定數(shù)截尾場(chǎng)合下三參數(shù)陳氏分布的位置參數(shù)估計(jì)★

林冰鈺，顧蓓青，徐曉嶺

（上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院，上海 201620）

0 引言

基于某些產(chǎn)品具有浴盆狀的失效率函數(shù)，Chen Zhenmin[1]提出了一個(gè)新的兩參數(shù)壽命分布，記為陳氏分布，其分布函數(shù)如下：

當(dāng)m<1時(shí)，失效率函數(shù)呈現(xiàn)浴盆狀；當(dāng)m≥1時(shí)，失效率函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)。基于上述的陳氏分布，后來(lái)的學(xué)者做了很多的研究。Wu J W等[2]基于II型截尾樣本，提出了陳氏分布參數(shù)的不同類(lèi)型的精確置信區(qū)間和精確聯(lián)合置信區(qū)間。王炳興[3]基于II型截尾樣本，討論了陳氏分布的逆矩估計(jì)和置信區(qū)間。Shuo-Jye[4]研究了陳氏分布的漸進(jìn)II型截尾樣本的最大似然估計(jì)。Sarhan A M等[5]討論了陳氏分布的兩個(gè)未知參數(shù)的極大似然估計(jì)和貝葉斯估計(jì)。Selim M A[6]討論了陳氏分布未知參數(shù)的貝葉斯和非貝葉斯估計(jì)問(wèn)題。Javadkhani N等[7]提出了不同的貝葉斯估計(jì)方法，估計(jì)陳氏分布的參數(shù)和可靠性函數(shù)。Sarhan A M等[8]基于陳氏分布，使用最大似然方法和貝葉斯方法對(duì)二類(lèi)刪失數(shù)據(jù)和漸進(jìn)二類(lèi)刪失數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷。Khan M S等[9]基于指數(shù)-陳氏分布的一個(gè)推廣，得到了參數(shù)的最大似然估計(jì)。Tarvirdizade B等[10]介紹了一種由威布爾分布和陳氏分布復(fù)合而成的壽命分布，它具有遞增、遞減和浴盆形的失效率函數(shù)。Yousaf F等[11]研究了基于貝葉斯方法，兩參數(shù)陳氏分布在不同情況下的參數(shù)估計(jì)。Kayal T等[12]基于漸進(jìn)首次失效刪失的兩參數(shù)陳氏分布的估計(jì)和預(yù)測(cè)，得到了參數(shù)的經(jīng)典估計(jì)。

為了讓具有“浴盆狀”失效率函數(shù)的陳氏分布具有更強(qiáng)的靈活性，可以更好地?cái)M合實(shí)際的壽命數(shù)據(jù)，Xie M等[13]針對(duì)陳氏分布進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，在該分布的基礎(chǔ)上增加一個(gè)刻度參數(shù)，提出了改進(jìn)的陳氏分布，其分布函數(shù)為：

將參數(shù)作適當(dāng)變換，可得到如下形式的分布函數(shù)：

若在上述分布函數(shù)的基礎(chǔ)上引入位置參數(shù)μ，則可得到如下分布函數(shù)：

記為三參數(shù)陳氏分布，其中位置參數(shù)為μ>0，尺度參數(shù)為m>0，形狀參數(shù)為β>0。

1 位置參數(shù)μ的點(diǎn)估計(jì)

假設(shè)總體X服從三參數(shù)陳氏分布，現(xiàn)假定有n個(gè)壽命服從三參數(shù)陳氏分布的產(chǎn)品進(jìn)行定數(shù)截尾試驗(yàn)，到有r個(gè)產(chǎn)品失效時(shí)停止試驗(yàn)，得到試驗(yàn)的第1到第r個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量為：X（1）≤X（2）≤…X（r），1≤r≤n其對(duì)應(yīng)第1到第r個(gè)次序觀測(cè)值為：x（1）≤x（2）≤…x（r）。

易知，G（μ）是一個(gè)樞軸量?？紤]不同樣本容量和不同截尾數(shù)，進(jìn)行10 000次的Monte-Carlo模擬得到樞軸量G（μ）的上側(cè)分位數(shù)表、期望和方差匯總至表1，因篇幅有限，只列了部分情況，其中r=n即為全樣本場(chǎng)合。

表1 樞軸量G(μ)的上側(cè)分位數(shù)表

為了得到位置參數(shù)μ的點(diǎn)估計(jì)，構(gòu)建如下矩方程：

表2 G（μ）的期望滿(mǎn)足E[G（μ）]≤lim μ→0+G（μ）的次數(shù)k1 m β μ=0.5 μ=1 μ=1.5 μ=3 r1 r2 r3 r1 r2 r3 r1 r2 r3 r1 r2 r3 0.5 0.5 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 999 999 1 000 1 000 998 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1.5 986 987 972 993 991 987 995 997 986 999 999 997 3 755 724 724 790 797 775 827 790 808 863 839 840 1 0.5 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 998 1 000 999 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1.5 947 943 933 980 977 978 990 986 982 998 997 992 3 644 629 635 714 695 704 770 743 748 823 810 791 1.5 0.5 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 993 997 996 1 000 1 000 996 1 000 999 1 000 1 000 1 000 1 000 1.5 889 895 901 967 966 959 983 979 972 990 997 993 3 585 595 592 684 664 657 725 729 681 794 788 783 3 0.5 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 972 975 965 997 993 994 1 000 998 994 1 000 999 1 000 1.5 781 794 787 905 904 889 938 932 938 984 972 979 3 550 539 508 595 606 599 632 637 627 720 716 730

表3 位置參數(shù)的逆矩估計(jì)模擬結(jié)果

2 位置參數(shù)μ的置信下限

為了考察位置參數(shù)μ置信下限的精度，取不同的樣本容量和定數(shù)截尾數(shù)，參數(shù)真值為μ=0.5，1，1.5，3，β=1， m=0.5，進(jìn) 行1 000次Monte-Carlo模擬產(chǎn)生來(lái)自三參數(shù)陳氏分布的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，在置信水平為1-α=95%下，得到參數(shù)μ的置信下限μL的均值，并記錄真值大于置信下限的次數(shù)，結(jié)果如表5所示。從中可以得到：1）全樣本場(chǎng)合下，隨著樣本容量n的增加，位置參數(shù)μ的平均置信下限呈增加趨勢(shì)；2）置信下限小于真值的次數(shù)在950次附近，也就是說(shuō)基本上達(dá)到了95%的置信水平。

表5 位置參數(shù)μ的置信下限模擬結(jié)果(置信水平1-α=0.95)

3 模擬算例分析

a）例1

取樣本容量n=3，參數(shù)真值μ=3，β=3，m=0.8。通過(guò)Monte-Carlo數(shù)據(jù)模擬產(chǎn)生來(lái)自三參數(shù)陳氏分布的一個(gè)次序樣本數(shù)據(jù)，如下：

表4 分位數(shù)gα滿(mǎn)足gα≤lim μ→0+G（μ）的次數(shù)k2

由本文的方法，可以計(jì)算得到在不同的截尾情況下，位置參數(shù)的逆矩估計(jì)和置信水平95%下的置信下限，如表6所示。

表6 例1的計(jì)算結(jié)果

b）例2

取樣本容量n=50，參數(shù)真值μ=3，β=3，m=1。通過(guò)Monte-Carlo數(shù)據(jù)模擬產(chǎn)生來(lái)自三參數(shù)陳氏分布的一個(gè)次序樣本數(shù)據(jù)，如下：

3.051 39，3.081 73，3.126 38，3.173 24，3.226 49，3.232 90，3.262 68，3.531 94，3.544 40，3.601 35，3.655 54，3.662 05，3.842 02，3.842 93，3.859 39，3.890 68，3.967 87，4.059 71，4.083 28，4.267 77，4.299 73，4.352 58，4.428 30，4.745 93，4.974 10，5.023 16，5.049 66，5.175 57，5.191 01，5.273 74，5.386 03，5.411 33，5.426 53，5.442 65，5.605 22，5.632 36，5.725 40，5.860 05，5.870 92，5.917 37，5.996 87，6.086 26，6.155 46，6.174 43，6.181 56，6.233 87，6.429 36，6.674 60，6.782 45，9.189 59

由本文的方法，可以計(jì)算得到在不同的截尾情況下，位置參數(shù)的逆矩估計(jì)和置信水平95%下的置信下限，如表7所示。

表7 例2的計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于兩參數(shù)陳氏分布引入了一個(gè)位置參數(shù)，得到三參數(shù)陳氏分布?？紤]在定數(shù)截尾數(shù)據(jù)場(chǎng)合下位置參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和置信下限，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)樞軸量，得到其在不同樣本容量和截尾數(shù)下的分位數(shù)和期望，由此得到位置參數(shù)的逆矩估計(jì)和置信下限，并通過(guò)Monte-Carlo模擬考察了位置參數(shù)的估計(jì)精度。