數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略探究

王海霞

(甘肅省慶陽(yáng)市寧縣寧江初級(jí)中學(xué) 甘肅 寧縣 745200)

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想中應(yīng)用率最高的思想之一，同時(shí)也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)作業(yè)過(guò)程中不可獲缺的因素，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)組織與落實(shí)過(guò)程中，如何更好的將數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行有效應(yīng)用適當(dāng)前教師關(guān)注的重點(diǎn)問(wèn)題之一。數(shù)形結(jié)合思想是通過(guò)數(shù)、形之間的關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，借助數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，不僅能夠降低題目的難度，而且也能夠拓展學(xué)生思路，通過(guò)數(shù)學(xué)思想的滲透打造不同的數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)平臺(tái)，提高初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)綜合質(zhì)量。

1.數(shù)形結(jié)合思想的含義

所謂數(shù)形結(jié)合就是將數(shù)學(xué)中的抽象的數(shù)量關(guān)系通過(guò)具體、直觀的圖像呈現(xiàn)出來(lái)，大體上可以理解為以形助數(shù)和以數(shù)輔形兩個(gè)方面。顧名思義，就是借助圖形、圖像的關(guān)系來(lái)明確具體的數(shù)學(xué)信息，同時(shí)又通過(guò)信息來(lái)輔助理解圖像的內(nèi)容，總而言之就是借助抽象思維與形象思維相結(jié)合的方式，將數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化、清晰化，從而更加深入的挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)涵與育人功效，從而更進(jìn)一步推動(dòng)初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)綜合質(zhì)量的提升與發(fā)展。

2.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的意義分析

2.1 新課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)與滲透作為數(shù)學(xué)學(xué)科活動(dòng)的重要目標(biāo)，華羅庚先生也曾經(jīng)多數(shù)形結(jié)合思想的作用進(jìn)行了非常形象的闡述，更加體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性。

2.2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求數(shù)學(xué)教學(xué)中必須關(guān)注數(shù)學(xué)思想的重要性，借助數(shù)形結(jié)合思想能夠有效培養(yǎng)學(xué)生將抽象的題目轉(zhuǎn)化為圖像的能力，同時(shí)又能夠從圖像中獲得更多的信息，通過(guò)屬于形之間的轉(zhuǎn)化，有效拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的綜合質(zhì)量。

3.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略分析

3.1 課堂貫穿，數(shù)形呈現(xiàn)魅力。數(shù)形結(jié)合思想的滲透首先要滲透于課堂教學(xué)過(guò)程中，雙減政策落實(shí)之后，教育回歸成為一種趨勢(shì)，課堂的高效與否成為教師關(guān)注的重要問(wèn)題之一，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用能夠拓展課堂教學(xué)思路，從原本的單一講解課堂中脫離出來(lái)，巧妙借助數(shù)與形之間的關(guān)系，達(dá)到高效學(xué)習(xí)、高效解題的目的。

3.1.1 預(yù)習(xí)為先。數(shù)形結(jié)合思想貫穿課堂要從課堂預(yù)習(xí)、教學(xué)環(huán)節(jié)等環(huán)節(jié)入手，巧妙借助數(shù)形結(jié)合思想打造高效學(xué)習(xí)活動(dòng)平臺(tái)，推動(dòng)學(xué)生綜合質(zhì)量的提升。首先，在課堂預(yù)習(xí)階段，教師可以采用導(dǎo)學(xué)案、前置性作業(yè)等方式，將一些重難點(diǎn)內(nèi)容，通過(guò)具體的思維導(dǎo)圖或者其他圖片的形式展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生能夠更加明確本堂課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，然后帶著問(wèn)題投入到教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)讓學(xué)生能夠初步了解當(dāng)堂課程所學(xué)的問(wèn)題，帶著問(wèn)題進(jìn)課堂，從而提升學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量。同時(shí)通過(guò)預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)也能夠讓學(xué)生了解相似知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，從而建立起完善的知識(shí)體系，帶動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的提升與發(fā)展。

例如在反比例函數(shù)性質(zhì)的預(yù)習(xí)活動(dòng)中，教師通過(guò)正比例函數(shù)圖像的復(fù)習(xí)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合正比例函數(shù)學(xué)習(xí)的過(guò)程，建立起反比例函數(shù)學(xué)習(xí)的思維方式；在復(fù)習(xí)過(guò)程中，還可以以往函數(shù)相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行綜合的整理。

·函數(shù)的概念：通過(guò)概念的復(fù)習(xí)，學(xué)生能夠通過(guò)回想再次加深對(duì)函數(shù)內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)。

·一次函數(shù)的解析式，什么樣的特殊情況下一次函數(shù)又是正比例函數(shù)。

·正比例函數(shù)

解析式：y=kx+b(k≠0)

圖象與象限：此部分內(nèi)容分為k>0以及k<0兩種情況，當(dāng)k>0時(shí)圖像是什么走向，k<0時(shí)圖像又是什么走向。(畫圖分析)

函數(shù)的性質(zhì)：此部分也分為兩種情況，k>0以及k<0，按照不同的類別分析，k的情況與函數(shù)變化之間的關(guān)系。(圖像結(jié)合典型的例題進(jìn)行分析)

·反比例函數(shù)

什么是反比例函數(shù)？

……

如此，通過(guò)在課堂預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)，通過(guò)系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，從函數(shù)、一次函數(shù)、正比例函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，逐漸引申到反比例函數(shù)的自主預(yù)習(xí)活動(dòng)中，借助數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的過(guò)程，讓學(xué)生能夠初步建立反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)思路。

3.1.2 課堂主導(dǎo)。課堂教學(xué)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的關(guān)鍵，也是滲透數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。在小學(xué)的數(shù)學(xué)課堂上其實(shí)就已經(jīng)開(kāi)始滲透數(shù)形結(jié)合的思想，比如和差倍問(wèn)題、追及問(wèn)題等，通過(guò)分析簡(jiǎn)化題目的過(guò)程，將題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過(guò)圖像的關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)，在分析圖像中的隱藏?cái)?shù)量關(guān)系，從而找到解決問(wèn)題的思路。那么隨著初中數(shù)學(xué)探究問(wèn)題的逐漸復(fù)雜，在課堂上數(shù)形結(jié)合的思想更是必不可少的。

同樣以反比例函數(shù)性質(zhì)探究為例，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)中，教師借助生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，從簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系入手，引導(dǎo)學(xué)生找出反比例函數(shù)的“雛形”，然后再通過(guò)對(duì)比分析，結(jié)合一次函數(shù)等的定義，對(duì)反比例函數(shù)的定義進(jìn)行綜合分析。在典型問(wèn)題導(dǎo)入過(guò)程中，教師可以通過(guò)長(zhǎng)方形面積、路程時(shí)間速度關(guān)系等學(xué)生熟悉的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己熟知的數(shù)量關(guān)系自主探究得出反比例函數(shù)的解析式。通過(guò)課堂互動(dòng)的過(guò)程，學(xué)生對(duì)于其定義、解析式有了初步的了解，那么在后續(xù)探究中，教師就要下意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手畫圖分析反比例函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)；或通過(guò)典型的例題對(duì)反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)探究。比如，給出反比例函數(shù)的一部分圖像，學(xué)生自主探究其另一支在哪個(gè)象限，k的取值范圍是什么？等一些問(wèn)題，通過(guò)觀察圖像，結(jié)合題目中所給的數(shù)量關(guān)系，探究、熟悉、應(yīng)用函數(shù)的關(guān)系，從而更進(jìn)一步明確反比例函數(shù)的性質(zhì)。

如此，在課堂上教師潛移默化的將數(shù)與形之間的關(guān)系進(jìn)行滲透融合，讓學(xué)生意識(shí)數(shù)與形之間的緊密聯(lián)系，從而真正理解數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。

3.2 作業(yè)滲透，文圖提升能力。雙減政策之后，數(shù)學(xué)作業(yè)的布置成為教師、學(xué)生關(guān)注的重要問(wèn)題，數(shù)學(xué)作業(yè)中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想進(jìn)行有效應(yīng)用也稱為教師關(guān)注的重要問(wèn)題。對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想而言，可以從兩個(gè)方面入手，“以數(shù)助形，以形助數(shù)”從而發(fā)揮出數(shù)與形各自的優(yōu)勢(shì)，在數(shù)學(xué)作業(yè)中感受數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行多維度的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)作業(yè)是高效課堂的重要組成部分，以往初中階段數(shù)學(xué)作業(yè)的布置往往注重?cái)?shù)量，對(duì)于其中蘊(yùn)含的一些數(shù)學(xué)思想等缺少總結(jié)與分析，導(dǎo)致學(xué)生的作業(yè)質(zhì)量受到了影響。那么數(shù)學(xué)思想在作業(yè)中的滲透可以從以下幾個(gè)步驟入手：

首先，針對(duì)一些學(xué)習(xí)能力較差，數(shù)學(xué)思想應(yīng)用意識(shí)較差的學(xué)生，可以用直接提醒法，比如請(qǐng)畫出XX函數(shù)的圖像(借助描點(diǎn)法等方式)給出學(xué)生一定的思維引導(dǎo)，讓他們能夠明確做圖的思路、方法等，然后再根據(jù)自己作出的圖像內(nèi)容，進(jìn)行相應(yīng)問(wèn)題的解決。

其次，針對(duì)一些學(xué)習(xí)能力較好的學(xué)生而言，可以不用刻意的提醒，而是要在作業(yè)中進(jìn)行自然而言的應(yīng)用，比如通過(guò)典型的例題，引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手畫出圖像，然后再分析的過(guò)程中找到解決問(wèn)題的方向。比如以中考典型、數(shù)列問(wèn)題、數(shù)陣問(wèn)題等。

比如(圖像)如圖所示，將同樣大小的黑色棋子擺在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第N個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是？

通過(guò)題目所給的信息，然后再結(jié)合圖形規(guī)律的特殊性，找出其中蘊(yùn)含的規(guī)律；比如觀察圖形，現(xiàn)數(shù)出每個(gè)正多邊形邊上的棋子數(shù)量，然后再乘以邊數(shù)，但是發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚€(gè)邊的交點(diǎn)上有一個(gè)點(diǎn)是重復(fù)的，因此還需要再減去一個(gè)點(diǎn)；那么第一個(gè)圖形的點(diǎn)數(shù)為2×3-3，第二個(gè)圖形為3×4-4……以此類推，數(shù)感好的同學(xué)就能夠通過(guò)前面幾個(gè)圖形邊數(shù)與點(diǎn)數(shù)的關(guān)系得出相應(yīng)的規(guī)律，不能看出的同學(xué)可以多列出幾個(gè)多邊形邊數(shù)與點(diǎn)數(shù)的關(guān)系再次探究，比如第3個(gè)圖形為4×5-5，第4個(gè)圖形為5×6-6……不難發(fā)現(xiàn)，第n個(gè)圖形的邊數(shù)與點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系就可以總結(jié)為(n+1)(n+2)-(n-2)然后再進(jìn)行公式的簡(jiǎn)化，從而正確的解答出答案。

如此，通過(guò)不同難度的作業(yè)，將數(shù)形結(jié)合思想與數(shù)學(xué)作業(yè)進(jìn)行有效銜接，在數(shù)學(xué)作業(yè)的過(guò)程中，教師潛移默化中帶動(dòng)學(xué)生將課堂上所學(xué)的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于具體的數(shù)學(xué)作用中，在應(yīng)用過(guò)程中，學(xué)生不僅能夠?qū)?shù)學(xué)思想進(jìn)行更加深入的理解，同時(shí)也能夠?qū)?shù)與形之間的關(guān)系進(jìn)行綜合整理與分析，從而形成系統(tǒng)的應(yīng)用思路，提高數(shù)學(xué)作業(yè)的綜合質(zhì)量。

3.3 活動(dòng)落實(shí)，實(shí)現(xiàn)思維拓展。課堂預(yù)習(xí)、教學(xué)活動(dòng)、作業(yè)設(shè)計(jì)等的過(guò)程的數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生并不是不想應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，但是很多同學(xué)并不明白什么樣時(shí)間、情況下需要或者必須要用數(shù)形結(jié)合思想，那么在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用進(jìn)行系統(tǒng)的分析與總結(jié)，在師生互動(dòng)中探究數(shù)與形之間的緊密聯(lián)系。

首先，可以參照數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)中以數(shù)助形、以形助數(shù)的方式，引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析。比如以數(shù)助形的角度分析，可以從兩個(gè)方面分析，一是借助數(shù)軸、坐標(biāo)系等將幾何問(wèn)題代數(shù)化，然后進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，解決幾何問(wèn)題，這一點(diǎn)在高中階段還會(huì)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)，比如向量問(wèn)題；二是，借助面積公式、距離公式等幾何量來(lái)解決幾何問(wèn)題，比如勾股定理與逆定理的應(yīng)用，三角函數(shù)等相關(guān)問(wèn)題。教師帶領(lǐng)學(xué)生將這兩類問(wèn)題進(jìn)行綜合整理與分析，然后再通過(guò)專題復(fù)習(xí)的形式，將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行應(yīng)用與分析，達(dá)到學(xué)以致用并靈活應(yīng)用的專題學(xué)習(xí)效果。緊接著，教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合上述的思路，針對(duì)“以形助數(shù)”的問(wèn)題進(jìn)行相應(yīng)的分析，比如利用結(jié)合圖形記憶數(shù)學(xué)公式，同樣借助數(shù)軸坐標(biāo)系等問(wèn)題，將代數(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)單化等等。如此結(jié)合上述學(xué)習(xí)的思路，學(xué)生不僅能夠從不同的角度對(duì)數(shù)學(xué)思想進(jìn)行綜合應(yīng)用，同時(shí)也能夠?qū)?shù)形結(jié)合進(jìn)行深入的理解和運(yùn)用，達(dá)到提高學(xué)生綜合學(xué)習(xí)質(zhì)量的效果。

除了師生互動(dòng)總結(jié)之外，還可以設(shè)計(jì)習(xí)題總結(jié)課程，將歷年來(lái)數(shù)學(xué)中考中比較典型的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題相關(guān)的例題進(jìn)行總結(jié)與分析，在總結(jié)過(guò)程中，學(xué)生可以以小組為單位，對(duì)某一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行合作探究，探究過(guò)程中，同學(xué)們可以充分發(fā)揮自己的“聰明才智”，看看一道問(wèn)題能夠通過(guò)多少種不同的思路呈現(xiàn)出不同的解決問(wèn)題的辦法，然后在不同的思路中，又應(yīng)用了那些數(shù)學(xué)方法。

比如：如圖所示，正方形ABCD中，E是BC的平分點(diǎn)，EF⊥AE并且與∠DCE的外角的平分點(diǎn)與F，求證AE=AF。

針對(duì)上述題目，雖然問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，但是其中可以有多種不同的解法，從正方形ABCD入手，通過(guò)分析AE、AF的位置關(guān)系，看看能夠從什么角度分析兩者之間的關(guān)系。比如通過(guò)圖形關(guān)系發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)建構(gòu)直角三角形的方法，從F點(diǎn)直接做垂線，然后形成新三角形EFH然后再通過(guò)三角形全等證明AE=AF。再者，還可以通過(guò)構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系、鈍角三角形等方法對(duì)其中的問(wèn)題進(jìn)行綜合分析。通過(guò)不同的思路分析，學(xué)生不僅能夠更深層次的了解此類問(wèn)題的考察點(diǎn)，同時(shí)也能夠在不同的思路探討中清晰數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方向。

如此，當(dāng)學(xué)生有明確的方向與思路之后，在小組合作過(guò)程中各自根據(jù)自己的思路進(jìn)行整個(gè)問(wèn)題的求證與分析，最后在小組合作討論最優(yōu)解決方案，討論的過(guò)程中不僅是對(duì)數(shù)學(xué)思想深入研討的過(guò)程，同時(shí)也能夠拓展數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的綜合質(zhì)量。

4.結(jié)束語(yǔ)

總而言之，數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)思想中非常常用、非常高效的解題方式，將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)課前、課中、課后等不同的環(huán)節(jié)中能夠發(fā)揮出不同的教育功效；作為數(shù)學(xué)教師，要從不同角度入手，結(jié)合學(xué)生的具體學(xué)情，創(chuàng)設(shè)多元化的數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)活動(dòng)場(chǎng)景，為學(xué)生搭建不同的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用平臺(tái)，在應(yīng)用過(guò)程中鍛煉學(xué)生學(xué)習(xí)思路、拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，從而達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的目標(biāo)。