基于Hammerstein模型的動態(tài)率相關(guān)遲滯特性建模及分析*

李 亮，喻 俊，溫盛軍

(中原工學(xué)院a.電子信息學(xué)院；b.彼得堡航空學(xué)院，鄭州 450007)

0 引言

隨著社會的進(jìn)步和科技的發(fā)展，我國超精密機(jī)械加工制造業(yè)對分辨率、定位精度與響應(yīng)速度提出了更高的要求[1]。以壓電材料制作的壓電驅(qū)動器具有微納米級別位移精度、能耗低、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)[2]，被廣泛應(yīng)用在超精密加工和微納米定位技術(shù)等領(lǐng)域中。但在工業(yè)實(shí)踐應(yīng)用中，由于壓電材料一直存在的遲滯非線性特性，會直接影響壓電驅(qū)動定位平臺的性能，降低控制精度，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定[3]。遲滯非線性具有明顯的多值映射性[4]，使平臺非線性情況變得更復(fù)雜，對平臺控制精度的影響最大。因此如何根據(jù)平臺特性精確的建立其數(shù)學(xué)模型和對平臺進(jìn)行補(bǔ)償控制已成為精密定位研究中的一個熱點(diǎn)[5]。

迄今，為了精確描述壓電定位平臺的遲滯非線性特性，常用的模型主要是基于遲滯非線性現(xiàn)象建立的唯象模型，如PI(prandtl-shlinskii)模型[6]。該模型具有解析逆的優(yōu)點(diǎn)，有利于控制方案的設(shè)計(jì)。然而，隨著研究的逐漸深入，研究人員發(fā)現(xiàn)壓電材料還具有動態(tài)的率相關(guān)特性，遲滯環(huán)會隨著輸入信號頻率的增大而變寬，使得壓電定位平臺出現(xiàn)定位誤差增大和振蕩等問題[7]。前述的PI模型只能描述率無關(guān)的遲滯性質(zhì)。為此，WONG等[8]利用在線支持向量機(jī)和相關(guān)向量機(jī)使其模型具有了率相關(guān)特性，但其設(shè)計(jì)過于復(fù)雜，不便于實(shí)現(xiàn)。JANAIDEH等[9]將輸入信號變化率引入到PI模型的閾值內(nèi)，提出了RDPI(rate-dependent prandtl-shlinskii)模型，但其并未考慮系統(tǒng)的機(jī)理動態(tài)特性。

針對壓電定位平臺在寬頻域內(nèi)存在的復(fù)雜輸入-輸出之間的動態(tài)率相關(guān)的遲滯非線性特性問題，本文提出了一種基于Hammerstein模型的動態(tài)率相關(guān)遲滯非線性建模方法，其中靜態(tài)子系統(tǒng)部分使用經(jīng)典PI模型進(jìn)行描述，動態(tài)子系統(tǒng)部分使用率相關(guān)的二階傳遞函數(shù)表征。為了更好地表征不同頻率下的壓電定位平臺的性質(zhì)，分別在低頻和中高頻的情況下建立了不同的傳遞函數(shù)模型。

1 壓電定位平臺系統(tǒng)建模

1.1 Hammerstein模型

Hammerstein模型是由各個子系統(tǒng)進(jìn)行串聯(lián)連接組合的一種非線性模型。一般情況下，其主要包含兩個部分，第一部分是一個靜態(tài)非線性子系統(tǒng)，其一般描述整個系統(tǒng)的非線性性質(zhì)；第二部分由一個線性動態(tài)子系統(tǒng)表示，用于解決整個系統(tǒng)存在的線性問題。上述兩部分串聯(lián)組合而成經(jīng)典Hammerstein模型，使其成為一個可以表征耦合現(xiàn)象的非線性模型[10]，其模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖1中，v∈R、y∈R和u∈R分別表示為系統(tǒng)的控制輸入、測量輸出、不可測量的中間變量。

圖1 Hammerstein模型結(jié)構(gòu)圖

本文采用經(jīng)典PI遲滯非線性模型作為Hammerstein模型結(jié)構(gòu)的靜態(tài)遲滯非線性部分，動態(tài)線性部分由經(jīng)典二階傳遞函數(shù)模型表示。

1.2 PI模型

PI模型是算子類唯象模型，由有限個不同權(quán)值的Play算子或者Stop算子線性疊加而成，以此描述遲滯非線性特性現(xiàn)象。其中Play算子的輸出不僅僅取決于閾值r和權(quán)值w，而且還和歷史輸入極值有關(guān)。

假設(shè)Cm[0,tE]是分段單調(diào)連續(xù)函數(shù)的一個集合，其定義域?yàn)閇0,tE]。當(dāng)輸入v(t)∈Cm[0,tE]時，對于閥值r≥0的線性Play算子Pr可定義為[11]：

Pr[v](t)=fr(v(t),Pr[v](ti))

(1)

式中，ti

fr(v,u)=max(v-r,min(v+r,u))

(2)

式中，u(t)是算子的輸出；0=t0

u(0)=Pr[v](0)=fr(v(0),u0)

(3)

且u(t)=Pr[v](t)=fr(v(t),u(ti))

(4)

式中，u0是線性Play算子的初始狀態(tài)條件。圖2是線性Play算子的曲線示意圖，可以明顯看出其呈現(xiàn)出對稱的平行四邊形結(jié)構(gòu)。

圖2 線性Play算子示意圖

對于有限個具有不同閾值的Play算子進(jìn)行線性加權(quán)疊加，可得到PI遲滯模型輸出表達(dá)式為：

(5)

式中，wj為Play算子的權(quán)值，且滿足wj>0；m為Play算子的數(shù)目；rj為Play算子的閾值。

一般情況下，閾值rj的選取原則是等間隔選取，定義為：

(6)

此外PI模型的精度與算子的數(shù)量有極大的關(guān)系，當(dāng)算子數(shù)量有所增加時，其模型精度也會隨之有所提升，但與此同時算子數(shù)量的增加同樣會降低模型的運(yùn)算速度。因此為了平衡PI模型的精度和運(yùn)算速度之間的關(guān)系，選取合適的算子數(shù)量就顯得十分重要。經(jīng)過多次試驗(yàn)，本文選取的算子數(shù)目為9個。

1.3 二階傳遞函數(shù)模型

壓電定位平臺系統(tǒng)的主要結(jié)構(gòu)為壓電驅(qū)動器、柔性鉸鏈和基座等，其中壓電驅(qū)動器作為主要驅(qū)動元件。在輸入電壓信號的作用下，通過壓電驅(qū)動器驅(qū)動產(chǎn)生力，經(jīng)由柔性鉸鏈的聯(lián)動作用進(jìn)行機(jī)械運(yùn)動，此時定位平臺會輸出較小的位移。壓電定位平臺系統(tǒng)由于其特殊的材料性質(zhì)，其線性動態(tài)特性可以等效為經(jīng)典質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。因此，壓電定位平臺系統(tǒng)線性動態(tài)模型可以被描述為[12]：

(7)

式中，y(t)表示為壓電定位平臺的輸出位移；F(t)表示為壓電驅(qū)動器所產(chǎn)生的力；m是壓電定位平臺的等效質(zhì)量；b1是壓電定位平臺的等效粘性摩擦系數(shù)；b2是壓電定位平臺的等效剛度系數(shù)。

在實(shí)際控制系統(tǒng)中，通常使用線性系統(tǒng)的離散表達(dá)形式：

A(z)y(t)=B(z)u(t)+ε(t)

(8)

式中，ε(t)為誤差項(xiàng)；u(t)為Hammerstein模型中靜態(tài)PI遲滯非線性模型輸出，且u(t)=F(t)；A(z)=1+a1z-1+a2z-2+…+anaz-na；B(z)=b1+b2z-1+b3z-2+…+bnbz-nb+1；z-1是單位遲滯算子。

將離散形式模型寫為傳遞函數(shù)形式為：

(9)

以v(k)作為整個平臺系統(tǒng)的輸入電壓，則壓電驅(qū)動器產(chǎn)生輸出力F(k)，也即中間變量u(k)與遲滯模型的輸出之間的關(guān)系為：

u(k)=P[v](k)

(10)

式中，P[v]為遲滯算子。

經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)測定，本實(shí)驗(yàn)平臺的動態(tài)特性符合二階傳遞函數(shù)的形式，選取二階離散傳遞函數(shù)能夠有效表征壓電定位平臺系統(tǒng)自身特性。

由文獻(xiàn)[7]可知，當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號頻率處于低頻(頻率小于或者等于10 Hz)時，此時系統(tǒng)趨于靜態(tài)，靜態(tài)特性為系統(tǒng)的主要特性；當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號頻率處于中高頻(頻率大于10 Hz)時，系統(tǒng)的動態(tài)特性占據(jù)為主要特性。但無法否認(rèn)的是，即使是低頻情況，系統(tǒng)之中依然存在系統(tǒng)的部分動態(tài)特性。經(jīng)實(shí)驗(yàn)研究，當(dāng)系統(tǒng)處于不同頻率下，其動態(tài)遲滯非線性會有所不同，所以，本文在此研究基礎(chǔ)上，建立了率相關(guān)二階離散傳遞函數(shù)，其參數(shù)會在不同頻率下進(jìn)行動態(tài)自適應(yīng)調(diào)整，分別在系統(tǒng)的低頻與中高頻狀態(tài)下辨識出不同的傳遞函數(shù)的參數(shù)，使其參數(shù)能夠較好的適應(yīng)頻率變化，可以更好地?cái)M合系統(tǒng)本身的遲滯特性。

2 參數(shù)辨識

本文中的Hammersein模型的參數(shù)辨識步驟分兩步進(jìn)行，其中分別是靜態(tài)非線性PI模型的權(quán)值參數(shù)辨識和動態(tài)線性經(jīng)典二階傳遞函數(shù)的辨識。通過構(gòu)造輸入信號v(t)和采集實(shí)驗(yàn)測量輸出數(shù)據(jù)y(t)構(gòu)成辨識所需的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，從而進(jìn)行上述模型的參數(shù)辨識。

2.1 PI靜態(tài)非線性遲滯模型參數(shù)辨識

當(dāng)輸入電壓頻率較低時(一般為小于或者等于10 Hz)，壓電定位平臺系統(tǒng)的遲滯現(xiàn)象沒有發(fā)生大的變化，此時可以近似認(rèn)為整個系統(tǒng)的遲滯環(huán)沒有變化，此系統(tǒng)具有準(zhǔn)靜態(tài)特性。給定壓電定位平臺系統(tǒng)正弦輸入信號v(t)=10sin(2πft)+10，其中頻率f為1 Hz，測得壓電定位平臺系統(tǒng)的輸出位移y(t)，構(gòu)成辨識PI靜態(tài)非線性遲滯模型的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行辨識。

PI靜態(tài)非線性遲滯模型主要辨識參數(shù)為其各個算子的權(quán)值wj，j=1,2,3,…。針對上述模型，利用其離散形式：

(11)

式中，Prj[v](k)為PI模型的Play算子輸出；wj為Play算子對應(yīng)的權(quán)值，亦為待辨識參數(shù)。

定義y(k)為實(shí)驗(yàn)平臺實(shí)際測量所得的位移輸出，則所建立模型與實(shí)際平臺所測量的誤差值為：

e(k)=y(k)-P(k)

(12)

式中，e(k)為實(shí)際位移輸出與PI模型輸出的誤差項(xiàng)；P(k)為PI模型輸出。

以誤差項(xiàng)的平方和作為辨識所需的準(zhǔn)則函數(shù)，則定義最小誤差準(zhǔn)則函數(shù)：

Jmin=eTe

(13)

本辨識方法采用非線性最小二乘法，選取Play算子個數(shù)為9，對上述模型進(jìn)行辨識，辨識結(jié)果為w0=0.334 4，w1=0.071 4，w2=0.032 2，w3=0.007 2，其余算子權(quán)值取值較小，在此均設(shè)置為0。

2.2 動態(tài)線性傳遞函數(shù)模型參數(shù)辨識

(14)

系統(tǒng)在中高頻狀態(tài)下的輸入-輸出動態(tài)特性的傳遞函數(shù)的離散形式為：

(15)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

在本文中，基于壓電驅(qū)動器的壓電定位平臺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3所示。整個實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)主要包括以下幾個部分：①實(shí)驗(yàn)壓電位移臺PS1H80-030U；②壓電驅(qū)動器PH301；③信號發(fā)生器SAB101；④顯示與接口面板和作為控制器的實(shí)驗(yàn)計(jì)算機(jī)。

圖3 壓電定位平臺系統(tǒng)

其中，實(shí)驗(yàn)壓電位移臺包括移動平臺、壓電驅(qū)動器和位移傳感器，位移傳感器的分辨率2 nm，移動平臺的最大位移距離是30 μm。整個實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的工作過程為：信號發(fā)生器輸入0～10 V的電壓信號，由功率放大器放大后輸入電壓范圍變?yōu)?～150 V、頻寬6 kHz的電壓信號，經(jīng)顯示與接口面板輸入到壓電驅(qū)動器作為壓電定位平臺的驅(qū)動電壓，通過位移傳感器測得位移平臺的輸出位移，經(jīng)柔性鉸鏈放大后其輸出位移距離范圍為0～100 μm，全過程由作為控制器的實(shí)驗(yàn)計(jì)算機(jī)采集信號并進(jìn)行保存。在本文中，控制器的采樣時間是0.5 ms。

3.2 Hammerstein模型辨識結(jié)果驗(yàn)證與分析

為了檢驗(yàn)所提出的Hammerstein模型的精確度，本文采用均方根誤差ERMSE和相對誤差ERE作為驗(yàn)證模型精確度的指標(biāo)，其中，均方根誤差ERMSE和相對誤差ERE定義為：

(16)

(17)

式中，L為采集數(shù)據(jù)個數(shù)；y(k)為實(shí)際采集得到的壓電定位平臺系統(tǒng)的位移輸出；ym(k)為Hammerstein模型的預(yù)測輸出。

壓電定位平臺系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)輸入輸出遲滯關(guān)系，與PI模型輸入輸出遲滯關(guān)系、Hammerstein模型輸入-輸出遲滯關(guān)系如圖4～圖6所示。

(a) 1 Hz (b) 10 Hz

(a) 1 Hz (b) 10 Hz

(a) PI模型 (b) Hammerstein模型

根據(jù)實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果，由圖4顯示可知，隨著輸入電壓信號頻率的增大，遲滯非線性特性也逐漸變得嚴(yán)重，遲滯環(huán)明顯變得越來越寬，顯示出了強(qiáng)烈的率相關(guān)特性。而PI模型只能描述對稱的率無關(guān)遲滯特性，隨著頻率的增大則無法有效地表征實(shí)驗(yàn)平臺系統(tǒng)的動態(tài)率相關(guān)的輸入-輸出遲滯特性。相比較而言，本文所提出的Hammerstein模型包含有一個動態(tài)線性子系統(tǒng)部分，它可以描述系統(tǒng)的率相關(guān)動態(tài)特性。其中的動態(tài)線性子系統(tǒng)部分為率相關(guān)的二階傳遞函數(shù)，不僅能夠表征整個系統(tǒng)的機(jī)理動態(tài)特性，還能夠有效地表征系統(tǒng)的遲滯率相關(guān)特性，從圖4～圖7和表2、表3顯示結(jié)果可知，Hammerstein模型能夠有效地表征實(shí)驗(yàn)平臺系統(tǒng)的遲滯輸入-輸出特性。

圖7 PI模型和Hammerstein模型在混合頻率下誤差曲線圖(f=5/40/80)

由表1、表2的數(shù)據(jù)可以知道，Hammerstein模型相較于PI模型，其與實(shí)驗(yàn)平臺系統(tǒng)實(shí)際測得輸入-輸出擬合更好。當(dāng)輸入信號頻率為低頻10 Hz時，PI模型和Hammerstein模型的均方根誤差ERMSE分別為0.182 1 μm和0.103 6 μm，降低了43.11%，相對誤差ERE由1.90%降到1.08%；當(dāng)系統(tǒng)輸入頻率提高到中高頻率時，傳遞函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行動態(tài)調(diào)整之后，尤其是在高頻情況，在輸入電壓頻率為100 Hz時，Hammerstein模型的均方根誤差ERMSE為0.133 7 μm，相比于PI模型的1.063 7 μm，降低了87.43%，相對誤差ERE由PI模型的11.2%降低到Hammerstein模型的1.14%；除此之外，在輸入信號為混合頻率情況下，PI模型和Hammerstein的均方根誤差ERMSE分別為0.155 3 μm和0.113 1 μm，降低了27.17%，相對誤差ERE從2.76%降低到2.01%。通過以上數(shù)據(jù)分析可知，串聯(lián)了率相關(guān)動態(tài)特性傳遞函數(shù)的Hammerstein模型能更為有效地表征壓電定位平臺系統(tǒng)的遲滯輸入-輸出特性，尤其是在高頻情況下，其優(yōu)勢更為顯著。

表1 PI模型、Hammerstein模型的均方根誤差ERMSE

表2 PI模型、Hammerstein模型的相對誤差ERE

4 結(jié)論

針對壓電定位平臺系統(tǒng)中存在復(fù)雜輸入-輸出動態(tài)率相關(guān)的非線性遲滯特性問題，本文提出了一種率相關(guān)動態(tài)Hammerstein模型。根據(jù)平臺在不同輸入信號頻率下的實(shí)驗(yàn)性質(zhì)，本文使用PI模型表征了平臺的遲滯非線性特性，并提出率相關(guān)動態(tài)Hammerstein模型，可以分別在低頻段和中高頻段下精確描述平臺的動態(tài)率相關(guān)性質(zhì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對實(shí)驗(yàn)平臺施加1～100 Hz以內(nèi)的電壓信號， Hammerstein模型得到的預(yù)測位移和實(shí)測位移的相對誤差在1.5%以內(nèi)，充分說明了所提出率相關(guān)Hammerstein模型能夠更為有效地表征壓電定位平臺系統(tǒng)的復(fù)雜遲滯輸入-輸出特性。