不同承載階段行星滾柱絲杠副的變形研究*

劉子博，鄧 攀，祖 莉，王 凱，黃鴻坤，黃強(qiáng)強(qiáng)

(1.南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094;2.上海船舶設(shè)備研究所，上海 200031)

0 引言

行星滾柱絲杠副是一種可實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)之間相互轉(zhuǎn)化的高精密傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，具有運(yùn)動(dòng)精度高、承載能力強(qiáng)、運(yùn)行速度高等性能特點(diǎn)，目前可廣泛應(yīng)用于航空航天、軍工火炮等極端惡劣的工作環(huán)境下，如空間太陽(yáng)能電池板的展開(kāi)控制系統(tǒng)，這就要求行星滾柱絲杠副在短時(shí)間內(nèi)承受數(shù)倍于額定靜載荷的壓力下正常運(yùn)行。因此，對(duì)行星滾柱絲杠副承受重載和高過(guò)載能力的研究急需深入。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)行星滾柱絲杠副的承載特性開(kāi)展了深入研究。ZHANG等[1]基于螺距變動(dòng)量對(duì)載荷分布進(jìn)行理論建模，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了模型的正確性；鄭正鼎等[2]比較系統(tǒng)地得出了相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)行星滾柱絲杠副載荷分布的影響規(guī)律；張文杰等[4]基于螺紋牙閉環(huán)內(nèi)變形協(xié)調(diào)條件，建立了載荷分布矩陣方程，并研究各類(lèi)誤差對(duì)載荷分布的影響；ABEVI、JONES等[3,5]分別采用非線性模型法、直接剛度法建立行星滾柱絲杠副軸向剛度模型，并計(jì)算其軸向靜剛度。綜上所述，行星滾柱絲杠副輕載彈性階段的相關(guān)研究已經(jīng)較為成熟，但仍缺少基于螺紋牙受載不均對(duì)軸向剛度分析方面的研究。此外，針對(duì)行星滾柱絲杠副塑性階段的研究較為缺乏，且無(wú)行星滾柱絲杠副承載能力的界定分析。

本文基于螺紋牙受載不均現(xiàn)象建立行星滾柱絲杠副軸向剛度模型，引入加工精度系數(shù)推導(dǎo)出額定靜載荷公式，并采用有限元法對(duì)行星滾柱絲杠進(jìn)行仿真建模，分析在額定靜載荷和高過(guò)載工況下塑性變形情況；最終通過(guò)承載試驗(yàn)，對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)一步獲得行星滾柱絲杠副的軸向剛度、塑性變形及承載極限情況。

1 輕載彈性階段軸向剛度模型建立

行星滾柱絲杠副由絲杠、滾柱、螺母、內(nèi)齒圈、保持架組成，其中滾柱牙型為圓弧面，絲杠與螺母牙型為三角形。當(dāng)行星滾柱絲杠副受到軸向載荷時(shí)，其產(chǎn)生赫茲接觸變形，軸段之間的軸向壓縮變形，以及各元件相鄰螺紋牙變形。本節(jié)綜合上述三種彈性形變情況，對(duì)行星滾柱絲杠副軸向剛度進(jìn)行建模，如圖1所示，該軸向剛度模型建立于以下假設(shè)：

圖1 行星滾柱絲杠副軸向剛度模型

滾柱-絲杠側(cè)的載荷分布與滾柱-螺母?jìng)?cè)的載荷分布相同；行星滾柱絲杠副每個(gè)滾柱受載相同；不存在任何加工誤差、裝配誤差。

由赫茲變形接觸公式[6]可知：

(1)

式中，δ為彈性變形量；Q為法向接觸力；K(e)為橢圓積分；μ1、μ2為泊松比；E1、E2為彈性模量；∑ρ為曲率和。

由文獻(xiàn)[7]可知，當(dāng)行星滾柱絲杠副受載時(shí)，每個(gè)螺紋牙受載不均，其載荷分布模型如下：

(2)

式中，P為螺距；N為滾柱個(gè)數(shù)；Z為單個(gè)滾柱螺紋接觸數(shù)；j為單個(gè)滾柱螺紋牙序列號(hào)；As為絲杠等效圓柱的橫截面積；An為螺母等效圓柱的橫截面積。且絲杠和螺母滾道都會(huì)與滾柱接觸發(fā)生彈性形變，其中滾柱i的絲杠-滾柱側(cè)第j對(duì)螺紋牙或螺母-滾柱側(cè)第j對(duì)螺紋牙產(chǎn)生的軸向接觸變形為：

lxij=δxij/sinβ/cosα

(3)

式中，x分別為s、n，代指絲杠-滾柱側(cè)、螺母-滾柱側(cè)；i為滾柱序列；β為接觸角；α為螺旋升角。

則滾柱i絲杠-滾柱側(cè)第j對(duì)螺紋牙或螺母-滾柱側(cè)第j對(duì)螺紋牙的軸向接觸剛度為：

(4)

式中，F(xiàn)xij=Qxijsinβcosα，其為圖1中滾柱i第j個(gè)螺紋牙受到的軸向力；Kx為絲杠-滾柱側(cè)或螺母-滾柱側(cè)的接觸系數(shù)。

當(dāng)行星滾柱絲杠副承受載荷后，受力的每個(gè)螺紋牙會(huì)發(fā)生5種螺紋牙軸向變形[8]：①因彎曲導(dǎo)致的變形δ1；②因剪力導(dǎo)致的變形δ2；③因牙根傾斜導(dǎo)致的變形δ3；④因牙根剪切導(dǎo)致的變形δ4；⑤因徑向分力導(dǎo)致的變形δ5。各螺紋牙變形的計(jì)算公式如下：

(5)

式中，a為螺紋牙底厚度；b為螺紋中徑牙厚；c為螺紋牙頂厚度；δ5y為外螺紋導(dǎo)致的變形；y為s和r；δ5n為內(nèi)螺紋導(dǎo)致的變形；d0為外螺紋等效直徑；D0n為螺母等效圓柱體外徑；dpn為螺母等效圓柱體內(nèi)徑；P為螺距；δT為單個(gè)螺紋牙總軸向變形。

則絲杠-滾柱側(cè)和滾柱-螺母?jìng)?cè)滾柱i的第j對(duì)軸向螺紋牙剛度為：

(6)

式中，y為s、n和r，代表絲杠、螺母和滾柱。

行星滾柱絲杠副受載后，相鄰承載螺紋牙之間會(huì)發(fā)生軸向壓縮變形，每個(gè)壓縮單元的長(zhǎng)度都為絲杠的螺距，則絲杠、螺母、滾柱的單元軸段剛度為：

(7)

式中，As、An、Ar為等效圓柱橫截面積；d0s為絲杠等效圓柱直徑；d0r為滾柱等效圓柱直徑。

其余絲杠無(wú)接觸螺紋段可視為圓柱壓縮變形，則無(wú)接觸螺紋段剛度為：

(8)

式中，L為無(wú)螺紋接觸段理論計(jì)算長(zhǎng)度。

因此，行星滾柱絲杠副軸向剛度數(shù)學(xué)模型為：

(9)

2 重載及高過(guò)載塑性階段分析

2.1 額定靜載荷計(jì)算

由于行星滾柱絲杠副與滾珠絲杠副的接觸方式、運(yùn)動(dòng)特征具有相似性，因此考慮加工精度因素，將精度系數(shù)fa引入到軸向剛度公式中，反求出實(shí)際承載螺紋牙個(gè)數(shù)，最終依據(jù)ISO-3408-5[9]滾珠絲杠副額定靜載荷計(jì)算方法求出行星滾柱絲杠副的額定靜載荷。

在實(shí)際接觸過(guò)程中，赫茲接觸產(chǎn)生的變形占總變形的98%[7]，因此在計(jì)算軸向剛度時(shí)可忽略螺紋牙變形和軸段變形，最終簡(jiǎn)化后的軸向剛度Kzj為：

(10)

式中，M為載荷不均勻系數(shù)。

參考ISO-3408-4[10]，將精度系數(shù)fa引用到式(10)，得到修正后的軸向剛度為：

Kzd=faKzj

(11)

式中，fa取值參照表1。

表1 精度等級(jí)表

將Kzd替代簡(jiǎn)化后的軸向剛度Kzj，可得到單個(gè)滾柱等效承載螺紋牙個(gè)數(shù)Zd：

(12)

通過(guò)等效承載螺紋牙個(gè)數(shù)，求出行星滾柱絲杠副軸向額定靜載荷計(jì)算公式為：

(13)

2.2 額定靜載荷靈敏度分析

為提高行星滾柱絲杠副額定靜載荷及靜態(tài)承載能力,需要進(jìn)行相關(guān)參數(shù)的額定靜載荷敏感性分析,定量評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)參數(shù)、精度等級(jí)等變化對(duì)額定靜載荷的影響程度。

設(shè)額定靜載荷的函數(shù)表達(dá)式[11]為：

Coad=F(X1,X2,X3,X4,X5)=F(fa,Z,N,β,α)

(14)

各參數(shù)的初始值依次為0.5、28、11、45、4.67，各參數(shù)區(qū)間范圍為[Xmin,Xmax]，依據(jù)控制變量法，控制一個(gè)參數(shù)在區(qū)間范圍變化，其余參數(shù)均為初始值。

則額定靜載荷的數(shù)值范圍為：

Coad=[Cmin,Cmax]

(15)

式中，Cmin為單一參數(shù)變換后額定靜載荷最小值；Cmax為單一參數(shù)變換后額定靜載荷最大值。

行星滾柱絲杠副的額定靜載荷的相對(duì)靈敏度r為：

(16)

依據(jù)式(16)可得到各參數(shù)對(duì)行星滾柱絲杠副額定靜載荷的靈敏度如表2所示。

表2 額定靜載荷參數(shù)靈敏度表

從表2可以得出，精度等級(jí)對(duì)額定靜載荷的影響最大，其次為滾柱數(shù)目，影響最小的為導(dǎo)程角，因此對(duì)影響程度最大的兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行額定靜載荷數(shù)值仿真，如圖2所示，加工精度等級(jí)越高，滾柱數(shù)目越多，行星滾柱絲杠副的額定靜載荷就越大。

圖2 仿真結(jié)果圖

2.3 有限元塑性仿真

本文選用某公司生產(chǎn)制造的規(guī)格為20×5×5的行星滾柱絲杠副，具體參數(shù)如表3所示。

表3 行星滾柱絲杠副參數(shù)表

由式(13)可求出該型號(hào)行星滾柱絲杠副的額定靜載荷C0a為100 kN。

通過(guò)Workbench軟件對(duì)行星滾柱絲杠進(jìn)行塑性仿真分析，研究其軸向力為100%C0a和285%C0a時(shí)，行星滾柱絲杠的塑性變形情況。其仿真步驟如下：

(1)將簡(jiǎn)化模型導(dǎo)入Workbench中，并進(jìn)行處理；

(2)材料賦予：添加密度、彈性模量和塑性模塊；

(3)接觸設(shè)置：接觸對(duì)的接觸方式均為Frictionless，初始接觸均為Adjust to touch，接觸行為為Asymmetric，并且每步迭代都更新接觸剛度值；

(4)網(wǎng)格劃分：對(duì)模型進(jìn)行Body sizing六面體網(wǎng)格劃分，再對(duì)接觸面進(jìn)行細(xì)化網(wǎng)格；

(5)邊界條件創(chuàng)建：如圖3所示，在絲杠-滾柱模型中，對(duì)絲杠添加displacement約束，對(duì)滾柱施加固定副；在滾柱-螺母模型中，對(duì)滾柱添加displacement約束，對(duì)螺母施加固定副；

(a) 絲杠-滾柱側(cè) (b) 滾柱-螺母?jìng)?cè)

(6)載荷步施加：設(shè)置多個(gè)載荷步，通過(guò)載荷子步控制每個(gè)載荷步，實(shí)現(xiàn)加載-卸載過(guò)程；

(7)結(jié)果查看：添加接觸對(duì)的位移圖，觀察每個(gè)螺紋牙產(chǎn)生塑性變形的情況。

2.4 仿真結(jié)果分析

圖4為當(dāng)軸向載荷為100%C0a時(shí)，絲杠-滾柱側(cè)和滾柱-螺母?jìng)?cè)的塑性變形情況。圖4a～圖4b中絲杠-滾柱側(cè)絲杠和滾柱螺紋牙產(chǎn)生的最大塑性變形量分別為4.137 μm、3.745 8 μm；圖4c～圖4d中滾柱-螺母?jìng)?cè)滾柱和螺母螺紋牙產(chǎn)生的最大塑性變形量分別為2.115 μm、1.954 5 μm。因此在100%C0a軸向載荷下，行星滾柱絲杠副產(chǎn)生11.952 3 μm的塑性變形。

(a) 絲杠-滾柱側(cè)絲杠變形圖 (b)絲杠-滾柱側(cè)滾柱變形圖

圖5為軸向載荷為285%C0a時(shí)，螺紋牙的變形情況，可以清晰地看出，每個(gè)螺紋牙靠近牙頂部分出現(xiàn)嚴(yán)重壓痕，且最左側(cè)螺紋牙塑性變形最大。

圖5 軸向載荷為285%C0a的絲杠變形圖

3 承載測(cè)試

為了研究行星滾柱絲杠副承載的3個(gè)階段，即輕載彈性階段、重載塑性階段以及高過(guò)載塑性階段。本文利用了一種垂直加載試驗(yàn)臺(tái)，如圖6所示。

1.狀態(tài)監(jiān)控模塊 2.加載橫梁 3.600 kN壓力傳感器 4.絲杠防轉(zhuǎn)裝置 5.壓盤(pán) 6.被測(cè)絲杠副 7.接觸式位移傳感器 8.絲杠夾具盤(pán) 9.螺母基準(zhǔn)盤(pán) 10.工作臺(tái)

通過(guò)上述行星滾柱絲杠副垂直加載試驗(yàn)臺(tái)，得到輕載彈性階段的試驗(yàn)剛度、重載塑性階段及高過(guò)載塑性階段的軸向載荷-軸向變形量曲線和塑性變形量，其具體試驗(yàn)步驟如下：

(1)載荷初始值為8 kN、試驗(yàn)加載的最大載荷為Fa、最大加載步進(jìn)值為5%C0a，則Fa的計(jì)算公式如下：

Fa=F0+(i-1)5%C0a

(17)

式中，F(xiàn)0為初始最大載荷20 kN；i為測(cè)試次數(shù)。

(2)通過(guò)驅(qū)動(dòng)伺服電機(jī)，使加載橫梁以0.2 mm/min速度向下移動(dòng)，產(chǎn)生軸向力并通過(guò)數(shù)據(jù)采集卡實(shí)時(shí)采集壓力傳感器的軸向力數(shù)值。

(3)加載到最大載荷Fa時(shí)，進(jìn)行卸載，驅(qū)動(dòng)加載橫梁向上移動(dòng)，當(dāng)載荷卸載到8 kN時(shí)，伺服電機(jī)停止驅(qū)動(dòng)，并記錄完全卸載后位移傳感器的值li。

(4)對(duì)采集到的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行軸向載荷-軸向變形量曲線擬合，得出加載、卸載剛度值，則第i次試驗(yàn)發(fā)生的累積塑性變形量Si的計(jì)算公式如下：

(18)

(5)將位移傳感器初始化處理，使位移傳感器初始值為0，令i=i+1，返回(2)。

(6)若試驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)曲線在某點(diǎn)處發(fā)生急劇變化，或試驗(yàn)剛度發(fā)生大的波動(dòng)，則停止試驗(yàn)，檢查絲杠是否良好，如發(fā)生嚴(yán)重卡滯、絲杠形貌有嚴(yán)重壓痕，則結(jié)束試驗(yàn)；若無(wú)上述情況發(fā)生，則繼續(xù)試驗(yàn)。

4 結(jié)果與分析

依據(jù)上節(jié)的試驗(yàn)流程對(duì)該行星滾柱絲杠副進(jìn)行承載測(cè)試試驗(yàn)，獲得在不同軸向載荷下加載過(guò)程和卸載過(guò)程的軸向載荷-軸向變形量曲線，如圖7、圖9和圖10所示。圖7是最大軸向載荷為 45 kN(45%C0a)時(shí)的曲線圖，從中可以看出，在最大軸向載荷處于未超過(guò)45 kN情況下，當(dāng)軸向載荷完全卸載完成后，其軸向載荷-軸向變形量曲線可以回到原點(diǎn)，由此可以判斷，在軸向載荷未超過(guò)45 kN時(shí)，該型號(hào)行星滾柱絲杠副僅處于輕載彈性階段。因此，將20 kN～45 kN的剛性實(shí)驗(yàn)值與理論值進(jìn)行對(duì)比，由圖8所示，通過(guò)理論剛度與試驗(yàn)剛度之間的相對(duì)誤差在6%以內(nèi)，進(jìn)而驗(yàn)證行星滾柱絲杠副軸向剛度模型的正確性。

圖7 載荷-變形量曲線(Fa=45%C0a) 圖8 輕載彈性階段剛性對(duì)比曲線(20 kN～45 kN)

從圖9a可以看出，在最大軸向載荷達(dá)到50 kN(50%C0a)后，當(dāng)軸向載荷完全卸載后，其軸向載荷-軸向變形量曲線并沒(méi)有回到原點(diǎn)，這表明軸向載荷達(dá)到50%C0a時(shí)，該樣件已經(jīng)發(fā)生了屈服，進(jìn)入了塑性變形階段，產(chǎn)生的塑性變形量為0.65 μm。當(dāng)繼續(xù)增加軸向載荷時(shí)，單次試驗(yàn)的塑性變形量也在逐漸增大，從圖9b可以看出，當(dāng)最大軸向載荷達(dá)到額定靜載荷(100%C0a)時(shí)，其產(chǎn)生的塑性變形量達(dá)到了1.42 μm，累積塑性變形量達(dá)到了12.77 μm，與仿真結(jié)果11.952 3 μm之間的相對(duì)誤差為6.84%，存在相對(duì)誤差的原因：由于加工誤差的存在，導(dǎo)致有些螺紋牙并未受載，而仿真是按照每個(gè)螺紋牙均接觸受力進(jìn)行分析。

(a) 載荷-變形量曲線(Fa=50%C0a) (b) 載荷-變形量曲線(Fa=100%C0a)

圖10a、圖10b分別是最大軸向載荷為245 kN(245%C0a)、285 kN(285%C0a)時(shí)的曲線圖，從中可以看出，當(dāng)軸向載荷達(dá)到233 kN(233%C0a)時(shí)，其加載過(guò)程的載荷-變形量曲線不再按照之前的趨勢(shì)變化，而是出現(xiàn)了一個(gè)受力變形曲線轉(zhuǎn)折點(diǎn)，轉(zhuǎn)折點(diǎn)之后的曲線斜率在不斷變大，即單位軸向載荷對(duì)應(yīng)下的單位軸向變形量在不斷變大，但其卸載狀態(tài)依舊為彈性卸載狀態(tài)。當(dāng)軸向載荷達(dá)到285%C0a時(shí)，加載的軸向載荷-軸向變形量曲線的斜率接近無(wú)限大，即應(yīng)力不再增加，應(yīng)變持續(xù)增加。

(a) 載荷-變形量曲線(Fa=245%C0a) (b) 載荷-變形量曲線(Fa=285%C0a)

圖11a為最大軸向載荷增至100 kN(100%C0a)，卸載后的絲杠滾道形貌，可以觀察到其絲杠滾道形貌無(wú)明顯壓痕，用手盤(pán)動(dòng)螺母，其傳動(dòng)情況良好，有輕微卡滯現(xiàn)象；當(dāng)軸向載荷增至285 kN(285%C0a)，卸載后的行星滾柱絲杠副出現(xiàn)嚴(yán)重的卡滯現(xiàn)象，其傳動(dòng)功能基本完全喪失，且觀察圖11b絲杠滾道形貌，可以看到螺紋牙靠近牙頂部分出現(xiàn)嚴(yán)重壓痕，且從最右側(cè)滾道至最左側(cè)滾道，壓痕在不斷變大，與仿真得到的相鄰螺紋牙塑性變形趨勢(shì)一致。因此可說(shuō)明在承載過(guò)程中，滾柱的螺紋牙承受的載荷不均，且絲杠與滾柱接觸位置靠近牙頂側(cè)。此時(shí)，行星滾柱絲杠副出現(xiàn)嚴(yán)重的卡滯現(xiàn)象，其傳動(dòng)功能完全喪失。由此可認(rèn)為型號(hào)為20×5×5的行星滾柱絲杠副可承受的極限載荷為285 kN(285%C0a)。

(a) 100 kN卸載后的絲杠滾道形貌 (b) 285 kN卸載后的絲杠滾道形貌

5 結(jié)論

本文在不同承載工況下對(duì)行星滾柱絲杠副進(jìn)行變形及承載極限研究，在輕載彈性階段，基于載荷分布理論建立行星滾柱絲杠副軸向剛度模型；在重載和高過(guò)載塑性階段，基于等效承載螺紋牙數(shù)推導(dǎo)出額定靜載荷公式，研究其相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)額定靜載荷的影響程度。隨后，基于有限元法對(duì)行星滾柱絲杠副進(jìn)行仿真建模，研究了其受重載和高過(guò)載時(shí)塑性變形情況；最終，通過(guò)承載試驗(yàn)對(duì)軸向剛度理論和有限元模型進(jìn)行驗(yàn)證，其理論、仿真及試驗(yàn)結(jié)果表明：

(1)由絲杠滾道形貌及仿真結(jié)果看出，其相鄰螺紋牙的塑性變形情況并不相同，驗(yàn)證了螺紋牙受載不均，且在輕載彈性階段內(nèi)，理論剛度與試驗(yàn)剛度之間的相對(duì)誤差小于6%，因此驗(yàn)證了理論剛度模型的正確性。

(2)加工精度等級(jí)對(duì)額定靜載荷影響最大，其次依次為滾柱數(shù)目、螺紋牙數(shù)、接觸角、導(dǎo)程角。

(3)在額定靜載荷100%C0a下，理論仿真得到的塑性變形量與試驗(yàn)測(cè)到的塑性變形量之間的相對(duì)誤差值為6.84%，驗(yàn)證理論塑性仿真模型的正確性。

(4)在高過(guò)載塑性階段，當(dāng)軸向載荷-軸向變形量曲線出現(xiàn)轉(zhuǎn)折點(diǎn)后，且其斜率趨于無(wú)窮大時(shí)，即最大軸向載荷為285 kN(285%C0a)時(shí)，行星滾柱絲杠副的傳動(dòng)性能已完全喪失，其滾道形貌出現(xiàn)嚴(yán)重壓痕且與仿真結(jié)果吻合，此時(shí)可認(rèn)為行星滾柱絲杠副其可承受的極限載荷為285 kN。