干系數(shù)（常簡(jiǎn)稱(chēng)為相干系數(shù)），其表達(dá)式為

根據(jù)相干函數(shù)的變化趨勢(shì)，研究人員提出過(guò)很多相干函數(shù)模型（Loh，1985；Harichandran，Vanmanmarche，1986；Hao，1989；Abraham sonet al，1991；屈鐵軍等，1996；劉先明等，2004；李英民等，2013），本文選用Loh 模型（Loh，1985）對(duì)函數(shù)系數(shù)進(jìn)行回歸分析，該模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中a和b為擬合系數(shù)。

2 相干系數(shù)計(jì)算

根據(jù)臺(tái)站間的相對(duì)位置，本文組合了12 種不同距離的臺(tái)站對(duì)。不同的臺(tái)站間距和對(duì)應(yīng)的臺(tái)站對(duì)數(shù)量列于表1。根據(jù)式（1）可以計(jì)算不同距離的臺(tái)站對(duì)相干系數(shù)（包括EW 和NS 兩個(gè)水平方向），如圖3 和圖4 中的實(shí)線(xiàn)所示。根據(jù)式（2）的相干函數(shù)模型，本文采用2 種方法對(duì)相干函數(shù)進(jìn)行擬合。一種是分別對(duì)不同臺(tái)站間距d的相干函數(shù)擬合，得到的擬合參數(shù)a和b列于表2，對(duì)應(yīng)的擬合相干函數(shù)曲線(xiàn)如圖3 和圖4 中以γ表示的紅色實(shí)線(xiàn)。另一種是對(duì)所有12 種不同臺(tái)站間距d的相干函數(shù)進(jìn)行擬合（圖3，4 藍(lán)色虛線(xiàn)），得到的擬合參數(shù)a和b見(jiàn)表2中對(duì)應(yīng)的12d。

圖3 不同間距的相干系數(shù)γ 與根據(jù)所有不同間距的相干系數(shù)γ12 的擬合曲線(xiàn)對(duì)比（以第5 次地震為例）Fig. 3 Comparison between fitting curves with lagged coherency γ of different distances and fitting curves with lagged coherency γ12 of all distance （taking the 5th earthquake as an example）

圖4 不同間距的相干系數(shù)γ 與根據(jù)所有不同間距的相干系數(shù)γ12 的擬合曲線(xiàn)對(duì)比 （以第45 次地震為例）Fig. 4 Comparison between fitting curve with lagged coherency γ of different distances and fitting curve with lagged coherency γ12 of all distance（taking the 45th earthquake as an example）

表1 臺(tái)站間距和對(duì)應(yīng)的臺(tái)站對(duì)及數(shù)量Table 1 Distance between stations and the corresponding number of station pairs

由表2 可知，不同臺(tái)站間距d的相干函數(shù)擬合參數(shù)各不相同，并且與由12 種不同臺(tái)站間距d的所有相干函數(shù)擬合得到的參數(shù)也有很大差別。對(duì)比圖3 和圖4 中擬合曲線(xiàn)γ和γ12可以看出，兩曲線(xiàn)完全不重合，且在臺(tái)站間距d的統(tǒng)計(jì)范圍內(nèi)，當(dāng)距離較大（如2200 m，3000 m）或距離較?。ㄈ?00 m，282 m）時(shí)，相干系數(shù)的差別更明顯。這是因?yàn)橄喔上禂?shù)具有隨間距增大而減小的趨勢(shì)，當(dāng)對(duì)所有12 種不同臺(tái)站間距d的相干系數(shù)進(jìn)行擬合時(shí)，其結(jié)果相對(duì)更接近所有相干系數(shù)的平均值，也就更接近中間距離的相干系數(shù)。

表2 基于Loh 相干函數(shù)模型的擬合系數(shù)結(jié)果Table 2 Fitting coefficient results based on Loh coherency function model

3 對(duì)擬合系數(shù)a 和b 的修正

3.1 系數(shù)a 和b 的修正函數(shù)模型的選取和修正結(jié)果

因不同臺(tái)站距離的相干函數(shù)擬合系數(shù)不一致，導(dǎo)致對(duì)于相同的臺(tái)站距離，由不同臺(tái)站間距得到的相干系數(shù)擬合曲線(xiàn)與由所有不同臺(tái)站間距得到的相干系數(shù)擬合曲線(xiàn)相比有誤差，且對(duì)于某些距離誤差較大（圖3，4）。因此，在通常采用根據(jù)所有相干系數(shù)得到的擬合參數(shù)進(jìn)行地震動(dòng)場(chǎng)的人工合成時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)短距離的模擬地震動(dòng)相關(guān)性偏大，長(zhǎng)距離的模擬地震動(dòng)相關(guān)性偏小的現(xiàn)象。由圖5 可見(jiàn)：擬合系數(shù)a和b隨臺(tái)站距離d的分布不在一條直線(xiàn)上，且有一定的離散；而由所有不同臺(tái)站間距得到的相干系數(shù)擬合結(jié)果并不隨距離d發(fā)生變化，實(shí)際顯示為一條直線(xiàn)，因此，由不同的擬合系數(shù)a和b得到的同一距離的相干系數(shù)存在差別的。為了減小因擬合系數(shù)的差異而造成擬合曲線(xiàn)γ與γ12的誤差，本節(jié)將對(duì)不同距離相干系數(shù)的擬合系數(shù)a和b進(jìn)行修正，即對(duì)a和b進(jìn)行二次擬合。根據(jù)a和b的分布規(guī)律，比較了幾組a和b的擬合函數(shù)形式（只與距離d有關(guān)），最終選用參數(shù)a和b的擬合函數(shù)表達(dá)式分別為

圖5 第5 次（藍(lán)色）和第45 次（紅色）地震的參數(shù)a （a），b （b）值隨距離的變化及修正結(jié)果Fig. 5 Changes of parameters a （a） and b （b） with distance and modified results of the 5th （blue） and the 45th （red） earthquakes

式中a1，a2，a3和b1，b2，b3分別為二次擬合系數(shù)，最終得到a和b的修正結(jié)果列于表3。

3.2 修正后的相干函數(shù)模型及結(jié)果

將修正后的系數(shù)a和b代入式（2），得到修正后的相干函數(shù)模型為

式中系數(shù)a1，a2，a3和b1，b2，b3的值列于表3。將表3 中修正后的擬合系數(shù)代入式（4），可計(jì)算得到修正后的相干系數(shù)γs，并與先前的兩種擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6 和圖7 所示。圖中紅色實(shí)線(xiàn)γ為各單獨(dú)臺(tái)站距離下相干系數(shù)的擬合結(jié)果，藍(lán)色虛線(xiàn)γ12為所有12 個(gè)臺(tái)站距離的擬合結(jié)果，黑色虛線(xiàn)γs為修正后的相干系數(shù)擬合結(jié)果。從圖中的比較可以看出，修正后的相干系數(shù)擬合結(jié)果γs與各單獨(dú)臺(tái)站距離下相干系數(shù)的擬合結(jié)果γ的符合程度得到了明顯提高，保證了相干系數(shù)的擬合精度。

圖6 基于Loh 相干函數(shù)模型，不同間距的相干系數(shù)γ、由所有不同間距的相干系數(shù)γ12 和修正后的相干系數(shù)γs 擬合曲線(xiàn)對(duì)比（以第5 次地震為例）Fig. 6 Based on Loh coherency function model，comparison of fitting curve with lagged coherency γ of different distances，fitting curve with lagged coherency γ12 of all distance and fitting curve with lagged coherency γs of modified parameter （taking the 5th earthquake as an example）

表3 a 和b 二次擬合系數(shù)的修正結(jié)果Table 3 Modified results of a and b

圖7 基于LOH 相干函數(shù)模型，不同間距的相干系數(shù)γ、根據(jù)所有不同間距的相干系數(shù)γ12 和修正后的相干系數(shù)γs 擬合曲線(xiàn)對(duì)比（以第45 次地震為例）Fig. 7 Based on Loh coherency function model，comparison of fitting curve of lagged coherency γ of different distances，fitting curve of lagged coherency of all distance γ12 and fitting curve with lagged coherency of modified parameter γs （taking the 45th earthquake as an example）

為了便于應(yīng)用，對(duì)兩次相干系數(shù)統(tǒng)一進(jìn)行擬合，可得到由單獨(dú)臺(tái)站距離擬合的相干系數(shù)（紅色實(shí)線(xiàn)γ）和由所有12 個(gè)臺(tái)站距離擬合的相干系數(shù)（藍(lán)色虛線(xiàn)γ12），結(jié)果如圖8 所示。采用上述相同方法，對(duì)a和b進(jìn)行修正，得到的統(tǒng)一修正結(jié)果列于表4，而相應(yīng)的修正后的相干系數(shù)擬合結(jié)果如圖8 中黑色虛線(xiàn)γs所示?？梢钥闯觯拚蟮慕Y(jié)果得到了較為明顯的改進(jìn)。

圖8 不同間距的相干系數(shù)經(jīng)修正前γ、后γs 的擬合曲線(xiàn)與根據(jù)所有不同間距的相干系數(shù)γ12 擬合曲線(xiàn)的比較（以?xún)纱蔚卣馂槔〧ig. 8 Comparison of fitting curve of lagged coherency γ of different distances，fitting curve of lagged coherency γ12 of all distance and fitting curve with lagged coherency γs of modified parameter （take two earthquakes as examples）

表4 a 和 b 的統(tǒng)一修正結(jié)果Table 4 Unified modified results of a and b

4 討論與結(jié)論

本文采用了SMART-1 臺(tái)陣兩次地震的水平向分量加速度記錄，計(jì)算分析了臺(tái)站距離d對(duì)地震動(dòng)空間相干函數(shù)的影響。首先計(jì)算了不同間距臺(tái)站對(duì)的相干函數(shù)，然后選用Loh 相干函數(shù)模型對(duì)不同距離的相干函數(shù)，以及所有不同距離的相干函數(shù)分別進(jìn)行了參數(shù)擬合，再對(duì)由不同距離相干函數(shù)的擬合參數(shù)進(jìn)行二次回歸，比較了所有的擬合結(jié)果，得到結(jié)果如下：

1） 不同臺(tái)站間距強(qiáng)震記錄的相干函數(shù)擬合參數(shù)的離散性很大，但根據(jù)各個(gè)不同距離的擬合參數(shù)計(jì)算得到的相干函數(shù)符合隨距離的增大而減小的規(guī)律。

2） 對(duì)于某一特定距離，由該距離的相干函數(shù)值得到的擬合結(jié)果γ與由所有不同距離相干函數(shù)值得到的擬合結(jié)果γ12存在明顯的差異，距離越大或越小，偏差越大。這種偏差將會(huì)造成在采用由所有相干系數(shù)得到的擬合參數(shù)進(jìn)行地震動(dòng)場(chǎng)的人工合成時(shí)，短距離的模擬地震動(dòng)相關(guān)性偏大，長(zhǎng)距離的模擬地震動(dòng)相關(guān)性偏小。

3） 對(duì)不同距離相干函數(shù)的擬合參數(shù)進(jìn)行二次回歸，對(duì)于相同的距離，根據(jù)修正后的參數(shù)得到的擬合相干函數(shù)γs與該距離單獨(dú)得到的擬合相干函數(shù)γ符合程度得到了明顯提高，這說(shuō)明本文的修正結(jié)果更適合應(yīng)用于實(shí)際的所有不同場(chǎng)點(diǎn)間距（200—3000 m）的空間地震動(dòng)的人工模擬。

4） 給出了基于Loh 相干函數(shù)模型的SMART-1 臺(tái)陣第5 次和第45 次地震的修正擬合參數(shù)，以及兩次地震統(tǒng)一的修正擬合參數(shù)。