“異面直線的概念”教學(xué)片段

史修鳳

【摘? 要】空間兩直線的位置關(guān)系是立體幾何中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的起始課，對(duì)于本節(jié)課的教學(xué)，本文主要闡述了如何突破異面直線的概念這一難點(diǎn)，教學(xué)中借助生活中的大量現(xiàn)象和實(shí)例，利用直觀感知、問題探究、小組合作、自主學(xué)習(xí)、交流分享的方式，通過思辨論證揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生理解異面直線概念的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】異面直線;合作探究;觀察發(fā)現(xiàn);交流分享

空間兩直線的位置關(guān)系是立體幾何中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的起始課，上好本節(jié)課可以為學(xué)生打好學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)，開個(gè)好頭。空間兩直線的位置關(guān)系這節(jié)課中異面直線的概念是個(gè)難點(diǎn)，如何突破這個(gè)難點(diǎn)呢？筆者主要借助生活中的大量現(xiàn)象和實(shí)例，利用直觀感知、問題探究、小組合作、自主學(xué)習(xí)、交流分享的方式，通過思辨論證揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生理解異面直線概念的本質(zhì)。下面是筆者在教學(xué)中突破異面直線概念的教學(xué)片段。

一、問題探究，觀察發(fā)現(xiàn)

研究空間位置關(guān)系很多時(shí)候可以從平面問題入手，我們研究空間兩直線的位置關(guān)系也是從平面兩直線的位置關(guān)系開始的。

問題1：請(qǐng)同學(xué)們回顧平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系有哪些？（投出幻燈片）

生1：兩條直線沒有公共點(diǎn)是平行，兩條直線有一個(gè)公共點(diǎn)是相交。

師：完全正確！我們?cè)诔踔醒芯科矫鎯?nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)這個(gè)角度去描述平行和相交，可得到如下結(jié)論：

相交直線（有一個(gè)公共點(diǎn)）

平行直線（無公共點(diǎn)）

師：我們學(xué)習(xí)了平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系，那么在空間中兩直線又會(huì)有怎樣的位置關(guān)系呢？為了弄清楚這個(gè)問題，我們可以先從大家熟悉的長(zhǎng)方體的棱位置關(guān)系來研究。

問題2：請(qǐng)結(jié)合下面的長(zhǎng)方體圖形，回答下列問題：①有與AB平行的棱嗎？請(qǐng)你找出來;②有與AB相交的棱嗎？請(qǐng)你找出來;③還剩下哪些棱呢？請(qǐng)你也把它們找出來，并研究這些剩下的棱與AB是什么樣的關(guān)系。（投出幻燈片）

設(shè)置3個(gè)小問題，既便于學(xué)生觀察和回答，又便于突出主旨內(nèi)容，學(xué)生更容易發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體12條棱中哪些棱與AB平行，哪些棱與AB相交，哪些棱與AB既不相交又不平行。對(duì)于最后一種情況，是平面中所沒有的，激起了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，抓住了學(xué)生的注意力，同時(shí)更能突出主題，最后的這種位置關(guān)系是只有在空間中才有的位置關(guān)系。

生2：與AB平行的棱有CD、A1B1、C1D1，與AB相交的棱有AA1、AD、BC、BB1，還剩下的棱是DD1、A1D1、B1C1、CC1。

師：長(zhǎng)方體12條棱中，最后剩下的這4條棱DD1、A1D1、B1C1、CC1。

與AB相交嗎？平行嗎？

生：既不平行也不相交（齊聲回答，雖然結(jié)論明顯，也要讓學(xué)生說出來）。

師：這種既不平行也不相交的兩直線位置關(guān)系就是空間兩直線的第三種位置關(guān)系，也是本節(jié)課研究和學(xué)習(xí)的內(nèi)容。這種位置關(guān)系不僅在數(shù)學(xué)中大量存在，在我們的生活中也有很多。下面請(qǐng)大家觀賞我們生活中這樣的實(shí)例：

二、合作交流，討論確認(rèn)

師：通過上面大量的實(shí)例，我們可以知道數(shù)學(xué)來源于生活，我們要學(xué)會(huì)對(duì)生活的現(xiàn)象進(jìn)行歸納抽象，抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)。下面請(qǐng)各位同學(xué)思考它們都有什么共同點(diǎn)？

給學(xué)生足夠時(shí)間，讓他們分小組合作，自主學(xué)習(xí)，討論交流，隨后請(qǐng)各小組總結(jié)發(fā)言，試錯(cuò)中再調(diào)整，發(fā)展學(xué)生的理性思維，讓他們學(xué)會(huì)有邏輯的思考。

生3：我們小組認(rèn)為它們都是既不平行也不相交。

師：非常好，從圖形的直觀上看既不平行也不相交，抓住了它們的特點(diǎn)，還有沒有其他想法？

生4：這些直線沒有公共點(diǎn)，但是它們并不平行。

師：說得非常好！類比平面位置關(guān)系，從公共點(diǎn)個(gè)數(shù)來研究，但是在空間問題中僅從公共點(diǎn)的有無來判斷，并不能幫助我們解決這個(gè)問題，那么還需要考察什么呢？

給學(xué)生留些思考的時(shí)間，同時(shí)老師給予啟發(fā)。

師：構(gòu)成空間圖形的基本元素是點(diǎn)、線、面，研究空間“線線”位置關(guān)系，僅從是否有公共點(diǎn)這個(gè)角度思考顯然不能解決問題，還可以加入哪個(gè)要素？

有學(xué)生恍然大悟。

生5：還可以考慮 “平面”這個(gè)要素，我們小組認(rèn)為它們?cè)趦蓚€(gè)不同的平面內(nèi)。

師：很有創(chuàng)意的想法，加入了“平面”來進(jìn)行研究，但思考不夠深入，讓我們共同優(yōu)化一下這想法，使其更合理、嚴(yán)謹(jǐn)。

引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)平面內(nèi)的直線可能存在的位置關(guān)系，在巡視的過程中，發(fā)現(xiàn)有的有學(xué)生找出以下反例：

生6：通過上述圖例可以說明，在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩直線可能相交也可能平行，所以他們的說法并不正確。

師：雖然第三小組的結(jié)論不嚴(yán)謹(jǐn)，但是他們?cè)诳紤]位置關(guān)系時(shí)，考慮了“面”這個(gè)要素，這是值得肯定的，我們不妨從這個(gè)角度出發(fā)，好好思考一下，如何表述得更嚴(yán)謹(jǐn)、合理。

留時(shí)間給學(xué)生思考，并引導(dǎo)學(xué)生，在兩個(gè)平面內(nèi)也不能說明一定是異面。

師：通過大家的討論，空間中這些直線的共同點(diǎn)是：沒有公共點(diǎn)，既不平行也不相交，不在同一平面內(nèi)。請(qǐng)大家認(rèn)真思考，如何理解不在同一平面內(nèi)。

生7：我認(rèn)為是沒有一個(gè)平面能包含這兩條直線。

師：非常棒的想法！我們不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為這兩直線在兩個(gè)不同的平面內(nèi)，而是它們不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，這個(gè)條件更重要。我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的直線叫作異面直線，同時(shí)請(qǐng)大家注意它的含義，異面直線不能簡(jiǎn)單地理解為它們?cè)趦蓚€(gè)不同的平面內(nèi)。

至此，我們得到異面直線的概念。這一過程讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程，在試錯(cuò)中調(diào)整再調(diào)整，通過老師的引導(dǎo)，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，還滲透了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活。

三、課后反思

空間兩直線的位置關(guān)系是空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的起始，又是學(xué)習(xí)線線、面面位置關(guān)系的基礎(chǔ)，可以說立體幾何是從這里真正開始的，而其中對(duì)異面直線的概念學(xué)習(xí)，將使學(xué)生的思想認(rèn)識(shí)從平面拓展到立體空間，這是一次質(zhì)的飛躍。本文選取異面直線概念教學(xué)來闡述，問題雖小，但是其研究手段和方法還是非常典型的，極具代表性?，F(xiàn)將這一過程的教學(xué)進(jìn)行簡(jiǎn)單的反思總結(jié)。

首先，我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，經(jīng)常會(huì)以舊知帶新知，從熟悉的知識(shí)入手，而且空間問題平面化是立體幾何中常用的思想方法。因此，引入問題時(shí)，設(shè)計(jì)從平面兩直線位置關(guān)系開始，過渡自然、流暢，符合我們的學(xué)習(xí)規(guī)律。

其次，在形成概念的過程中，主要采用了自主學(xué)習(xí)、合作探究、小組交流的方式，并積極創(chuàng)造問題情境，抓住學(xué)生的注意力，引導(dǎo)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，通過一系列的問題串，層層遞進(jìn)，啟發(fā)學(xué)生多思考，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，使學(xué)生經(jīng)歷了完整的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)了學(xué)生的理性思維，教會(huì)他們有邏輯的思考，發(fā)展了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、分析問題和解決問題等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

最后，大量生活中的實(shí)例展示了數(shù)學(xué)來源于生活，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的審美價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，滲透了數(shù)學(xué)的文化教育功能，而且讓學(xué)生知道在學(xué)習(xí)的過程中可充分借助生活中的實(shí)例和模型，比如教室、書、筆等。

課后，讓我覺得最大的不足之處是，異面直線概念形成中，由于課堂時(shí)間不足，對(duì)“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，沒有給予學(xué)生足夠的時(shí)間去論證。

這節(jié)課是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及滲透數(shù)學(xué)文化的一種嘗試，拋磚引玉，希望能學(xué)習(xí)到更多老師的優(yōu)秀案例。F0661F9A-705F-4F3E-8D73-D039745F8B62