考慮浸潤(rùn)線不確定性的邊坡可靠度分析方法

陳 富，王上上，劉 旭，李 亮,*，彭劍平，高 原，翟 明

(1.青島理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，青島 266525；2.招金礦業(yè)股份有限公司，招遠(yuǎn) 265400；3.青島新華友建工集團(tuán)股份有限公司，青島266101)

在水庫(kù)邊坡、尾礦壩壩坡、堤岸邊坡中，除了邊坡土質(zhì)、幾何參數(shù)的影響外，水對(duì)邊坡穩(wěn)定性有著重要影響[1]，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此開展了大量工作。例如孫超等[2]研究了地下水滲流作用對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響；還有學(xué)者基于ABAQUS，F(xiàn)LAC等數(shù)值分析軟件研究了降雨以及由此導(dǎo)致的邊坡滲流場(chǎng)變化及其對(duì)邊坡穩(wěn)定程度的影響規(guī)律，研究成果對(duì)實(shí)際工程具有一定的指導(dǎo)意義[3-6]。由前人研究可知，水對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響，一般可由浸潤(rùn)線位置的高低來(lái)反映，很多研究都是假設(shè)浸潤(rùn)線位置是確定的，然而在實(shí)際工程中浸潤(rùn)線的具體位置難以確定，加之氣候變化[7-8]，降水對(duì)浸潤(rùn)線的升降[9-10]也有著影響，給邊坡穩(wěn)定性分析帶來(lái)困難[11-12]。

本文在考慮土體參數(shù)(內(nèi)摩擦角和黏聚力)不確定性的基礎(chǔ)上，利用一正態(tài)分布變量模擬了浸潤(rùn)線的隨機(jī)變化以便研究浸潤(rùn)線不確定性對(duì)邊坡穩(wěn)定程度的影響規(guī)律。

1 考慮浸潤(rùn)線不確定性的邊坡可靠度分析方法

1.1 極限平衡法

極限平衡法是邊坡穩(wěn)定分析最常用的方法之一，這種方法是通過(guò)分析邊坡失穩(wěn)時(shí)刻滑動(dòng)土體的靜力平衡關(guān)系來(lái)確定邊坡的穩(wěn)定性，通常用安全系數(shù)Fs來(lái)評(píng)估邊坡的穩(wěn)定程度，F(xiàn)s越大，邊坡穩(wěn)定性越好，反之亦然。鑒于極限平衡方法發(fā)展較成熟，已經(jīng)發(fā)展出許多較完善的商業(yè)軟件，本文采用商業(yè)軟件Geo-Studio中的Slope/w模塊來(lái)求解滑動(dòng)面的安全系數(shù)Fs，在求解安全系數(shù)時(shí)選用極限平衡法中的M-P法，設(shè)置條間力函數(shù)f(x)為半正弦函數(shù)。

在計(jì)算涉水邊坡時(shí)，水對(duì)邊坡穩(wěn)定性有較大影響。根據(jù)太沙基有效應(yīng)力原理，邊坡內(nèi)水的存在勢(shì)必產(chǎn)生孔隙水壓力，由此導(dǎo)致土體的有效應(yīng)力降低，從而減小土體材料的抗剪強(qiáng)度，最終影響邊坡穩(wěn)定性。在Slope/w模塊里通過(guò)設(shè)置一系列的控制點(diǎn)來(lái)確定浸潤(rùn)線位置，這些控制點(diǎn)的坐標(biāo)信息包括在模型文件里，在批處理計(jì)算時(shí)，可以通過(guò)修改模型文件里的坐標(biāo)信息來(lái)改變浸潤(rùn)線的位置。

1.2 蒙特卡羅方法

蒙特卡羅方法是一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的數(shù)值計(jì)算方法。它已經(jīng)在多個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。現(xiàn)以正方形內(nèi)切圓面積計(jì)算為例，簡(jiǎn)要介紹蒙特卡羅法的思想。邊長(zhǎng)為單位1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，利用蒙特卡羅法計(jì)算內(nèi)切圓面積時(shí)，首先在1×1正方形內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)互不相同的樣本點(diǎn)(x1，y1), (x2，y2),…, (xN，yN)，其過(guò)程如圖1所示，其次建立如式(1)所示的極限狀態(tài)函數(shù)，接著由樣本點(diǎn)坐標(biāo)(xi，yi)可以計(jì)算出第i個(gè)樣本點(diǎn)到圓心(0，0)的距離，如此得到N個(gè)極限狀態(tài)函數(shù)值G1,G2, …，GN，根據(jù)這些樣本值可以判斷有多少個(gè)樣本點(diǎn)在圓里，落在圓里點(diǎn)的數(shù)量與N的比值就近似為內(nèi)切圓的面積。

(1)

當(dāng)G(x,y)≤1時(shí)就代表樣本點(diǎn)在圓上或圓心里。

本文應(yīng)用蒙特卡羅方法來(lái)計(jì)算邊坡的失效概率。首先建立關(guān)于安全系數(shù)的邊坡極限狀態(tài)函數(shù)：

G(x,y)=Fs(X)-1

(2)

Fs為安全系數(shù)，X=x1,x2,…,xm,m為變量個(gè)數(shù)，xi為安全系數(shù)計(jì)算所需要的第i個(gè)變量，本文選取土的黏聚力、內(nèi)摩擦角、浸潤(rùn)線位置作為變量。根據(jù)隨機(jī)變量的分布類型，隨機(jī)生成N個(gè)樣本X1，X2，…，XN，代入式(2)中，可計(jì)算出N個(gè)狀態(tài)函數(shù)值G1，G2，…，GN。若Gi<0，則稱Xi為失效樣本。統(tǒng)計(jì)失效樣本個(gè)數(shù)為M，則邊坡的失效概率可近似為Pf:

(3)

其中，Pf的計(jì)算精度與抽樣次數(shù)N有密切關(guān)系，所得Pf的變異系數(shù)可通過(guò)式(4)確定：

(4)

式中：CPf為蒙特卡羅法計(jì)算所得Pf的變異系數(shù)；Pf為蒙特卡羅方法計(jì)算所得失效概率；N為蒙特卡羅方法的抽樣次數(shù)，欲保證其變異系數(shù)為10%時(shí)，則N≈100/Pf。

在應(yīng)用蒙特卡羅法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要進(jìn)行抽樣次數(shù)敏感性分析，以保證所得結(jié)果具有較高的精度。

1.3 浸潤(rùn)線不確定性模擬

首先確定兩條浸潤(rùn)線，分別稱之為最高和最低浸潤(rùn)線，這兩條浸潤(rùn)線由一系列橫坐標(biāo)固定、縱坐標(biāo)變化的點(diǎn)確定。如圖2所示，設(shè)最低和最高兩條浸潤(rùn)線上橫坐標(biāo)一致的任意兩點(diǎn)為(x，y1)，(x，y2)，此時(shí)兩點(diǎn)之間的距離為ymax=y2-y1，介于兩點(diǎn)間任意點(diǎn)坐標(biāo)(x，y3),這點(diǎn)到兩點(diǎn)中較低點(diǎn)的距離yw=y3-y1。令k=yw/ymax(0

為研究簡(jiǎn)單起見，設(shè)k值為一符合正態(tài)分布的變量，則由k值確定的浸潤(rùn)線亦可視為服從正態(tài)分布變化。利用正態(tài)分布的3σ法則，可將隨機(jī)浸潤(rùn)線盡量控制在最低和最高浸潤(rùn)線之間，對(duì)于少量越界的浸潤(rùn)線，需要重新生成。如此生成N條服從正態(tài)分布的浸潤(rùn)線。根據(jù)某k值生成的某浸潤(rùn)線位置如圖3所示。

根據(jù)式(4)可知，結(jié)合浸潤(rùn)線不確定性和土參數(shù)不確定性進(jìn)行蒙特卡羅模擬時(shí)，理論上要經(jīng)過(guò)大量的抽樣(生成大量的邊坡模型)，因此采用python程序替代人力來(lái)處理大量重復(fù)性的工作，此外python程序也可以高效、穩(wěn)定、準(zhǔn)確地生成和計(jì)算模型并提取出安全系數(shù)進(jìn)行分析，有利于批處理。

1.4 基于python程序的失效概率計(jì)算

1) 首先在Geo-Studio中利用原始數(shù)據(jù)(如邊坡的幾何參數(shù)、土體參數(shù)、黏聚力c、內(nèi)摩擦角φ)建立原始邊坡的模型，緊接著將模型導(dǎo)出為后綴xml格式的文件。

2) 根據(jù)土體基本變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差在python程序中生成該土體基本變量的N個(gè)隨機(jī)變量，此外為生成隨機(jī)分布的浸潤(rùn)線，先生成N個(gè)0～1之間的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)k，建立excel格式文件并將這些數(shù)據(jù)依次輸出保存。

3) 接著在python程序中讀取excel表格中先前隨機(jī)生成的土體參數(shù)以及隨機(jī)數(shù)k，選取土體參數(shù)中的替換原始邊坡的土體參數(shù)并利用前文所述的方法選取k值確定一條浸潤(rùn)線，依此方法利用python程序重復(fù)N次并生成N個(gè)新模型放入N個(gè)不同的文件夾下。

4) 利用python程序?qū)σ焉傻腘個(gè)模型進(jìn)行批量計(jì)算處理。

5) 利用python程序提取已算好模型的安全系數(shù)并保存到之前生成的excel格式文檔中。

6) 在office程序中統(tǒng)計(jì)失效樣本的個(gè)數(shù)M，若N足夠大，則M與N之比即為邊坡系統(tǒng)的失效概率。

計(jì)算流程如圖4所示。

2 算例

2.1 邊坡模型與工況設(shè)置

考慮如圖5所示的均質(zhì)邊坡，坡高10 m，坡角26.6°。該邊坡的內(nèi)摩擦角φ和黏聚力c均為隨機(jī)變量，根據(jù)陳立宏等[13]的研究結(jié)論，假定φ和c均服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。c和φ的均值分別為3 kPa和19.6°，變異系數(shù)均為0.2，土的單位重度為常量，其值為γ=20 kN/m3。

本文設(shè)置如下四種工況來(lái)研究土體參數(shù)和浸潤(rùn)線隨機(jī)變化對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響：1)僅考慮土體參數(shù)不確定性(無(wú)浸潤(rùn)線)；2)僅考慮土體參數(shù)不確定性(浸潤(rùn)線確定)；3)僅考慮浸潤(rùn)線不確定性(土體參數(shù)確定)；4)同時(shí)考慮土體參數(shù)不確定性和浸潤(rùn)線不確定性。在這些工況中土體參數(shù)包括土的黏聚力和內(nèi)摩擦角，二者均呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布；浸潤(rùn)線呈正態(tài)分布，設(shè)置四種不同的最高浸潤(rùn)線位置(最高位置浸潤(rùn)線坐標(biāo)變化如表1和圖6所示)，最低浸潤(rùn)線位置保持不變，呈正態(tài)分布的浸潤(rùn)線在最高位置浸潤(rùn)線和最低位置浸潤(rùn)線之間變化。通過(guò)python程序給此邊坡添加正態(tài)分布的浸潤(rùn)線。

表1 最低位置和各最高位置浸潤(rùn)線橫縱坐標(biāo) m

針對(duì)四種工況，各生成1000個(gè)邊坡模型，共計(jì)4000個(gè)邊坡模型，利用圖4所示的計(jì)算流程獲取邊坡失效概率，為保證計(jì)算精度，首先進(jìn)行抽樣次數(shù)敏感性分析。

2.2 蒙特卡羅抽樣次數(shù)敏感性分析

以工況1為例，圖7給出了不同蒙特卡羅樣本下，邊坡失效概率的結(jié)果變化散點(diǎn)圖。由圖可知，在樣本較少時(shí)，邊坡失效概率較大，隨著樣本數(shù)的逐漸增多，所得失效概率逐漸降低，最終在0.1上下微小變動(dòng)，趨于穩(wěn)定。將pf=0.1代入式(4)，計(jì)算得到N≈100/pf≈1000時(shí)，蒙特卡羅計(jì)算結(jié)果的變異系數(shù)可控制在10%左右。在下文的數(shù)值模擬中，蒙特卡羅抽樣次數(shù)取N=1000。

2.3 不同工況下邊坡失效概率對(duì)比分析

對(duì)設(shè)置的四種工況進(jìn)行數(shù)值模擬，計(jì)算結(jié)果如表2所示。工況1不考慮水的作用，僅僅考慮土體參數(shù)的不確定性，由表2可知，在工況1下，邊坡的失效概率趨于一致，在0.1上下微小波動(dòng)；在工況2下，考慮水對(duì)邊坡的影響，浸潤(rùn)線作為定值來(lái)考慮，在浸潤(rùn)線最高位置1時(shí)，確定的浸潤(rùn)線取最低位置和最高位置1的平均值，以此類推。在工況2下，在浸潤(rùn)線最高位置1，2，3，4時(shí)，邊坡失效概率分別為0.58， 0.52，0.48及0.40，邊坡失效概率隨著浸潤(rùn)線位置的抬升直線增加，浸潤(rùn)線最高位置每抬升1 m，失效概率大約增加0.05；在工況3下，僅考慮浸潤(rùn)線的不確定性，土體參數(shù)取其平均值，在浸潤(rùn)線最高位置1，2，3，4時(shí)，邊坡失效概率分別為0.77，0.48，0.06及0.00，邊坡失效概率隨著浸潤(rùn)線最高位置的抬升(浸潤(rùn)線變化范圍增大)迅速增加，呈非線性增長(zhǎng)趨勢(shì)。

表2 4種工況失效概率的計(jì)算結(jié)果

在工況4下，在浸潤(rùn)線最高位置1，2，3，4時(shí)，邊坡失效概率分別為0.59，0.56，0.51及0.43，對(duì)比發(fā)現(xiàn)：在浸潤(rùn)線位置較高(浸潤(rùn)線最高位置1)時(shí)，工況4所得邊坡失效概率介于工況2和工況3之間；在浸潤(rùn)線位置較低(浸潤(rùn)線最高位置2，3，4)時(shí)，工況3得出的失效概率低于工況2與工況4，工況4略高于工況2。說(shuō)明在浸潤(rùn)線位置較高時(shí)，工況3得出的失效概率偏大，而工況2得出的失效概率偏小，在浸潤(rùn)線位置較低時(shí)，工況3與工況2得出的失效概率均偏小。

3 結(jié)論

1) 僅考慮土體參數(shù)不確定性時(shí)，邊坡失效概率隨著浸潤(rùn)線最高位置的抬升直線增加，浸潤(rùn)線最高位置每抬升1 m，失效概率增加0.05；

2) 僅考慮浸潤(rùn)線不確定性時(shí)，邊坡失效概率隨著浸潤(rùn)線位置的抬升迅速增大，呈非線性增長(zhǎng)趨勢(shì)；

3) 在同時(shí)考慮土體參數(shù)不確定性和浸潤(rùn)線不確定性的工況下，邊坡失效概率介于僅考慮土體參數(shù)不確定性和僅考慮浸潤(rùn)線不確定性之間；在浸潤(rùn)線位置較低時(shí)，僅考慮浸潤(rùn)線不確定性時(shí)得出的失效概率明顯低于僅考慮土體參數(shù)不確定性與同時(shí)考慮兩者的不確定性，并且同時(shí)考慮兩者不確定性時(shí)的失效概率略高于僅考慮土體參數(shù)不確定性。說(shuō)明在浸潤(rùn)線位置較高時(shí)，僅考慮浸潤(rùn)線不確定性得出的失效概率偏大，而僅考慮土體參數(shù)不確定性得出的失效概率偏小，而在浸潤(rùn)線位置較低時(shí)，僅考慮浸潤(rùn)線不確定性與僅考慮土體參數(shù)不確定性得出的失效概率均偏小。

4) 在涉水邊坡進(jìn)行可靠度分析時(shí)，建議綜合考慮土體參數(shù)與浸潤(rùn)線位置的不確定性。

需要指出的是，以上結(jié)論均是通過(guò)理論推演所得，考慮涉水邊坡影響因素的復(fù)雜性，未考慮非飽和土中的基質(zhì)吸力對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，對(duì)此還需今后進(jìn)一步研究。