基于凸組合濾波的非線性主動(dòng)噪聲控制算法

鄧武劍，姜 黎

（湘潭大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，湖南湘潭 411100）

0 引言

近年來，隨著社會(huì)工業(yè)的發(fā)展，噪聲問題已成為一個(gè)全世界都十分關(guān)注的問題。長(zhǎng)期暴露在噪聲環(huán)境下對(duì)人的生理和心理都會(huì)造成嚴(yán)重危害［1］。因此，主動(dòng)噪聲控制（Active Noise Control，ANC）技術(shù)引發(fā)了一波研究熱潮。主動(dòng)噪聲控制是利用揚(yáng)聲器產(chǎn)生一個(gè)與噪聲源幅度相同、相位相反的聲波，通過聲波相消干涉［2］達(dá)到降噪的效果。由于濾波x 最小均方誤差算法（Filtered-x Least Mean Square，F(xiàn)xLMS）運(yùn)算量小、易于實(shí)現(xiàn)，在主動(dòng)噪聲控制中得到了廣泛應(yīng)用［3-4］。但在現(xiàn)實(shí)生活中，非線性問題無處不在，例如功率放大器、揚(yáng)聲器等都具有非線性特性［5-6］。濾波x 最小均方誤差算法是一種線性結(jié)構(gòu)，因此在處理非線性問題時(shí)性能可能有所下降。

為解決主動(dòng)降噪控制中的非線性問題，各種非線性主動(dòng)噪聲控制算法應(yīng)運(yùn)而生［7］。文獻(xiàn)［8-9］采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替線性自適應(yīng)FIR 濾波器來消除噪聲；文獻(xiàn)［10］提出非線性Volterra FxLMS（VFxLMS）算法，雖然該算法相比于Fx?LMS，性能得到了明顯提升，但其計(jì)算復(fù)雜度高，實(shí)現(xiàn)起來較為困難。FSLMS（Filtered-S Least Mean Square）算法廣泛應(yīng)用于非線性ANC 系統(tǒng)中，其將輸入信號(hào)進(jìn)行非線性拓展，運(yùn)算量明顯低于VFxLMS，且性能優(yōu)于VFxLMS，但該濾波器結(jié)構(gòu)缺乏交叉項(xiàng)（即初級(jí)噪聲中出現(xiàn)不同采樣時(shí)間信號(hào)的乘積項(xiàng)），因此性能會(huì)有所限制［11］。文獻(xiàn)［12］提出的GFLANN（Generalized Functional Link Artificial Neural Net?work）濾波結(jié)構(gòu)正好解決了缺乏交叉項(xiàng)問題。對(duì)于單個(gè)濾波結(jié)構(gòu)中的參數(shù)更新步長(zhǎng)選擇是一個(gè)難題，選擇較大步長(zhǎng)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)較大的穩(wěn)態(tài)誤差；選擇較小步長(zhǎng)時(shí)，其收斂速度會(huì)受到影響。近年來，為均衡收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差，有學(xué)者利用并行思想提出凸組合最小均方算法，其將兩個(gè)不同步長(zhǎng)的LMS 濾波器通過一個(gè)聯(lián)合參數(shù)進(jìn)行組合［13-14］。在訓(xùn)練初期，聯(lián)合參數(shù)使步長(zhǎng)較大的濾波器輸出占主導(dǎo)作用，當(dāng)接近穩(wěn)態(tài)時(shí)，則通過聯(lián)合參數(shù)控制步長(zhǎng)較小的濾波器輸出占主導(dǎo)作用，使其具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差，其中聯(lián)合參數(shù)根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則進(jìn)行迭代?；谕菇M合思想，文獻(xiàn)［15］提出FLANN 與Volterra 濾波的凸組合形式，與單個(gè)濾波結(jié)構(gòu)相比，組合結(jié)構(gòu)的降噪性能、穩(wěn)態(tài)誤差均得到了優(yōu)化。鑒于FSLMS 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，文獻(xiàn)［16］提出CNFSLMS，其將兩個(gè)FSLMS 進(jìn)行組合，采用歸一化的更新方式實(shí)現(xiàn)了快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差。由于CNFSLMS 中的聯(lián)合參數(shù)為sigmoid，其在更新過程中需要進(jìn)行復(fù)雜的指數(shù)運(yùn)算，為此，文獻(xiàn)［17］提出MCNFSLMS 算法，其用一個(gè)修正的箕舌線函數(shù)代替原有的sigmoid 函數(shù)，在減少運(yùn)算量的同時(shí)也降低了穩(wěn)態(tài)誤差。

由于MCNFSLSM 算法中沒有引入交叉項(xiàng)，且箕舌線函數(shù)需要進(jìn)行符號(hào)判斷，影響了算法性能。本文采用FSLMS與GFLANN 的凸組合形式，通過GFLANN 結(jié)構(gòu)引入交叉項(xiàng)，解決了MCNFSLMS 中缺乏交叉項(xiàng)的問題，且本文組合結(jié)構(gòu)中權(quán)重參數(shù)少于MCNFSLMS。通過構(gòu)建一個(gè)新函數(shù)代替sigmoid 函數(shù)，新函數(shù)既不需要進(jìn)行復(fù)雜的指數(shù)運(yùn)算，又無需符號(hào)判斷，從而進(jìn)一步降低了運(yùn)算量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文組合結(jié)構(gòu)相比單一結(jié)構(gòu)具有更快的收斂速度與更低的穩(wěn)態(tài)誤差，且與組合結(jié)構(gòu)MCNFSLMS 相比，本文方法在減少運(yùn)算量的同時(shí)，可獲得更好的降噪性能、更低的穩(wěn)態(tài)誤差。

1 基于FSLMS與GFLANN的凸組合算法

本文首先簡(jiǎn)述了FSLMS、GFLANN、MCNFSLMS 3 個(gè)結(jié)構(gòu)模型，給出了凸組合結(jié)構(gòu)中聯(lián)合參數(shù)λ(n)的參數(shù)更新公式，然后提出一種新的凸組合濾波形式，即FSLMS 和GFLANN 兩個(gè)自適應(yīng)濾波結(jié)構(gòu)。其通過一個(gè)聯(lián)合參數(shù)進(jìn)行控制，并且采用一個(gè)新函數(shù)代替原有sigmoid 函數(shù)。

1.1 FSLMS算法

基于函數(shù)鏈接人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的FSLMS 本質(zhì)上是一個(gè)不包括隱藏層的單層學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，其對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行函數(shù)拓展，將拓展后的輸入信號(hào)與權(quán)向量進(jìn)行線性組合。其中，典型的函數(shù)擴(kuò)展有Chebyshev 擴(kuò)展、Legendre 擴(kuò)展和三角擴(kuò)展［18］。由于三角擴(kuò)展易于實(shí)現(xiàn)，計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較低，具有很好的穩(wěn)定性且不需要幅度歸一化，因此本文采用三角函數(shù)拓展形式。其結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。

Fig.1 FSLMS structure model圖1 FSLMS結(jié)構(gòu)模型

圖1 中x(n)為參考輸入信號(hào)，d(n)為期望信號(hào)，e(n)為誤差信號(hào)，e(n)=d(n) -?(n)，?(n)=s(n)*y(n)。其中*代表卷積操作，P 代表函數(shù)展開的階數(shù)，本文中P 為3。濾波器的總輸出為y(n)，其公式如下：

其中，yi(n)=vi(n)*wi(n)，wi為每一部分的權(quán)重向量，vi為每一部分的輸入向量，其總輸入信號(hào)為V：

權(quán)重wi更新采用歸一化方式，公式如下：

1.2 GFLANN算法

由于FSLMS 存在交叉項(xiàng)問題，文獻(xiàn)［8］利用輸入樣本的延遲信號(hào)與非線性展開項(xiàng)乘積引入交叉項(xiàng)。為簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，本文在一階拓展的FSLMS 結(jié)構(gòu)中引入交叉項(xiàng)。廣義FLANN 結(jié)構(gòu)如圖2所示。

其拓展輸入信號(hào)公式如下：

Fig.2 Generalized FLANN structure圖2 廣義FLANN結(jié)構(gòu)

在一階FLANN 中，M=3+2Nd，其中1 ≤Nd≤N-1，N 代表每個(gè)輸入向量的記憶長(zhǎng)度。一般為減少計(jì)算量，需要控制輸入信號(hào)延遲項(xiàng)與非線性三角函數(shù)項(xiàng)的乘積信號(hào)，即交叉項(xiàng)數(shù)目，本文中Nd取值為2。在該結(jié)構(gòu)中，權(quán)重更新公式如下：

1.3 MCNFSLSM 算法

MCNFSLMS 是將兩個(gè)FSLMS 結(jié)構(gòu)進(jìn)行組合，其組合結(jié)構(gòu)如圖3（a）所示，凸組合結(jié)構(gòu)中各自濾波器的輸出y1、y2經(jīng)過一個(gè)聯(lián)合參數(shù)λ(n)的組合變?yōu)閥(n)，經(jīng)過次級(jí)路徑之后，成為在誤差麥克風(fēng)處所得到的?(n)。其公式如下：

在圖3（a）中，W1、W2分別代表相應(yīng)權(quán)重向量，W1、W2按照各自的誤差e1(n)、e2(n)進(jìn)行更新，聯(lián)合參數(shù)λ(n)為sigmoid 函數(shù)，如式（7）所示。其中，e(n)為整個(gè)結(jié)構(gòu)的總誤差，具體公式如式（8）所示。

該算法的關(guān)鍵在于通過調(diào)整聯(lián)合參數(shù)λ(n)來協(xié)調(diào)兩個(gè)濾波器的混合程度，從式（7）可知a(n)的取值決定了λ(n)的值。a(n)采用最陡下降法更新準(zhǔn)則，使得整個(gè)自適應(yīng)濾波器的總誤差ξ(n)最小［19］。

Fig.3 Schematic diagram of algorithm圖3 算法示意圖

其中，?ξ(n)代表梯度算子，具體公式如下：

為進(jìn)一步優(yōu)化算法性能，采用歸一化方式進(jìn)行更新。參數(shù)a(n)的更新公式如下：

其中，ua是a(n)的更新步長(zhǎng)，δ1是為避免分母為零而設(shè)置的大于零的修正因子。r(n)為一個(gè)低通濾波器的估計(jì)值，用其表示[e1(n) -e2(n)]2，具體公式如下：

其中，β的值接近于1，在本文中β值為0.98。由于sig?moid 函數(shù)中需要進(jìn)行復(fù)雜的指數(shù)運(yùn)算，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，MC?NFSLMS 采用一個(gè)修正的箕舌線函數(shù)代替sigmoid。具體公式如式（14）所示，其中參數(shù)B用來調(diào)節(jié)曲線形狀。

1.4 凸組合算法

由于MCNFSLMS 中沒有解決交叉項(xiàng)問題，且凸組合形式的濾波結(jié)構(gòu)比單個(gè)非線性濾波的性能更好，因此本文將FSLMS與GFLANN 兩個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行聯(lián)合，通過GFLANN 引入交叉項(xiàng)，該結(jié)構(gòu)采用輸入樣本的延遲信號(hào)與非線性拓展乘積作為交叉項(xiàng)。其組合結(jié)構(gòu)如圖3（b）圖所示。在自適應(yīng)更新過程中，由于sigmoid 函數(shù)中存在復(fù)雜的指數(shù)運(yùn)算，提高了運(yùn)算量，不利于充分發(fā)揮凸組合的優(yōu)勢(shì)。為減少計(jì)算量，采用一個(gè)新函數(shù)代替sigmoid 函數(shù)，既不需要進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，也不需要像MCNFSLMS 一樣進(jìn)行符號(hào)判斷，具體公式如下：

其中，參數(shù)A用來控制λ(n)的上下幅度，參數(shù)B控制曲線坡陡度。當(dāng)聯(lián)合參數(shù)λ(n)接近于1 時(shí)，y(n)=y1(n)，相當(dāng)于只有第一個(gè)濾波器在工作；相反，當(dāng)λ(n)接近于0時(shí)，y(n)=y2(n)，相當(dāng)于只有第二個(gè)濾波器在工作，從而失去了凸組合濾波結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)，因此要減少聯(lián)合參數(shù)在上下邊界的時(shí)間。參數(shù)A、B取不同值的曲線如圖4 所示（彩圖掃OSID 碼可見，下同）。虛線為本文所采用的函數(shù)，參數(shù)A=4.1，B=17。與sigmoid 曲線相比，本文提出的函數(shù)曲線更加平緩，減少了聯(lián)合參數(shù)在上下邊界的時(shí)間，且當(dāng)a(n)大于0 時(shí)，意味在訓(xùn)練初期階段，第一個(gè)濾波器結(jié)構(gòu)占主導(dǎo)作用，虛線曲線值均略大于sigmoid 函數(shù)值，且在訓(xùn)練初期具有更快的收斂速度。與此相反，當(dāng)a(n)小于0時(shí)，第二個(gè)濾波器結(jié)構(gòu)占主導(dǎo)作用，虛線曲線值均小于sig?moid 函數(shù)值，表明其接近穩(wěn)態(tài)時(shí)，具有更低的穩(wěn)態(tài)誤差。因此，本文提出的函數(shù)可更好地發(fā)揮出凸組合算法的優(yōu)勢(shì)。

Fig.4 Curve of different values of parameter A and B圖4 參數(shù)A、B取不同值時(shí)的曲線

2 仿真分析

為驗(yàn)證本文所提出算法的性能，將兩個(gè)不同步長(zhǎng)的FSLMS（FSLMS1 和FSLMS2）、GFLANN、MCNFSLMS 以及本文所提出的濾波結(jié)構(gòu)，在3 個(gè)不同的非線性條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，每個(gè)實(shí)驗(yàn)都進(jìn)行500 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，并根據(jù)均方誤差（Mean-Squared Error，MSE）進(jìn)行性能比較［20］。在以下實(shí)驗(yàn)中，F(xiàn)SLMS 濾波結(jié)構(gòu)中的拓展項(xiàng)P=3，GFLANN 濾波結(jié)構(gòu)中的拓展項(xiàng)P=1，Nd=2，輸入信號(hào)的記憶長(zhǎng)度為10。a(n)中的更新步長(zhǎng)ua=17，δ1設(shè)置為0.002。u1、u2分別表示FSLMS1 和FSLMS2 中的權(quán)重更新步長(zhǎng)，GFLANN 結(jié)構(gòu)中線性部分的步長(zhǎng)為u31，拓展項(xiàng)部分的步長(zhǎng)為u32，交叉項(xiàng)部分的步長(zhǎng)為u33。其中，MCNFSLMS 中兩個(gè)FSLMS 濾波結(jié)構(gòu)的權(quán)重更新步長(zhǎng)與u1、u2保持一致，而本文提出的組合結(jié)構(gòu)中，其參數(shù)更新步長(zhǎng)與FSLMS1和GFLANN 保持一致。

2.1 實(shí)驗(yàn)一

在該實(shí)驗(yàn)中，參考信號(hào)x(n)為均勻分布在［-0.8，0.8］的隨機(jī)噪聲，其中初級(jí)通道和次級(jí)通道用Volterra 模型［12］表示，其脈沖響應(yīng)分別如式（16）、式（17）所示。

u1、u2分別為0.8、0.1，u31=0.1，u32=0.005，u33=0.1。該實(shí)驗(yàn)下各個(gè)算法的均方誤差曲線以及所提出組合結(jié)構(gòu)中新聯(lián)合參數(shù)λ(n)的變化曲線如圖5所示。

Fig.5 MSE curve and joint parameter variation curve圖5 MSE曲線以及聯(lián)合參數(shù)變換曲線

從圖5 上圖中可以得知，MCNFSLMS 算法優(yōu)于FSLMS1 和FSLMS2，其原因是使用了凸組合結(jié)構(gòu)來均衡穩(wěn)態(tài)誤差與收斂速度之間的關(guān)系。而在本文提出的組合結(jié)構(gòu)中，通過一個(gè)GFLANN 結(jié)構(gòu)引入交叉項(xiàng)，與MCNFSLMS相比，降噪性能提高了2dB。

2.2 實(shí)驗(yàn)二

在該實(shí)驗(yàn)中，參考信號(hào)為均勻分布在［-0.5，0.5］的隨機(jī)噪聲，初級(jí)通道的脈沖響應(yīng)為式（18）：

其中，d1(n)如式（16）所示，u1=0.5，u2=0.05，u31=u32=u33=0.05，其余條件與實(shí)驗(yàn)一保持一致。該實(shí)驗(yàn)下的均方誤差曲線以及新聯(lián)合參數(shù)λ(n)的變化曲線如圖6所示。

Fig.6 MSE curve and joint parameter variation curve圖6 MSE曲線以及聯(lián)合參數(shù)變換曲線

從圖6 上圖可知，在5 000 個(gè)采樣點(diǎn)的迭代下，本文方法在均方誤差上可達(dá)到-18dB，與MCNFSLMS 相比有1dB的提升，且在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差上均為最優(yōu)。驗(yàn)證了即使是在更復(fù)雜的非線性環(huán)境中，該組合結(jié)構(gòu)的性能也是最佳。

2.3 實(shí)驗(yàn)三

該實(shí)驗(yàn)中所采用的參考信號(hào)與初級(jí)路徑及實(shí)驗(yàn)二一致，其誤差麥克風(fēng)檢測(cè)到來自于次級(jí)路徑的噪聲如式（19）所示。

其中，w(n)=tanh（y（n）），該模型反映了功率放大器和揚(yáng)聲器中的非線性特性。設(shè)置各部分濾波器參數(shù)的更新步長(zhǎng)為u1=0.5，u2=0.05，u31=0.1，u32=0.005，u33=0.2。其均方誤差曲線以及新聯(lián)合參數(shù)λ(n)的變化曲線如圖7所示。

Fig.7 MSE curve and joint parameter variation curve圖7 MSE曲線以及聯(lián)合參數(shù)變換曲線

如圖7 上圖所示，在5 000 個(gè)采樣點(diǎn)的迭代下，本文提出的組合結(jié)構(gòu)在降噪性能上得到了明顯改善。本文方法在均方誤差上可達(dá)到-19.8dB，與MCNFSLMS 相比提高了4dB。其中，GFLANN 的降噪性能優(yōu)于MCNFSLMS 是因?yàn)槠湟肓私徊骓?xiàng)，然而其前期收斂速度較慢，通過使用本文提出的組合結(jié)構(gòu)可解決收斂速度慢的問題，且相比于其它結(jié)構(gòu)，本文提出的結(jié)構(gòu)具有更小的穩(wěn)態(tài)誤差。

在本文實(shí)驗(yàn)條件下，F(xiàn)SLMS、GFLANN、MCNFSLMS 以及本文提出的算法中，其權(quán)重參數(shù)個(gè)數(shù)分別為70、64、140、134。盡管凸組合結(jié)構(gòu)的參數(shù)量大于單個(gè)濾波結(jié)構(gòu)，但在3種不同的實(shí)驗(yàn)條件下，均驗(yàn)證了凸組合的濾波結(jié)構(gòu)平衡了穩(wěn)態(tài)誤差與收斂速度之間的關(guān)系，相比單個(gè)濾波結(jié)構(gòu)具有更好的效果。而且與MCNFSLMS 凸組合結(jié)構(gòu)相比，本文提出的組合結(jié)構(gòu)運(yùn)算量更小、降噪效果更好，主要?dú)w因于兩點(diǎn)：①將不同延遲的交叉項(xiàng)引入非線性結(jié)構(gòu)中，可更好地解決主動(dòng)降噪控制結(jié)構(gòu)中由于缺乏交叉項(xiàng)而產(chǎn)生的負(fù)面影響；②組合結(jié)構(gòu)中所使用的聯(lián)合參數(shù)無需進(jìn)行符號(hào)判斷，運(yùn)算量更小，且更加平緩，在加快收斂速度的同時(shí)降低了穩(wěn)態(tài)誤差。綜上所述，本文方法能夠顯著提高非線性凸組合濾波在主動(dòng)降噪中的性能。

3 結(jié)語

本文提出一種基于FSLMS 與廣義函數(shù)鏈接人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GFLANN）的凸組合算法，且利用一個(gè)新函數(shù)代替原有的sigmoid 函數(shù)作為聯(lián)合參數(shù)λ(n)，通過自適應(yīng)方式調(diào)節(jié)不同濾波器在整個(gè)控制系統(tǒng)中的作用。在不同非線性條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，驗(yàn)證了凸組合結(jié)構(gòu)比單個(gè)濾波結(jié)構(gòu)具有更好的性能，且與凸組合結(jié)構(gòu)MCNFSLMS 相比，本文方法在減少運(yùn)算量的同時(shí)，具有更好的降噪性能、更低的穩(wěn)態(tài)誤差。在今后的研究中，將進(jìn)一步提高算法在非線性實(shí)際場(chǎng)景中的效率。