高中數(shù)學(xué)教學(xué)中直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的路徑探究

金仕針

摘 要：隨著新課程改革的全面推進(jìn)，對(duì)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)提出了多方面要求，其中核心素養(yǎng)就是當(dāng)前各個(gè)學(xué)科需完成的重點(diǎn)目標(biāo)。直觀想象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，縱觀高中生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀得知，多數(shù)學(xué)生依舊借助直覺學(xué)習(xí)，尤其在學(xué)習(xí)抽象性較強(qiáng)的幾何知識(shí)時(shí)，直覺會(huì)瞬間點(diǎn)燃思維。直覺與想象有著緊密聯(lián)系，因此，需要在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，幫助學(xué)生在進(jìn)行直觀認(rèn)識(shí)的同時(shí)，也在解決問題中完成空間想象，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);直觀想象素養(yǎng);培養(yǎng)策略

中圖分類號(hào)：G633.6?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1673-8918（2022）17-0087-04

直觀想象即借助結(jié)合空間想象與幾何直觀圖對(duì)事物形態(tài)與變化進(jìn)行感知，并運(yùn)用圖形理解解決問題，并在此過(guò)程中理解數(shù)形關(guān)系，簡(jiǎn)化問題難度。所以，高中數(shù)學(xué)教師可結(jié)合學(xué)生學(xué)情與學(xué)科特征從多方面培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，促使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念、定理與公式，提高解決問題能力，實(shí)現(xiàn)預(yù)期教學(xué)目標(biāo)。

一、 直觀想象素養(yǎng)概念分析

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式尤其是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：利用空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形來(lái)分析、描述數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)之間的聯(lián)系，構(gòu)建一個(gè)直觀的數(shù)學(xué)問題模型，并探索解決問題的方法。從其定義分析，主要包含兩方面內(nèi)容：幾何直觀和空間想象。其中，幾何直觀主要是指通過(guò)感性的、直觀的、圖形化的方式來(lái)分析和解決問題;空間想象則是通過(guò)理性的、立體的、多維的方式來(lái)進(jìn)行分析和理解。從認(rèn)知過(guò)程分析，人類在學(xué)習(xí)中是從感性深入到理性，進(jìn)而進(jìn)入指導(dǎo)實(shí)踐的過(guò)程。同時(shí)，借助幾何直觀來(lái)拓展思維，并充分調(diào)動(dòng)空間想象，進(jìn)而達(dá)到分析問題、解決問題的最終目標(biāo)。

二、 在高中數(shù)學(xué)教育中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)策略

（一）在幾何代數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

幾何代數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)之一，重點(diǎn)凸顯代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀結(jié)合。其中向量具有顯著的代數(shù)特征且附帶幾何意義，無(wú)疑是連接代數(shù)與幾何的橋梁，對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師可在幾何代數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。

以“平面幾何中向量方法”為例，無(wú)論數(shù)量積運(yùn)算或向量線性運(yùn)算，其幾何背景均較為鮮明。運(yùn)用向量知識(shí)解決平面幾何中垂直、平行、求長(zhǎng)度夾角問題屬于重要方式之一，通過(guò)數(shù)形結(jié)合使學(xué)生對(duì)向量產(chǎn)生深刻印象，更能在此基礎(chǔ)上體驗(yàn)向量工具特有的優(yōu)越性，為后續(xù)運(yùn)用向量知識(shí)分析和解決空間幾何問題做好鋪墊。學(xué)生在學(xué)習(xí)該章節(jié)之前已系統(tǒng)學(xué)習(xí)平面幾何與平面向量知識(shí)，同時(shí)掌握平面向量概念、平面向量加減與乘除運(yùn)算、幾何意義、平面向量坐標(biāo)表示等。針對(duì)該章節(jié)則要求學(xué)生運(yùn)用向量方法解決幾何問題，充分明確向量解決幾何中垂直、平行、夾角、長(zhǎng)度等一系列問題，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想產(chǎn)生深層次理解，強(qiáng)化直觀想象素養(yǎng)與創(chuàng)新能力。

教師在教學(xué)中從以下方面著手：

①?gòu)?fù)習(xí)導(dǎo)入：帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)向量加減法與數(shù)乘運(yùn)算法則、幾何意義、平面向量基本定理以及向量平行垂直判定等知識(shí)。基于學(xué)生舊知識(shí)，更容易使其接受新知識(shí)。

②應(yīng)用舉例：其一：垂直問題

教師：證明菱形兩條對(duì)角線相互垂直。隨即提出問題：菱形的定義是什么？

學(xué)生：一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形;

教師：該如何運(yùn)用向量證明該問題？

學(xué)生：證明AC與BD垂直，說(shuō)明AC·BD=0即可。

證明：菱形ABCD中，|AB|=|AD|，圖1所示。

圖1

∵AC=AD+AB，BD=AD-AB，

∴AC·BD=（AD+AB）（AD-AB）=|AD|2-|AB|2=0，

∴AC與BD，菱形兩條對(duì)角線相互垂直。

傳統(tǒng)證明菱形對(duì)角線相互垂直則運(yùn)用三角形全等，借助向量證明能更好地拓寬學(xué)生解題思路，提高學(xué)習(xí)效率。

其二：平行問題

例題如下：已知四邊形ABCD為平行四邊形，其中E與F為對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，證明四邊形BFDE為平行四邊形。

教師：該如何證明一個(gè)四邊形為平行四邊形？

學(xué)生：只需證明一組對(duì)邊平行且相等后，再證明兩組對(duì)邊平行即可。

教師：該如何將上述問題轉(zhuǎn)化為向量問題？

學(xué)生：證明DF=EB即可。

具體證明如下：由已知設(shè)AB=DC=a，AC=b，

∵E、F為對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，

∴AE=FC=13AC=13b，

則有DF=DC-FC=a-13b，

EB=AB-AE=a-13b，

∴DF=EB，BE與DF相等且平行。

數(shù)學(xué)教師在上述教學(xué)過(guò)程中基于問題建立向量與平面幾何的聯(lián)系，指導(dǎo)學(xué)生將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題并在此基礎(chǔ)上尋找相對(duì)合適的基向量，感悟運(yùn)用向量方法解決問題的優(yōu)勢(shì)。

（二）在函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重難點(diǎn)，更是常見數(shù)據(jù)模型，運(yùn)用函數(shù)可直接定位事物位置以及分析事物運(yùn)動(dòng)規(guī)律與變化情況。所以函數(shù)知識(shí)點(diǎn)整體較為抽象復(fù)雜，凸顯運(yùn)用直觀想象理解學(xué)習(xí)的重要性和必要性。

1. 巧用信息技術(shù)

信息技術(shù)是當(dāng)前教育領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的方式，應(yīng)用于數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)更是如虎添翼。教師在指數(shù)函數(shù)圖像教學(xué)中先指導(dǎo)學(xué)生回顧復(fù)習(xí)初中階段所學(xué)一次、二次函數(shù)與反比例函數(shù)，并在此基礎(chǔ)上提出以下問題：該如何作出函數(shù)圖像？學(xué)生回顧回答描點(diǎn)法。將自變量一個(gè)x值作為橫坐標(biāo)，因變量y為縱坐標(biāo)就能得到平面上一個(gè)點(diǎn)。再運(yùn)用一條線平滑地連接平面上多個(gè)點(diǎn)就可得出函數(shù)圖像?；诖诉\(yùn)用多媒體為學(xué)生播放使用描點(diǎn)法作指數(shù)y=2x函數(shù)圖像的過(guò)程。學(xué)生通過(guò)觀察可得出，圖像性狀逐漸在不斷增加的取點(diǎn)數(shù)量中慢慢凸顯（如圖1所示）。12594973-637A-4385-89E4-A805B4CFF275

圖1 函數(shù)y=2x的圖像的描點(diǎn)作圖

學(xué)生觀看動(dòng)畫后對(duì)圖像產(chǎn)生直觀印象，即點(diǎn)的數(shù)量越多越能作出準(zhǔn)確圖像。數(shù)學(xué)教師教學(xué)中在繪制圖像時(shí)運(yùn)用描點(diǎn)法，學(xué)生腦海則能立即浮現(xiàn)函數(shù)，再選取描繪圖像所需點(diǎn)，加深對(duì)函數(shù)知識(shí)的認(rèn)知，提高直觀想象能力。

“興趣是最好的老師”，也是推動(dòng)學(xué)生們積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最好動(dòng)力。因此，在高中教學(xué)中，通過(guò)充分激勵(lì)措施來(lái)激發(fā)學(xué)生興趣，激起他們的主動(dòng)探究意識(shí)，興趣的作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)直接進(jìn)行言語(yǔ)的說(shuō)教。信息技術(shù)集聲音、動(dòng)畫、圖形、文字等于一體，通過(guò)對(duì)圖形補(bǔ)、切、移、縮、伸、旋等多角度變換圖形為學(xué)生提供形象化感性材料，刺激學(xué)生多從感官。對(duì)此，數(shù)學(xué)教師借助平板電腦為學(xué)生呈現(xiàn)相關(guān)知識(shí)圖片，營(yíng)造民主、和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境;不同圖片會(huì)產(chǎn)生不同視覺效果，學(xué)生情感也會(huì)產(chǎn)生不同變化，正是這種變化會(huì)激發(fā)學(xué)生潛在創(chuàng)新意識(shí)和學(xué)習(xí)興趣。以“空間幾何體”復(fù)習(xí)教學(xué)為例，數(shù)學(xué)教師通過(guò)平板電腦演示的方式，幫助學(xué)生直觀形象地了解球、錐、柱等形成過(guò)程，之后讓學(xué)生通過(guò)觀察，對(duì)相關(guān)幾何體的定義和性質(zhì)進(jìn)行歸納總結(jié)，改變以往枯燥沉悶課堂氛圍。與此同時(shí)，圖片的出現(xiàn)還能幫助學(xué)生直擊重難點(diǎn)。例如在學(xué)習(xí)棱柱知識(shí)時(shí)，展示圖2，要求學(xué)生認(rèn)真觀察并思考如下問題：

圖2

①棱柱上下面有什么關(guān)系？②棱柱側(cè)面是什么圖形？③每相鄰兩個(gè)四邊形的邊均有什么關(guān)系？從定義明確棱柱性質(zhì)：有兩個(gè)面相互平行以及其余各面為平行四邊形。之后教師讓學(xué)生思考：棱柱的定義是否能用性質(zhì)代替？如果教師空洞地講解知識(shí)，學(xué)生無(wú)法理解該知識(shí)點(diǎn)。對(duì)此，教師可運(yùn)用生動(dòng)形象的圖片從多方面為學(xué)生直觀形象地展示棱柱各個(gè)面，加深學(xué)生對(duì)此知識(shí)點(diǎn)的印象和理解，提高學(xué)習(xí)效率。

2. 開展數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)常見的思想方式，教師在解題教學(xué)中將該思想滲透其中能鼓勵(lì)學(xué)生基于多角度分析和解決問題，簡(jiǎn)化問題難度。在函數(shù)教學(xué)初期需發(fā)展學(xué)生想象能力，故而需畫出直觀形象圖形。當(dāng)想象力發(fā)展至一定高度后可直接在腦海中進(jìn)行想象，無(wú)須畫出具體圖形。例如：已知函數(shù)f（x）=|2x-2|-b有兩個(gè)零點(diǎn)，求b取值范圍。

在解答該問題之前，為更好地引導(dǎo)學(xué)生找到思路，可要求學(xué)生思考以下問題：（1）零點(diǎn)的定義是什么？（2）怎樣對(duì)要求解的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化？（3）由y=2x的函數(shù)圖像怎樣畫出函數(shù)y=|2x-2|的圖像？

借助上述問題對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，可使其認(rèn)識(shí)到題目中有兩個(gè)零點(diǎn)理解為函數(shù)y=|2x-2|與函數(shù)y=b圖像有兩個(gè)交點(diǎn)。緊接著數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方式畫出上述兩個(gè)函數(shù)圖像。如圖3所示，當(dāng)b>2，兩個(gè)函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)b<0時(shí)則沒有交點(diǎn)，所以，b取值范圍為（0，2）。題目所有信息都在圖像當(dāng)中，簡(jiǎn)化解題難度。

圖3

3. 強(qiáng)化思維訓(xùn)練

數(shù)學(xué)教師應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生作圖能力，有利于提高學(xué)生直觀想象能力?？擅鞔_告知學(xué)生在解題過(guò)程中多畫圖并在圖像中標(biāo)注題目信息，再將其轉(zhuǎn)化至題目信息。例如：

函數(shù)f（x）=sinx+3|sinx|，x∈[0，2π]的圖像和直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍為??? 。

解答該題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確畫出函數(shù)f（x）的圖像。但是究竟該怎樣畫出這一函數(shù)的圖像呢？課堂上可引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察自變量的范圍，結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行思考。在教師的啟發(fā)下學(xué)生很容易想到分類討論，最終在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的圖像以及y=k的圖像。顯然當(dāng)x∈[0，π]時(shí)f（x）=sinx+3|sinx|=4sinx;當(dāng)x∈（π，2π]時(shí)f（x）=sinx+3|sinx|=sinx-3sinx=-2sinx。畫出圖像如圖4所示，由圖像易得k的取值范圍為k∈（2，4）。

圖4

上述函數(shù)、方程有著緊密聯(lián)系。通常方程兩邊為兩個(gè)不同函數(shù)，學(xué)生在解題中可先畫出同一坐標(biāo)系中兩個(gè)函數(shù)圖像，經(jīng)觀察對(duì)比得出某個(gè)取值范圍或具體值。通過(guò)上述題目能強(qiáng)化思維，讓學(xué)生接觸與余弦函數(shù)、正弦函數(shù)有關(guān)的計(jì)算，同時(shí)充分了解正弦函數(shù)圖像變換規(guī)律等，在上述教學(xué)活動(dòng)中提高學(xué)生直觀想象能力。

（三）在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

20世紀(jì)中期，高中課程中已存在概率知識(shí)，隨著經(jīng)濟(jì)技術(shù)蓬勃發(fā)展，概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)為適應(yīng)科學(xué)技術(shù)與社會(huì)發(fā)展實(shí)現(xiàn)從無(wú)到有，成為高中數(shù)學(xué)主要知識(shí)內(nèi)容，所以，教師可借助概率和統(tǒng)計(jì)知識(shí)培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。

以“正態(tài)分布”教學(xué)為例，該章節(jié)知識(shí)在離散型隨機(jī)變量知識(shí)后，為學(xué)生初步運(yùn)用正態(tài)分布知識(shí)分析和解決實(shí)際問題提供重要理論依據(jù)。通過(guò)研究分析頻率分布直方圖、折線圖以及總體密度曲線，引領(lǐng)學(xué)生深入理解正態(tài)密度函數(shù)概念、圖像及其性質(zhì)，形成系統(tǒng)化和完整化知識(shí)體系。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用分布即正態(tài)分布，在實(shí)際問題中很多隨機(jī)現(xiàn)象都近似服從或服從正態(tài)分布。學(xué)生在學(xué)習(xí)該章節(jié)知識(shí)前已學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量和總體密度曲線、頻率分布直方圖，然而因時(shí)間間隔，不可避免會(huì)有所遺忘，對(duì)此，要求學(xué)生在課前自主復(fù)習(xí)。由于正態(tài)分布知識(shí)抽象性較強(qiáng)，學(xué)生從離散過(guò)渡至連續(xù)存有一定認(rèn)知難度，所以需要教師優(yōu)化課堂教學(xué)。

具體從以下方面著手：

1. 創(chuàng)設(shè)情境

如圖5所示，該圖為高爾頓板，使一個(gè)小球經(jīng)上方通道進(jìn)入高爾頓板后與相互平行且錯(cuò)開的圓柱形小木塊產(chǎn)生層層相撞，最后沿著通道掉入下方某一球槽內(nèi)，請(qǐng)問小球會(huì)掉落至哪個(gè)球槽？學(xué)生表示不能確定，因?yàn)樾∏虻袈溆谀硞€(gè)球槽為隨機(jī)事件。小球每次發(fā)生碰撞后會(huì)選擇向左或向右，究竟掉落至哪個(gè)球槽內(nèi)，屬于多次與小木板隨機(jī)碰撞疊加結(jié)果。緊接著教師提問：“運(yùn)用所學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析，掉落至某個(gè)球槽小球個(gè)數(shù)可看作什么？”學(xué)生回答：落入該球槽頻數(shù)。隨即數(shù)學(xué)教師對(duì)球槽實(shí)施編號(hào)，運(yùn)用幾何畫板演示高爾頓板試驗(yàn)并要求學(xué)生根據(jù)結(jié)果繪制頻率分布直方圖，在此過(guò)程中思考，若不考慮球的大小因素，增加小球數(shù)量并縮小組距，觀察頻率分布直方圖、折線圖有何變化。隨后數(shù)學(xué)教師運(yùn)用幾何畫板演示小球數(shù)量增加與組距持續(xù)減少以及頻率分布直方圖、折線圖變化。12594973-637A-4385-89E4-A805B4CFF275

圖5

觀察圖片可得知，頻率分布折線圖因不斷減小的組距，其距離與中間高、兩邊低的平滑曲線-總體密度曲線越來(lái)越接近，好似倒扣鐘形。數(shù)學(xué)教師在上述教學(xué)環(huán)節(jié)中，運(yùn)用幾何畫板指導(dǎo)學(xué)生觀察高爾頓板試驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生探究知識(shí)興趣，促使學(xué)生基于直觀層面理解正態(tài)分布密度曲線來(lái)源，再?gòu)碾x散型隨機(jī)變量過(guò)渡至連續(xù)型隨機(jī)變量，感悟從有限至無(wú)限數(shù)學(xué)思想。

2. 動(dòng)畫演示，探索新知

當(dāng)樣本數(shù)據(jù)無(wú)限增大且趨向正無(wú)窮時(shí)，組距無(wú)限縮小趨向零，折線會(huì)變成一條光滑曲線，也稱之為正態(tài)分布密度曲線（正態(tài)曲線）。

圖6

經(jīng)反復(fù)擬合，發(fā)現(xiàn)圖6正態(tài)分布密度曲線為下列函數(shù)圖像：φμ，σ=12πσe（x-μ）22σ2，x∈（-∞，+∞）。實(shí)數(shù)μ與σ（σ>0）為參數(shù)，μ與σ分別表示期望和標(biāo)準(zhǔn)差。

教師提出問題：參數(shù)μ和σ對(duì)函數(shù)圖像有何影響？學(xué)生討論后回答：μ表示期望，屬于隨機(jī)變量平均取值，其圖像為x=μ對(duì)稱，當(dāng)μ發(fā)生變化后，圖像位置會(huì)受到影響。σ為標(biāo)準(zhǔn)差，σ2則表示方差，充分展現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)離散程度，發(fā)生變化的σ會(huì)影響圖像形狀。教師運(yùn)用幾何畫板為學(xué)生展示σ與μ在不同取值時(shí)圖像變化，學(xué)生在小組討論后歸納總結(jié)以下規(guī)律：①函數(shù)圖像位于x軸上方且與x軸不相交。②曲線為單峰且關(guān)于x=μ對(duì)稱，當(dāng)x=μ時(shí)，函數(shù)可取最大值為1σ2π，當(dāng)σ一定時(shí)，曲線會(huì)隨μ變化而沿x軸平移。③當(dāng)μ一定時(shí)，σ越小，曲線呈現(xiàn)“瘦高型”，表示總體分布相對(duì)集中;σ越大，曲線則為“矮胖型”，說(shuō)明總體分布相對(duì)分散。教師在上述教學(xué)中分析函數(shù)解析式與函數(shù)圖像，再借助計(jì)算機(jī)演函數(shù)圖像在參數(shù)變化下特征，使學(xué)生在直觀感悟中總結(jié)學(xué)習(xí)規(guī)律，也在此基礎(chǔ)上體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、化難為易與歸納分類等眾多數(shù)學(xué)思想。

3. 師生互動(dòng)，合作探究

教師在該環(huán)節(jié)提出問題：正太分布密度曲線的幾何意義有哪些？求隨機(jī)變量概率時(shí)該如何運(yùn)用正態(tài)分布。學(xué)生思考后回答：通過(guò)聯(lián)想得知，頻率分布直方圖取極限可得知正態(tài)分布密度曲線。頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形面積與該區(qū)間頻率相等，所以，不能針對(duì)某個(gè)值計(jì)算正態(tài)分布概率，需對(duì)某個(gè)區(qū)間概率進(jìn)行研究。教師繼續(xù)提問：該如何計(jì)算曲線位于某個(gè)區(qū)間與x軸圍成曲邊梯形面積？學(xué)生：運(yùn)用該函數(shù)在此區(qū)間積分。設(shè)x為隨機(jī)變量，x位于區(qū)間（a，b]概率為：p（a圖7

通常，若對(duì)任何實(shí)數(shù)a，b（a