低空超高速運(yùn)動(dòng)平臺(tái)測(cè)高算法*

張文鑫

(北京信息科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100192)

0 引 言

隨著現(xiàn)代高科技武器裝備的發(fā)展，已經(jīng)形成了以低空/超低空突防、隱身技術(shù)、電子干擾和反輻射導(dǎo)彈為主體的對(duì)雷達(dá)探測(cè)系統(tǒng)的四大威脅。其中，低空/超低空突防屬于戰(zhàn)術(shù)范疇，與其他三者相比，在實(shí)戰(zhàn)中靈活性更強(qiáng)，威脅更大，對(duì)抗難度更高。由于雷達(dá)探測(cè)技術(shù)的不斷提高，高空飛行極其容易被偵測(cè)，因此越來(lái)越多的國(guó)家將低空和超低空飛行作為突防的重點(diǎn)手段。一般將飛行高度為1 000 m以內(nèi)稱為低空飛行，10～300 m稱為超低空飛行。由于飛行速度極快，因此低空和超低空飛行需要準(zhǔn)確的實(shí)時(shí)高度信息[1-2]。

雷達(dá)高度表是一種主動(dòng)的遙感設(shè)備，最初用于測(cè)量地面上空的飛行器高度，后來(lái)逐漸擴(kuò)展到其他方面如控制投彈、低空導(dǎo)航和地形回避等應(yīng)用。由于調(diào)頻連續(xù)波(Frequency Modulated Continuous Wave,FMCW)雷達(dá)具有發(fā)射功率低、接收機(jī)靈敏度較高、距離分辨力高且沒(méi)有盲區(qū)、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，軍用雷達(dá)高度表大多采用FMCW體制的雷達(dá)，但傳統(tǒng)的FMCW雷達(dá)會(huì)受到多普勒徙動(dòng)和距離徙動(dòng)[3-4]的影響。

近年來(lái)，隨著低空高速打擊備受各國(guó)重視，高速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的測(cè)距測(cè)速問(wèn)題顯得尤為重要。為得到更精確的目標(biāo)定位效果，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了一些檢測(cè)算法，如Keystone變換[5]、RFT變換[6]、Hough變換[7]、FRFT的時(shí)頻分析法[8-9]、長(zhǎng)相干積分法[10-12]、慣導(dǎo)補(bǔ)償法[13]、縮放逆傅里葉變換[14]等。

經(jīng)過(guò)幾十年的研究，超高速目標(biāo)雷達(dá)檢測(cè)方法取得了較大進(jìn)展，但是仍然存在一些問(wèn)題[15]：一是已有算法只考慮一些常見(jiàn)的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)模型，如勻速直線運(yùn)動(dòng)模型和勻加速直線運(yùn)動(dòng)模型，但實(shí)際目標(biāo)運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，需要建立更加普適的回波模型；二是算法工程化實(shí)現(xiàn)，高速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)要求較少的計(jì)算量和較高的實(shí)時(shí)性；三是多目標(biāo)超高速運(yùn)動(dòng)檢測(cè)問(wèn)題，現(xiàn)階段的算法更多是針對(duì)單一目標(biāo)的研究。針對(duì)低空超高速運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的高度測(cè)量，同樣存在上述問(wèn)題。為此，本文提出一種脈沖頻移調(diào)頻(Pulse Frequency Modulated Shift Keying，PFMSK)調(diào)制波形來(lái)適用于多種運(yùn)動(dòng)模型，結(jié)合自適應(yīng)移位能量歸一化變換(Shift Normalized Energy Transform，SNET) 算法可以大大減小計(jì)算量，提高算法的實(shí)時(shí)性。

1 信號(hào)模型

1.1 FMCW信號(hào)模型

FMCW體制雷達(dá)發(fā)射的上掃頻信號(hào)可以表示為

vT(t)=exp[j(2πf0t+πBt2/T+φ0)]，0≤t

(1)

式中：f0為發(fā)射信號(hào)掃頻起始頻率，B為發(fā)射信號(hào)掃頻帶寬，T為掃頻周期，φ0為初始相位。其調(diào)頻斜率為K=B/T。距離為r處的目標(biāo)的回波信號(hào)可以表示為

vR(t)=exp{j[2πf0(t-td(t))+πB(t-td(t))2/T+φ0] }，
td≤t

(2)

v1(t)=exp{j[2πf0td(t)+2πKtd(t)t-πKtd(t)2] } 。

(3)

忽略延時(shí)高次項(xiàng)πBtd(t)2/T，可得

v1(t)=exp{j[2π(2f0R1/c+2KR1/c·t+2f0V(t)/c+2KV(t)t/c)] } 。

(4)

式(4)中包含時(shí)間的零次項(xiàng)、一次項(xiàng)和高次項(xiàng)，其中零次項(xiàng)為相位固定相位，不影響頻率；一次項(xiàng)中包含距離和速度引起的中頻信號(hào)頻率，成為距離速度耦合現(xiàn)象；當(dāng)速度較小時(shí)，高次項(xiàng)可以忽略，但是當(dāng)速度較大時(shí)，忽略高次項(xiàng)會(huì)引入誤差。對(duì)中頻信號(hào)的相位求導(dǎo)得到上掃頻的中頻信號(hào)時(shí)頻分布為

(5)

v2(t)=exp{j[2π(2f1R2/c-2KR2/c·t+2f1V(t)/c-2KV(t)t/c)] } 。

(6)

式中：f1=f0+B，t∈[T,2T]。下掃頻中頻信號(hào)的時(shí)頻分布為

(7)

基于三角波FMCW體制的雷達(dá)測(cè)距測(cè)速算法，假設(shè)目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且速度比較小，v(t)=v，則V(t)=v·t，R2=R1，并忽略發(fā)射信號(hào)起始頻率差和中頻信號(hào)中時(shí)間的高次項(xiàng)，距離和速度的估計(jì)值分別為

(8)

(9)

通過(guò)式(5)和式(7)可知，當(dāng)滿足上述假設(shè)時(shí)，式(8)和式(9)計(jì)算得到的距離和速度幾乎與理論的距離和速度相等，但是當(dāng)運(yùn)動(dòng)速度很大且不是勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，發(fā)射信號(hào)起始頻率差和中頻信號(hào)中時(shí)間的高次項(xiàng)不能忽略。

F1(t)+F2(t)=2KR1/c+2KR2/c+

d[2f0V(t)/c+2KV(t)t/c]/dt}|t∈[0,T]-

d[2f1V(t)/c-2KV(t)t/c]/dt|t∈[T,2T]，

(10)

F1(t)-F2(t)=2KR1/c-2KR2/c+

d[2f0V(t)/c+2KV(t)t/c]/dt}|t∈[0,T]+

d[2f1V(t)/c-2KV(t)t/c]/dt|t∈[T,2T]。

(11)

當(dāng)速度較大時(shí)，得到的距離估計(jì)值誤差較大，當(dāng)帶寬載頻比較大時(shí)速度估計(jì)誤差較大。實(shí)際情況下目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型可能非常復(fù)雜，不能假設(shè)為簡(jiǎn)單的勻速或者勻加速來(lái)建立模型。實(shí)際計(jì)算時(shí)，利用傅里葉變換將時(shí)域信號(hào)變換到頻域，沒(méi)有時(shí)間分辨率，因此很難得到準(zhǔn)確的上掃頻和下掃頻的時(shí)頻函數(shù)，得到的只是在掃描周期內(nèi)信號(hào)各頻率成分的加權(quán)。

1.2 PFMSK波形設(shè)計(jì)

本節(jié)基于1.1節(jié)分析的結(jié)果，提出一種分叉型的發(fā)射波形，如圖1所示。其中T1段為上掃頻，T2段為固定頻點(diǎn)，T3段為下掃頻，三段信號(hào)相互交叉周期更迭，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)方案可以利用射頻開(kāi)關(guān)進(jìn)行切換。

圖1 PFMSK體制發(fā)射波形

從時(shí)頻圖上看，波形類似于FSK波形，且被分為了多個(gè)脈沖，因此本文將這種分叉型的發(fā)射波形稱為脈沖頻移調(diào)頻體制。其中，T1上掃頻發(fā)射信號(hào)模型為

vT1(t)=exp[j(2πf0t+πBt2/T+φ1)]，0≤t

(12)

中頻信號(hào)為

v1(t)=exp{j[2π(2f0R1/c+2KR1/c·t+2f0V(t)/c+2KV(t)t/c)] } ，

(13)

vT2(t)=exp[j(2πf0t+φ2)]，0≤t

(14)

中頻信號(hào)為

v2(t)=exp{j[2π(2f0R1/c+2f0V(t)/c)] } 。

(15)

T3下掃頻發(fā)射信號(hào)模型為

vT3(t)=exp[j(2πf0t-πBt2/T+φ3)]，0≤t

(16)

中頻信號(hào)為

v3(t)=exp{j[2π(2f0R1/c-2KR1/c·t+2f0V(t)/c-2KV(t)t/c)] } 。

(17)

由于三段信號(hào)的時(shí)間區(qū)間都屬于[0,T]，利用T2時(shí)間段的中頻信號(hào)與T1和T3時(shí)間段的中頻信號(hào)進(jìn)行混頻：

(18)

利用倒譜原理可以提取T2時(shí)間段中頻信號(hào)除去初始相位的相位時(shí)變函數(shù)：

φ(t)=ln(v2(t))=4πf0V(t)/c 。

(19)

對(duì)得到的相位時(shí)變函數(shù)進(jìn)行一定變換：

φ(t)=φ(t)·Kt/f0=4πKV(t)t/c 。

(20)

構(gòu)建誤差補(bǔ)償信號(hào):

vv=exp{j[φ(t)] }=exp{j[4πKV(t)t/c] } 。

(21)

利用構(gòu)建的誤差補(bǔ)償信號(hào)和式(18)進(jìn)行混頻得到校正信號(hào)

(22)

因此可以通過(guò)已有的頻譜分析算法，如CZT、ZFFT等算法對(duì)上式的頻率進(jìn)行估計(jì)，計(jì)算得到中頻信號(hào)頻率再對(duì)距離進(jìn)行估計(jì)，但是由于飛行速度極快，因此對(duì)計(jì)算的實(shí)時(shí)性要求較高。本文提出一種自適應(yīng)的頻率估計(jì)算法。

2 自適應(yīng)測(cè)距算法實(shí)現(xiàn)

根據(jù)上一節(jié)的分析可知，對(duì)目標(biāo)精確的測(cè)距就是對(duì)信號(hào)s1和s2的精確頻率估計(jì)，現(xiàn)有的譜估計(jì)算法所需計(jì)算量較大，而高速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)測(cè)距要求實(shí)時(shí)性很高。為了進(jìn)一步減少運(yùn)算量，并滿足更高的精度要求，本節(jié)提出基于帕塞瓦爾(Parseval)能量守恒定理自適應(yīng)的頻率估計(jì)方法，并稱之為移位能量歸一化變換。

2.1 帕塞瓦爾定理

已知序列x(n)的長(zhǎng)度為N，其離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)為

(23)

則有帕塞瓦爾能量守恒定理：

(24)

DFT具有移位性質(zhì)：

(25)

由式(23)～(25)可以推導(dǎo)出

(26)

式(26)為一恒等式，且等于常數(shù)C，C為序列x(n)的能量和。

2.2 移位歸一化變換

假設(shè)采樣率為Fs且滿足采樣定理，采樣點(diǎn)數(shù)為N，則其頻率分辨力為Fs/N。對(duì)式(22)離散化：

v(n)=exp{j[2π(2BR1n/c/N)] }，0≤n

(27)

對(duì)v(n)做單邊離散傅里葉變換：

(28)

其DFT譜和離散時(shí)間傅里葉變換(Discrete Time Fourier Transform,DTFT)譜如圖2所示。由圖2可以看出,DFT是對(duì)DTFT的離散采樣，當(dāng)中頻信號(hào)頻率不為頻率分辨率Fs/N的整數(shù)倍時(shí)，中頻信號(hào)的DFT-DTFT圖如圖2(a)所示;利用式(25)將中頻信號(hào)頻譜向右進(jìn)行移位，當(dāng)移位后信號(hào)的DFT頻譜峰值點(diǎn)進(jìn)行交替，對(duì)應(yīng)的頻率F1為Fs/N的整數(shù)倍加Fs/2/N，可以表示為F1=(M+1/2)·Fs/N，如圖2(b)所示;繼續(xù)將中頻信號(hào)的頻譜向右進(jìn)行移位，當(dāng)DFT的峰值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率F2為Fs/N的整數(shù)倍，可以表示為F2=M·Fs/N，M為整數(shù)，其峰值點(diǎn)的幅值達(dá)到最大，如圖2(c)所示。

(a)非特殊頻率

(b)頻率分辨率(N+0.5)倍

(c)頻率分辨率N倍圖2 中頻信號(hào)的移位DFT和DTFT

(29)

圖2(b)對(duì)應(yīng)的歸一化能量最大，因?yàn)閳D2(b)處于峰值交替位置，其|X(km)|最??；而圖2(c)對(duì)應(yīng)的峰值幅度最大，因此歸一化能量最小。移位后單周期內(nèi)歸一化能量如圖3所示。

圖3 中頻信號(hào)的移位歸一化能量圖

中頻信號(hào)的移位歸一化能量在相鄰頻率點(diǎn)之間呈現(xiàn)周期性的變化，且在頻率點(diǎn)左右的半周期內(nèi)歸一化能量是凹函數(shù)，因此可以通過(guò)歸一化能量找出特征點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率。

方法1：找出歸一化后能量最大值A(chǔ)點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)于圖2(b)，求出移位后頻率F1，則F1=(M+1/2)·Fs/N，N為采樣點(diǎn)數(shù)，M為移位前峰值對(duì)應(yīng)的Fs/N整數(shù)倍頻率位置，在進(jìn)行反向推演即可求出移位前的中頻信號(hào)頻率。假設(shè)頻譜移動(dòng)的頻率為delta，則有F1=f+delta，其中f為中頻信號(hào)頻率，則f=(M-1/2)·Fs/N-delta。

方法2： 也可以找出移位后歸一化能量最小值B點(diǎn)，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)于圖3(c)，求出移位后頻率F2，則F2=M·Fs/N，N為采樣點(diǎn)數(shù)，M為移位后峰值對(duì)應(yīng)的Fs/N整數(shù)倍頻率位置，再進(jìn)行反向推演即可求出移位前的中頻信號(hào)頻率。假設(shè)頻譜移動(dòng)的頻率為delta，則有F2=f+delta，其中f為中頻信號(hào)頻率，則f=M·Fs/N-delta。

從歸一化后能量分布可以看出，B點(diǎn)附近能量值漸變，A點(diǎn)是一個(gè)奇異點(diǎn)，因此當(dāng)有噪聲影響時(shí)，B點(diǎn)能量由于極值點(diǎn)相差不大，更容易受噪聲影響而導(dǎo)致極值點(diǎn)提取錯(cuò)誤，因此利用A點(diǎn)正確計(jì)算頻率的可靠性更高。

2.3 自適應(yīng)高度跟蹤

為了減少計(jì)算量，最好從A點(diǎn)附近開(kāi)始，先通過(guò)已有算法，如能量重心法，對(duì)頻率進(jìn)行一次估計(jì)，然后利用DFT的移位性質(zhì)將頻譜移動(dòng)到A點(diǎn)附近，再利用上述SNET算法對(duì)頻率進(jìn)行進(jìn)一步估計(jì)。由于能量重心法需要快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)計(jì)算，因此需要的復(fù)數(shù)乘法較多，而在高速飛行過(guò)程中，每增加一定的運(yùn)算量都有可能得不到準(zhǔn)確的實(shí)時(shí)距離值。由式(19)可知

(30)

利用T2時(shí)間段內(nèi)回波的相位差計(jì)算一個(gè)掃頻周期內(nèi)飛行器距離的變化值ΔR(t)，假設(shè)準(zhǔn)確計(jì)算出第n個(gè)周期位置處的距離值Rn，則可以估計(jì)第n+1周期起始位置的距離值

Rn+1=Rn+ΔR(t) 。

(31)

因此可以利用上式估計(jì)下一個(gè)周期起始位置的距離值，利用DFT的移位性質(zhì)可將中頻信號(hào)頻譜移動(dòng)到圖3中的A點(diǎn)附近，根據(jù)系統(tǒng)要求的測(cè)距精度設(shè)置合適的門限值。

(32)

本算法執(zhí)行過(guò)程中所需運(yùn)算量大小主要體現(xiàn)在傅里葉變換復(fù)數(shù)運(yùn)算上。由于復(fù)數(shù)乘法比復(fù)數(shù)加法需要4倍的運(yùn)算時(shí)間，因此，本文分析運(yùn)算量只考慮復(fù)數(shù)乘法。利用DFT移位性質(zhì)可知，

(33)

3 算法仿真

根據(jù)上述對(duì)超高速運(yùn)動(dòng)平臺(tái)發(fā)射波形的設(shè)計(jì)和算法分析，本節(jié)利用Matlab軟件對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)建模。仿真中采用C頻段雷達(dá)系統(tǒng)，起始頻率為4 GHz，帶寬為100 MHz，掃頻周期為1 ms，采樣率為2 MHz；飛行器飛行起始高度為193 m，飛行速度為3Ma(1Ma=340 m/s)，飛行方向往上飛，且加速度為340 m/s2；中頻信號(hào)信噪比為5 dB。同時(shí)利用傳統(tǒng)FMCW體制和本文提出的PFMSK體制雷達(dá)，對(duì)比兩種體制下測(cè)距誤差。假設(shè)系統(tǒng)要求的測(cè)距精度為系統(tǒng)分辨率的1/25，傳統(tǒng)FMCW體制使用CZT算法測(cè)高，細(xì)化倍數(shù)為25倍，仿真測(cè)距誤差如圖4所示。通過(guò)門限計(jì)算方法得到PFMSK體制所需要的門限值為1+24/26，仿真測(cè)距誤差如圖5所示。

圖4 FMCW測(cè)高誤差

圖5 PFMSK測(cè)高誤差

根據(jù)上述參數(shù)設(shè)置，雷達(dá)系統(tǒng)的分辨率為1.5 m，系統(tǒng)要求的測(cè)距精度為6 cm。利用FMCW體制雷達(dá)測(cè)距誤差為0.5～0.7，且呈一定上升趨勢(shì)。造成這種誤差的原因主要是FMCW體制雷達(dá)測(cè)距算法中認(rèn)為目標(biāo)是做勻速運(yùn)動(dòng)且在掃頻周期內(nèi)目標(biāo)距離幾乎不變，但是實(shí)際在超高速運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上目標(biāo)速度很快，導(dǎo)致在掃頻周期內(nèi)目標(biāo)距離在逐漸變化，且此變化不能被忽略，同時(shí)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)存在一定加速度，在每一次測(cè)距周期內(nèi)速度都不恒定，導(dǎo)致了誤差出現(xiàn)一定斜率且往上偏移，這就是多普勒徙動(dòng)和距離徙動(dòng)。

計(jì)算仿真所產(chǎn)生的1 000組數(shù)據(jù)，利用Matlab記錄算法運(yùn)行時(shí)間，本文所提算法耗時(shí)1.1 s，CZT算法耗時(shí)1.7 s，因此本文所提算法效率比傳統(tǒng)頻譜細(xì)化算法更高。

本文所提出的PFMSK算法同時(shí)考慮了目標(biāo)的速度加速度對(duì)測(cè)距結(jié)果的影響，通過(guò)回波本身的特性進(jìn)行了補(bǔ)償和抵消，采用實(shí)時(shí)高度跟蹤法只計(jì)算對(duì)應(yīng)距離頻譜值，大大減小了計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間，同時(shí)具有較高的測(cè)距精度，可以滿足高速運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的實(shí)時(shí)測(cè)高應(yīng)用。

4 結(jié) 論

本文主要研究低空超高速運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的測(cè)高算法，分析了已有FMCW體制雷達(dá)在高速運(yùn)動(dòng)平臺(tái)測(cè)高的不足，提出了一種新的調(diào)制發(fā)射波形，本文將其命名為脈沖頻移調(diào)頻體制。針對(duì)復(fù)雜地面模型，利用中頻混頻技術(shù)補(bǔ)償高速多普勒頻移具有一定普適性,提出一種SNET的自適應(yīng)測(cè)高算法。該算法不但具有較高的實(shí)時(shí)性，同時(shí)測(cè)高精度可以滿足系統(tǒng)要求。超高速條件下FMCW和PFMSK兩種體制下的測(cè)高算法的仿真對(duì)比表明，由于受加速度和速度的影響，F(xiàn)MCW誤差較大，而PFMSK誤差可以很好地控制在系統(tǒng)要求的范圍內(nèi)，驗(yàn)證了本文理論分析的正確性。